精品解析：2025年河北省张家口市中考二模数学试题

2025年河北省初中学业水平模拟考试（二） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点，，在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转，形成（小于），，，当增加时，下列说法正确的是（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1中有一个用四个相同的小正方体搭成的长方体，现要再添加一个相同的小正方体，使这5个小正方体搭成的几何体的主视图、左视图如图2所示，则后添加的小正方体应摆放的位置是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. “天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 6. 如图，点在点的左侧，点，在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 7. 在世界泳联跳水世界杯中，某选手在女子单人10米台决赛中完成了关键一跳，获得了裁判的一致高分．从七位裁判打出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分后，留下的有效得分如下：8.7，9.0，9.4，9.0，8.9，则下列说法正确的是（ ） A. 这五个数据的平均数是8.5 B. 这五个数据的众数是9.4 C. 这五个数据的中位数是9.0 D. 若不去掉最低分和最高分，方差会减小 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，不多不少．下列说法正确的是（ ） A. 设牧童有人，所列方程 B. 设竹竿有根，所列方程为 C. 竹竿有28根 D. 牧童有7人 9. 为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 11. 如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，正六边形的顶点，对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若（为正整数），则______． 14. 若，则“□”表示的最简分式为______． 15. 如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数（）的图象与该折线有公共点，则的整数值有______个． 16. 如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点，连接．设点为的内心，当点在的内部（包括边界）时，的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示的等式： （1）若，，求值； （2）若，，求的最小整数值． 18. 数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式： ； ． （1）比较，的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 19. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求长． 20. 某大型汽车销售店最近在销售甲、乙两款新能源汽车，现将该店在某一周前五天的销售量（单位：台）情况绘成如下两幅不完整的统计图． （1）通过计算补全条形统计图； （2）求周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数； （3）销售店想做一个车主回馈活动，从周五购车的车主中随机选取两名赠送小礼品，请用画树状图或列表的方法求出所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率． 21. 如图，抛物线：经过点，，点是抛物线顶点． （1）求，的值及点的坐标． （2）将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 22. 【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______． 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是______． 【拓展】（1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 23. 已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）． ②射线否经过？请说明理由． （2）若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围． （3）若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 24. 如图1至图3，在矩形中，，．点在上，且，连接和，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，所在直线与相交于点，所在直线与射线相交于点，以，为边构造平行四边形，当射线与重合时，停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段上时，探究，的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段的延长线上时，连接，，，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河北省初中学业水平模拟考试（二） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据绝对值，零次幂和乘方，有理数的加法法则运算，然后逐项判断解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，，，． 故选：D． 2. 如图，点，，在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转，形成（小于），，，当增加时，下列说法正确的是（ ） A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查余角和补角，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据余角和补角的定义计算解答即可． 【详解】解：， 当增加时，减少， ， 当减少时，增加， 故选：A． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算等知识，根据合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，分式的除法法则等逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误，此选项不符合题意； B．，故原解析正确，此选项符合题意； C．，故原计算错误，此选项不符合题意； D．，故原计算错误，此选项不符合题意； 故选：B． 4. 图1中有一个用四个相同的小正方体搭成的长方体，现要再添加一个相同的小正方体，使这5个小正方体搭成的几何体的主视图、左视图如图2所示，则后添加的小正方体应摆放的位置是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图． 根据三视图定义逐一判断，可得答案． 【详解】观察图2的主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在③号位置． 故选：C． 5. “天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．先把 5分钟转换成秒，再进行乘法计算，最后根据科学记数法表示形式得出结果即可． 【详解】解：5分钟秒，（次）． 故选：B． 6. 如图，点在点的左侧，点，在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．由数轴得出，解一元一次不等式再根据选项即可求出结果． 【详解】解：由数轴可知，， 解得， ∴的值可能是0． 故选：C． 7. 在世界泳联跳水世界杯中，某选手在女子单人10米台决赛中完成了关键一跳，获得了裁判的一致高分．从七位裁判打出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分后，留下的有效得分如下：8.7，9.0，9.4，9.0，8.9，则下列说法正确的是（ ） A. 这五个数据的平均数是8.5 B. 这五个数据的众数是9.4 C. 这五个数据的中位数是9.0 D. 若不去掉最低分和最高分，方差会减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差，根据平均数，方差，众数和中位数的定义逐一求解判断即可． 【详解】这五个数据的平均数是； 排序后的数据为8.7，8.9，9.0，9.0，9.4，则中位数是9.0，众数是9.0； 若不去掉最低分和最高分，那么这组数据的波动会变大，则方差会增大． 故选C． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，不多不少．下列说法正确的是（ ） A. 设牧童有人，所列方程为 B. 设竹竿有根，所列方程为 C. 竹竿有28根 D. 牧童有7人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设牧童有人，设竹竿有根，根据每人6竿，多14竿可得竹竿有根，人数有人，根据每人8竿，不多不少可得竹竿有根，人数有人，据此建立方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设牧童有人，所列方程为； 设竹竿有根，所列方程为， 解得，． 故选：D． 9. 为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B 10. 已知，是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ∴， ∴，故A选项正确，B选项错误， ∵，的值不确定，不能判断，故C选项错误， ∵，故D选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据题意得出，，，再结合抛物线的对称性得到，计算即可求出． 【详解】解：由图可知，，， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 12. 如图，正六边形的顶点，对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】题主要考查了正多边形的性质和旋转的性质，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意得出正六边形的边长为2，连接，过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质得出，，，然后画出滚动后的图形求解即可． 【详解】解：∵顶点，对应的坐标分别为和， ∴正六边形的边长为2． 如图，连接，过点作于点． ∵，， ∴，，． 滚动一次后，点落在处， 点的坐标为，①正确； ∵点的坐标为，每滚动一次，落在轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2， ∴正六边形的顶点不可能和点重合，②正确； 由图可知，当正六边形滚动三次后，点的坐标为，③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若（为正整数），则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的估算，掌握二次根式的估算方法是解题的关键． 根据二次根式的估算方法解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 若，则“□”表示的最简分式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算．将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数（）的图象与该折线有公共点，则的整数值有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数图象的性质解题即可． 【详解】解：如图：，，，，，，， ∴该折线所有的顶点所对应的值的最小值为过点或点时，此时，最大值为过点或点时，此时， ∴， ∴取3，4，5，6， ∴的整数值有4个． 故答案为：． 16. 如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点，连接．设点为的内心，当点在的内部（包括边界）时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当点与点重合时，点与点重合，此时点在上．最短．当点落在上时， 过点作于点，交于点，作于点．由角平分线性质得．证明四边形为矩形，得，．根据，得，得，得．得，得．得，得，最大，即得的取值范围是． 【详解】解：当点与点重合时，点与点重合， 此时点为的内心． ∵四边形正方形， ∴为平分线， ∴点在上． 此时最短． 当点落在上时，最大，如图． 过点作于点，交于点，作于点． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵点为的内心， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形内心的性质．是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示的等式： （1）若，，求的值； （2）若，，求的最小整数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把，代入求值即可； （2）由题意得，所以，结合，求出，从而可得的最小整数值． 【小问1详解】 解：若，， 则． 【小问2详解】 解：当时，， 即． ∵， ∴， 解得：， ∴的最小整数值为． 18. 数学课上，老师黑板上书写了，两个整式： ； ． （1）比较，的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）采用作差法计算的值与0进行比较即可得出结果； （2）根据题意得到，整理成的形式，得到即可求出结果． 【小问1详解】 解： ， ∴． 【小问2详解】 证明： ， ∴不可能小于0． 19. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质和勾股定理及全等三角形的判定与性质． （1）根据角平分线作图完成即可； （2）过点作于点，先求出，证明，得出，再根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 解：尺规作图如图所示． 【小问2详解】 解：过点作于点． 在中，，，， 由勾股定理得． ， ， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得． 20. 某大型汽车销售店最近在销售甲、乙两款新能源汽车，现将该店在某一周前五天的销售量（单位：台）情况绘成如下两幅不完整的统计图． （1）通过计算补全条形统计图； （2）求周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数； （3）销售店想做一个车主回馈活动，从周五购车的车主中随机选取两名赠送小礼品，请用画树状图或列表的方法求出所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率． 【答案】（1）图见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、平均数和利用画树状图或列表的方法求概率． （1）根据题意分别求得周三乙款新能源汽车的销售量，周四甲款新能源汽车的销售量，然后补全统计图，即可求解； （2）根据周一到周五甲款新能源汽车销售总量除以5，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：周二销售量为台， ∴该周前五天的总销售量为（台）， ∴周三销售量为（台），周四销售量为（台）， ∴周三乙款新能源汽车的销售量为（台）， 周四甲款新能源汽车的销售量为（台）． 补全的条形统计图如下所示． ； 【小问2详解】 解：甲款新能源汽车销售量的平均数为（台）． 【小问3详解】 解：由题意列表如下所示： 甲1 甲2 乙1 乙2 乙3 甲1 （甲1,甲2） （甲1,乙1） （甲1,乙2） （甲1,乙3） 甲2 （甲2,甲1） （甲2，乙1） （甲2,乙2） （甲2,乙3） 乙1 （乙1,甲1） （乙1,甲2） （乙1,乙2） （乙1,乙3） 乙2 （乙2,甲1） （乙2,甲2） （乙2，乙1） （乙2,乙3） 乙3 （乙3,甲1） （乙3,甲2） （乙3,乙1） （乙3,乙2） 根据列表可得，从周五购车的车主中随机选取两名车主可能出现的结果有20种， 满足所选的车主购买的车恰好是同一款车的结果有8种， ∴所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率． 21. 如图，抛物线：经过点，，点是抛物线的顶点． （1）求，的值及点的坐标． （2）将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）①3 ，，② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线：经过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴的解析式为． 将代入， 得，即． ∵， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解： ①∵抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． ∵点在抛物线上关于对称轴对称的点为点， 且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ∴． 22. 【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______． 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是______． 【拓展】（1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 【答案】发现：； 探究：平行； 拓展：（1）； （2）最大值为，最小值为； 【解析】 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，所在圆的半径为的半径，即． 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行． 拓展：（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角和切线的性质，可得，，再结合勾股定理即可求解弦的长． （2）解法1：设，与交于点，连接，根据勾股定理，垂径定理可得，再结合的取值范围为，即可求解． 解法2：当点落在点时，由折叠的性质和勾股定理即可求解弦最大值；当点落在点时，此时点，，集于一点，根据切线和等腰直角三角形的性质，可得弦最小值． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 故答案为：． 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值，， ∴点的运动路线与直径平行． 故答案为：平行． 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径， ∴． 又∵点是切点， ∴． 在和中，，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）最大值为，最小值为． 解法1：如图2，设，与交于点，连接． ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理易得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上， ∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． 解法2：如图3，当点落在点时，弦取得最大值． 由折叠的性质可得． ∴， ∴． 如图4，当点落在点时，弦取得最小值，此时点，，集于一点． 易得，且弦所在的直线是的平分线， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 综上所述，弦的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． （1）若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）． ②射线是否经过？请说明理由． （2）若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围． （3）若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 【答案】（1）①，②不经过，理由见解析 （2）或 （3）满足条件的整数的个数为2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据待定系数法求出解析式即可；②设射线的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段上的整数点有共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入中求解，即可求出结果； （3）根据题意得出，将代入直线，得，解得．结合为正整数，且为整数，且点为整数点，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①∵直线：经过点，， ∴ ∴ ∴射线的表达式为． ②不经过．理由如下， 根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， ∴点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为． 将，代入， 得解得 ∴射线的表达式为． 当时，， ∴射线不经过点． 【小问2详解】 解：当时，点，点， ∴线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． ∵上的整数点被点分为个数之比为2：7的两部分， ∴点在和之间或在和之间， ∴将代入，得， 将代入，得； 将代入，得， 将代入，得． ∴的取值范围为或． 【小问3详解】 解：∵点为线段的中点， ∴． 将代入直线：， 得，解得． ∵为正整数，且为整数，且点为整数点， ∴可列表如下： 1 2 5 10 11 6 3 2 5 2.5 1 0.5 3 4 7 12 1 2 5 10 ∴综上所述，满足条件的整数的个数为2，分别是11和3． 24. 如图1至图3，在矩形中，，．点在上，且，连接和，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，所在直线与相交于点，所在直线与射线相交于点，以，为边构造平行四边形，当射线与重合时，停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段上时，探究，的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段的延长线上时，连接，，，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 （4）3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质和弧长的计算．核心素养表现为几何直观和推理能力． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，证明，推出，再证明，列出比例式，即可得出结果； （3）易得平行四边形是矩形，分点，重合，点，重合和点在上，两种情况进行讨论求解即可； （4）易得，得到，过点作于点，证明，再证明，得到点在过点且垂直于的直线上运动．延长至点，使得，连接，得到，，三点共线时，最小，过点作于点，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， 在中，，， ∴． 【小问2详解】 ． 理由如下： ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 由（2）知，， ∵旋转， ∴，即：， ∴平行四边形是矩形． 当点落在平行四边形的边上时，有以下两种情况． 情况一：如图1，此时点，重合，点，重合． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 情况二：如图2，此时点在上． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 如图3，由（1）（2）知，，． 当点落在线段上时，． 同理可得当点落在线段的延长线上时，， ∴， ∴． 过点作于点，则，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直于的直线上运动． 延长至点，使得，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当，，三点共线时，最小，如图3． 过点作于点． 在中，由面积法得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$