精品解析：2026年广东省汕头市潮阳区初中学业水平模拟考试 数学

2026年汕头市潮阳区初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，整数与分数是有理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是无限不循环小数，即无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； B、是分数，是有理数，故选项不符合题意； C、，是整数，是有理数，故选项不符合题意； D、是有限小数，可化为分数，是有理数，故选项不符合题意． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．可以看作是轴对称图形； B．不可以看作是轴对称图形； C．不可以看作是轴对称图形； D．不可以看作是轴对称图形． 3. 2026年1月7日《2026年中国“人工智能+”应用趋势报告（精华版）》显示目前超过1500万知识工作者将使用工具辅助创作与编程，其中数字1500万用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法要求将数表示为的形式，其中，为整数，解题需先将1500万转化为普通整数再按规则改写． 【详解】解：1500万． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方）与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B正确． C、，故C错误． D、，故D错误． 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 7. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出进而根据列出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，．， ∴， ∴物体的高度为． 故选：C． 8. 小李一家计划寒假去成都看三星堆．手机导航系统推荐两条线路，第一条线路全程约460公里，第二条线路全程约456公里．因路况不同，第二条线路的平均时速比第一条线路提高，因此用时节约1小时．假设汽车在第一条线路的平均时速为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、理清题中的数量关系是解题的关键． 设第一条线路的平均时速为，则第二条线路的平均时速为．第一条线路的用时为，第二条线路的用时为．再根据第二条线路用时比第一条少1小时列出分式方程即可． 【详解】解：设第一条线路的平均时速为，则第二条线路的平均时速为． 由题意可得：． 故选D． 9. 如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 10. 我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键． 通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 13. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 【答案】340 【解析】 【分析】利用表格中给出的两组对应值，通过待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入解析式计算得到对应的值． 【详解】解：已知，， 由表格数据，当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 将代入解析式，得 ． 14. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识．连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，设l交于点D， 由翻折的性质得：，，， ， ， 即是等边三角形， ，由勾股定理得， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作的垂线，垂足为G，证明，再利用三角形面积的比是相似比的平方，即可得出结果． 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为G，如下图： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，相似三角形的性质．作辅助线，构造相似三角形，利用面积比是相似比的平方，是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ，即 原式 17. 关于x的方程有两个不等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）取一个你喜欢的k值，解这个方程． 【答案】（1） （2）当 时，，（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）本题答案不唯一，可以取 ，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即 解得． 所以的取值范围是． 【小问2详解】 解：由（1）知，不妨取 ． 当 时，原方程化为， 因式分解：． 则或， 解得． 18. 小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【答案】（1）（或） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过设连续正整数（），对 进行因式分解，即可得到完全平方形式，从而补全空格． （2）类比（1）的方法，设且，对 因式分解，证明其结果为完全平方数． 【小问1详解】 证明：设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴或， ∴一定是正整数的平方数， 故空格处填（或）． 【小问2详解】 证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 20. 已知：O是的对称中心，与相切于点E． （1）如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： （2）如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】（1）选择小明同学的建议，证明见解析；选择小红同学的建议，证明见解析 （2）是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）选择小明同学的建议：过点O作，连接，，证明，可得，即可解答；选择小红同学的建议： 连接，并延长交于点F，证明，可得，即可解答； （2）当与相切时，切点记为点，证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：选择小明同学的建议： 过点O作，连接，，如图： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 选择小红同学的建议： 连接，并延长交于点F，如图： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； 【小问2详解】 解：是菱形，理由如下： 当与相切时，切点记为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 21. 综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点O、A、C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） （1）任务一：求此时液压杆的长度； （2）任务二：若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即米），求伸长到的最大长度． 【答案】（1）米； （2）伸长到的最大长度为6米． 【解析】 【分析】（1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）由题意得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用米，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，米，， ∴米， 在中，， ∴米； 【小问2详解】 解：由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， 故伸长到的最大长度为6米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形在该边上的“平方点”．如图1，在中，D是边上一点，连接，若，则称点D是在边上的“平方点”． （1）如图2，的顶点是的小正方形网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，是的直径，于点D，连接并延长，交于点E，连接． ①求证：点D是在边上的“平方点”． ②若的半径为5，，求的长． （3）如图4，矩形的边在x轴上，点A在反比例函数的图象上，连接，交反比例函数的图象于点E，连接，已知，．若点E是在边上的“平方点”，请直接写出k的值． 【答案】（1）见解析； （2）①证明见解析；② （3）的值为6或 【解析】 【分析】（1）如图1，取格点R，连接交于点D，即可；如图2，取格点，连接交于点E，即可； （2）①连接，证明，可得，即可；②根据题意可得是的中位线，可得，然后在中，利用勾股定理解答即可； （3）根据题意得，当E是边的中点，或时，，然后分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，点D 即为所求．（或如图2，点E 即为所求．） 理由： 如图1，由作法得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点D是在边上的“平方点”； 如图2，由作法得：四边形为矩形， ∴， ∴， 即点E是在边上的“平方点”； 【小问2详解】 ①证明：如图3，连接． ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点D是在边上的“平方点”． ②解：在中，由勾股定理，得 由①可得 ∴， 又， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴，即， 在中，由勾股定理，得， ∴ 【小问3详解】 解：根据题意得，当E是边的中点，或时， ，即点E是在边上的“平方点”． 分以下两种情况讨论： ①如题图4，当E是边的中点时，设点A的横坐标为m． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵点A，E都在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴， ②如题图5，当时，过点E作于点F． ∵四边形是矩形，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴ 设点A的横坐标为n， ∴ ， ∵点A，E都在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴ 综上所述，k的值为6或． 23. 在平面直角坐标系中，点是轴上的点，点的坐标为，点的坐标为，矩形与矩形相似，矩形绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、． 【问题发现】 （1）如图1，在矩形绕点旋转的过程中，若，直线与直线的位置关系保持不变．请判断它们的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （2）①在（1）的条件下，当旋转角时，与轴相交于点，求的面积； ②在（）的条件下，求的最小值． 【拓展问题】 （3）如图2，当点是矩形的对角线上一动点，点在矩形边上．若点到轴的距离为，的面积为，求与的函数关系式． 【答案】（1），位置关系不变．理由见解析 （2）① ；② （3）y= 【解析】 【分析】（1）利用矩形相似的性质得到边的比例关系与对应角相等，通过角的和差推导出夹角相等，证明三角形相似，再结合直角三角形的内角关系，推导直线与的垂直关系． （2）①先根据已知比例求出矩形的边长，结合旋转角得到角度关系，利用三角函数求出线段长度，再通过作高的方式计算三角形的面积．②通过构造相似三角形，将转化为一条线段，利用两点之间线段最短的原理，结合勾股定理求出线段和的最小值． （3）先求出对角线的解析式，根据点到轴的距离设出点的坐标，通过构造相似三角形求出线段和高的长度，再利用三角形面积公式推导出函数关系式． 【小问1详解】 解：结论：，位置关系不变．理由如下： ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ． ∵ ∴ ∴， ， 设与轴交于点，与交于点， 在中， ， 又， ∴ ， ∴，即． 【小问2详解】 解：①∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴，． 矩形中，，，． ∵ ∴ ， 在中，， ， ∴， ∴， 过点作于点， 在 中， ， ∴， ∴ ； ②由（）可知，在上取， ∴，且 ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 当、、三点共线时有最小值，即 ， 在中，，， ∴， ∴ 的最小值为； 【小问3详解】 解：，，设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴对角线的解析式为：， ∵， ∴， 过点分别作轴交于点，延长并交于点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵矩形与相似， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴与的函数关系式为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年汕头市潮阳区初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年1月7日《2026年中国“人工智能+”应用趋势报告（精华版）》显示目前超过1500万知识工作者将使用工具辅助创作与编程，其中数字1500万用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 7. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（ ） A. B. C. D. 8. 小李一家计划寒假去成都看三星堆．手机导航系统推荐两条线路，第一条线路全程约460公里，第二条线路全程约456公里．因路况不同，第二条线路的平均时速比第一条线路提高，因此用时节约1小时．假设汽车在第一条线路的平均时速为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__． 12. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 13. 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 14. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简后求值：，其中． 17. 关于x的方程有两个不等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）取一个你喜欢的k值，解这个方程． 18. 小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 20. 已知：O是的对称中心，与相切于点E． （1）如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： （2）如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 21. 综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点O、A、C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） （1）任务一：求此时液压杆的长度； （2）任务二：若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即米），求伸长到的最大长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形在该边上的“平方点”．如图1，在中，D是边上一点，连接，若，则称点D是在边上的“平方点”． （1）如图2，的顶点是的小正方形网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，是的直径，于点D，连接并延长，交于点E，连接． ①求证：点D是在边上的“平方点”． ②若的半径为5，，求的长． （3）如图4，矩形的边在x轴上，点A在反比例函数的图象上，连接，交反比例函数的图象于点E，连接，已知，．若点E是在边上的“平方点”，请直接写出k的值． 23. 在平面直角坐标系中，点是轴上的点，点的坐标为，点的坐标为，矩形与矩形相似，矩形绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、． 【问题发现】 （1）如图1，在矩形绕点旋转的过程中，若，直线与直线的位置关系保持不变．请判断它们的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （2）①在（1）的条件下，当旋转角时，与轴相交于点，求的面积； ②在（）的条件下，求的最小值． 【拓展问题】 （3）如图2，当点是矩形的对角线上一动点，点在矩形边上．若点到轴的距离为，的面积为，求与的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $