专题05 空间直线与平面7大题型2易错（期末复习知识清单）高一数学下学期沪教版

专题05 空间直线与平面 1. 立体几何中的公理及其推论 （1）公理 1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上. （2）公理 2 不在同一直线上的三点确定一个平面. 推论 1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面. 推论 2 两条相交直线确定一个平面. 推论 3 两条平行直线确定一个平面. （3）公理 3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （4）公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2. 直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面. （2）等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论 1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. 推论 2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （3）异面直线的定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线. （4）异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线. （5）异面直线所成的角的定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角. 3. 直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. （2）直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行. （3）线面垂直的定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直. （4）直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. （5）直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 推论 1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推论 2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. （6）线面所成的角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. （7）三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 4. 平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （2）两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （3）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小. （4）平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. （5）平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 5. *异面直线间的距离 （1）定理 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交. （2）定义 两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离. 题型一．平面的基本性质及推论【例1】（24-25高一下•上海嘉定•期末）两个平面最多可以将空间分成　 　 部分． 【变式1】（24-25高一下•上海浦东新•期末）直线，，，若，，则，的位置关系是 　 　 ． 【变式2】（24-25•上海嘉定•期末）给出下列命题： ①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点； ③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．正确的是 　 　（填写序号）． 【变式3】（24-25•上海徐汇•期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么，，这三个平面可以将空间分成 　 　部分． 题型二．异面直线及其所成的角【例2】（24-25高一下•上海嘉定•期末）已知直线，所成的角为，为空间一定点，则过点且与直线，所成的角都是的直线有 　 　条 【变式1】（24-25高一下•上海松江•期末）一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为　 　 ． 【变式2】（24-25高一下•上海浦东新•期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 　 　 ． 【变式3】（24-25高一下•上海嘉定•期末）如图，已知长方体中，，． （1）求证：与是异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【变式4】（24-25高一下•上海嘉定•期末）如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点． （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）证明：． 【变式5】（24-25高一下•上海杨浦•期末）如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 题型三．直线与平面平行 【例3】（24-25高一下•上海杨浦•期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题： ①平面上存在一条直线，与平面平行； ②平面上存在一条直线，与平面垂直． 则（　　） A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【变式1】（24-25高一下•上海浦东新•期末）已知梯形中，，为上的一点且 ，将△沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）当时，求直线和平面所成角的大小． 【变式2】（24-25高一下•上海浦东新•期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面； （2）若平面经过点，，，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 【变式3】（23-24高一下•上海嘉定•期末）如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求直线与所成的角的大小； （3）求证：平面． 题型四．直线与平面垂直 【例4】（23-24高一下•上海期末）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于，的一点，有下列关系： ①；②平面；③；④． 其中正确的是　 　． 【变式1】（24-25高一下•上海普陀•期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面． （1）求证：平面； （2）若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：． 【变式2】（23-24高一下•浦东新•期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、． （1）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）若，，点在上运动，试求△面积的最小值． 【变式3】如图，平面，四边形为矩形，，点是的中点，点在边上移动． （1）当点为的中点时，证明平面； （2）证明：无论点在边的何处，都有． 题型五．平面与平面位置关系【例5】（23-24高一下•松江•期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（　　） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 【变式1】（24-25高一下•上海浦东新•期末）已知平面平面，是、外一点，过点的两条直线、分别交于、，交于、，且，，，则的长为　 　． 【变式2】（23-24高一下•上海期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【变式3】如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上； ①点为中点，求与所成的角的大小； ②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 题型六．点、线、面间的距离计算 【例6】（24-25高一下•上海松江•期末）如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，，点在平面内，且．若将该正四棱柱绕旋转，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下•上海浦东新•期末）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 　 　． 【变式2】（23-24高一下•徐汇•期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，，点，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【变式3】（24-25高一下•上海普陀•期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是．则这个点到二面角的棱的距离为 　 　 ． 38．（24-25高一下•上海杨浦•期末）已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为　 　 ． 题型七．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【例7】（24-25高一下•上海普陀•期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为　 　 ． 【变式1】（24-25高一下•上海普陀•期末）已知、、、是空间中不共面的四点．平面满足： ①、、、四点均不在平面上，也不在平面的同侧； ②若平面与、、、间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之． 设、、、四点到平面的距离分别为，2，3，，则的所有不同值的个数组成的集合是（　　） A．，2，3， B．，2， C．， D． 【变式2】（24-25高一下•上海杨浦•期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为　 　 ． 【变式3】（24-25高一下•上海浦东新•期末）如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求点与平面的距离． 题型一．几何法求解直线与平面所成的角 【例1】（24-25高一下•上海普陀•期末）如图，棱长为1的正方体，则下列四个命题： ①点在线段上运动时，直线与直线所成角的大小不变 ②点在线段上运动时，直线与平面所成角的大小不变 ③点在线段上运动时，二面角的大小不变 ④点在线段上运动时，点到平面的距离最大值为1 其中的真命题是（　　） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【变式1】（24-25高一下•上海浦东新•期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为　 　 ． 【变式2】（24-25高一下•上海杨浦•期末）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【变式3】（24-25高一下•上海松江•期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将△沿折起，使得（如图），为中点． （1）求证：平面； （2）求与平面的所成角； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式4】（24-25高一下•上海杨浦•期末）如图．在正方体中，是的中点． （1）求证：直线与是异面直线； （2）求直线与平面所成角的大小． 题型二．几何法求解二面角及两平面的夹角 【例2】（24-25高一下•上海杨浦•期末）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，，且，则甲乙两人相距 　 　 ． 【变式1】（24-25高一下•上海普陀•期末）如图，在平行四边形中，，．将△沿对角线折起，使二面角的大小为，则、两点的距离为　 　 ． 【变式2】（24-25高一下•上海杨浦•期末）用一个与圆柱底面不平行的平面去截圆柱可得到一个斜截面．若沿着圆柱的母线将其剪开并展开成平面图，通过观察，发现此截口曲线展开后，与正弦函数或余弦函数的图像相近．设圆柱的底面半径为，斜截面与底面所成的二面角的大小为． （1）某班的同学们尝试研究上述截口曲线的形状问题．他们自制了与不同的三个斜截圆柱，如图1所示，并沿着斜截圆柱的母线将其剪开后展开成平面图．然后他们分为三组，进行了如下操作：首先把截口曲线描到白纸上，通过合理地建立平面直角坐标系，再选取一些点并测量其坐标，最后由形如的函数表达式进行拟合，并求出对应的拟合结果． 拟合的结果如表所示，因为，所以表格中都可以近似地看作，再作适当的上下平移，则可化为0，故得到表格中对应的近似结果． 请将表格中序号③的近似结果补充完整，将答案直接写在答题纸上的相应位置（无需过程）； 序号 拟合结果 近似结果 ① 3.3 ② 3.3 ③ 2 （2）如图2，已知、分别是圆柱的上、下底面的圆心，圆柱的一个斜截面所在的平面与上底面所在平面的交线是在点的切线，又平面过线段的中点且平行于底面．设平面与斜截面相交于的直径，并与圆柱的母线的公共点为． 如图3，现只考虑该圆柱在斜截面下方的部分．对于斜截面边界上的一点，点在平面上的投影为点．已知圆柱的底面半径为，二面角的大小为．设的的长度为，，，试用表示，并求； （3）在（2）的条件下，设，试求关于的函数表达式． 【变式3】（24-25高一下•上海浦东新•期末）如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上． （1）当点与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【变式4】（24-25高一下•上海普陀•期末）如图，在四棱柱中，侧棱上底面，，，，，． （1）求证：直线与直线是异面直线； （2）若二面角的余弦值为，求的值； （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，试问共有几种不同的拼接方案？请简要说明．在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05 空间直线与平面 IEIEIDIIKIEIIIIII 串 思维导图 IIIINIINNIII000I0 公理1（线在面内）：直纹上两点在平面内一整条直线在平面内 一推论1：一条直线+线外一点编定平面 公理2（平面确定）：不共线三点确定雌一平面一推论2：两条相交直线确正平面 一、4大公理 L推论3：两条平行直线确定平面 公理3（平面交线）：两平面有公共点→有且仅有一条过该点的公共直线 公理4（平行传递）：平行于同一直线的两条直线互相平行 位置分类：相交、平行、异面 甚础：两角两边分别平行且同向一两角相等 等角定理： 推论1：两角两边分别平行一两角相等或互补 二、直线与直线的位置关系 推论2：两组相交直线分别平行一析成锐角（或直角》相等 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线： 判定：过平雨外一点与平面内一点的直线，与平有内不过该点的直线异雨 所成角：平移至相文的锐角/直角（范围：(0,90]） 判定：平面外直线与平面内一直线平行一线面平行 线面平行： 件质：线面平行过线的平面与原平面相文一交线与该直线平行 空间直线与平面 定义：直线与平面内所有直线都垂直 线面垂直 判定：直线与平面内两条相交直线酱垂直一线面垂直 三、直线与平面的位置关系 性质：要直于周一平有的两条直线互指平行-指论：过一点有且只有一个年百与已知直线香主 推论2：过一点有旦只有一条直线与已知平面垂直 线面角：平面的斜线与它在平面内投影所成的锐角（范国：(0°，90）) 三垂线定理：平面内线与斜线垂直一与斜线在平面内的投影垂直 判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面一面面平行 面面平行： 性质：两个平行平而同时与第三个平而相交一交线互相平行 四、平面与平面的位置关系 判定：一个平面经过另一个平页的一条垂线一应面垂直 面面垂直： 性质：两个平面年直，一个平面内垂直于交线的直线一蚯直于另一个平面 二面角：由一条直线出发的两个半平面组成的图形，大小等于其平而角（范闲：[0°，180]） 定理：任意两条异而直线，存在唯一一条公垂线（与两直线都垂直且相交》 五、异面直线间的距离 定义：两条异面直线的公垂线段的长度，即为两异面直线的距离 1/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LAAA222KA2282222222 考点清单 ZZZIZIIIIZZIZZIIIE 1.立体几何中的公理及其推论 (1)公理1如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上 (2)公理2不在同一直线上的三点确定一个平面. 推论1一条直线和这条直线外的一点确定一个平面. 推论2两条相交直线确定一个平面， 推论3两条平行直线确定一个平面. (3)公理3如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线： (4)公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)有三种可能的位置关系：相交、平行、异面 (2)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 (3)异面直线的定义不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线， (4)异面直线判定定理过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异 面直线， (5)异面直线所成的角的定义两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直 线所成的角 3.直线与平面的位置关系 (1)直线与平面平行的判定定理如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线 与这个平面平行. (2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交， 那么其交线必与该直线平行， (3)线面垂直的定义如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直， (4)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平 面垂直. (5)直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 推论1过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直 2/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 推论2过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. (6)线面所成的角的定义平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (7)三垂线定理平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投 影垂直， 4.平面与平面的位置关系 (1)两个平面平行的判定定理如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (2)两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行」 (3)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小。 (4)平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 (5)平面与平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另 一个平面垂直. 5.*异面直线间的距离 (1)定理对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交， (2)定义两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离， H///a 题型清单 22220K2222222222 期末常考题型清单 题型一，平面的基本性质及推论 【例1】(24-25高一下.上海嘉定.期末)两个平面最多可以将空间分成 部分 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多 可分成几部分 【详解】解：两个平面的位置关系是平行与相交， 若两个平面平行，则可将空间分成三部分， 若两个平面相交，可将空间分成四部分， 故答案为：4. 【变式1】(2425高一下.上海浦东新.期末)直线a,b,1,若a11,b11,则a,b的位置关系是 3/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】相交、平行或异面. 【分析】作出正方体，利用线面垂直的性质判断即可. 【详解】解：引入正方体ABCD-EFGH,设I=DH,a=DC,b=DA, H B DH⊥面ABCD,所以满足DH⊥DA,DH⊥DC, 此时一定有DC1DA,DC∩DA=D,则a,b的位置关系是相交， 若设I=DH,a=DC,b=GH,由正方体性质得DH⊥HG, 也有DH⊥DC,但GHIIDC,则a,b的位置关系是平行， 若设I=DH,a=DC,b=EH,此时满足DH⊥DC,DH⊥EH, 由正方体性质得DC⊥面ADHE,所以DC⊥EH, 故DC,EH不平行，且它们不相交，故a,b的位置关系是异面. 故答案为：相交，平行或异面 【变式2】(24-25.上海嘉定期末)给出下列命题： ①书桌面是平面； ②平面a与平面B相交，它们只有有限个公共点： ③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确的是 (填写序号). 【答案】③， 【分析】对于①：根据平面的性质分析判断；对于②：根据公理2分析判断；对于③：根据公理3分析判 断。 【详解】解：对于①：由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故① 错误： 对于②：根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在 一条直线上，故②错误： 对于③：根据公理3可知，不共线的三个点确定一个平面， 因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，③正确. 4/55 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：③ 【变式3】(24-25.上海徐汇期末)已知平面与平面B将空间分成3部分，若空间中还有一个平面y,那 么α，B,y这三个平面可以将空间分成 部分 【答案】4或6. 【分析】根据平面的基本性质讨论求解即可. 【详解】解：由平面α与平面B将空间分成3部分，可得α/1B, 若三个平面，B,y互相平行，则可将空间分为4部分： a/1B,若y与，B相交，则可将空间分为6部分. 故答案为：4或6. 题型二.异面直线及其所成的角 【例2】(24-25高一下.上海嘉定.期末)已知直线a,b所成的角为80°，P为空间一定点，则过点P且与 直线a,b所成的角都是50°的直线有 条 【答案】3. 【分析】过P分别作a,b的平行线a',b',则a',b'的夹角为80°，与a,b成等角只需与a',b'成等角， 在平面α内与a',b成50°角的直线有一条1，而另外两条在a外，且与a',b'成等角，所以过点P且与 直线a、b所成的角者是50°的直线有3条. 【详解】解：如图，过P分别作a,b的平行线a',b',则a',b'的夹角为80°，与a,b成等角只需与a ,b'成等角， 在平面a内与a',b'成50°角的直线有一条1，而另外两条在a外，且与a',b成等角， 所以另外两条直线的射影必在α'，b'所成角的平分线上， 当直线从a',b'的平分线处向α的过P的垂线位置运动的过程中， 该直线与a',b'所成的角从40°逐渐增加到90°必有一位置等于50°， 这样的直线有两条，它们关于平面对称， 所以过点P且与直线a、b所成的角者是50°的直线有3条. 故答案为：3. 5/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25高一下.上海松江.期末)一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则AG与 MN所成的角为」 G D B 【答案】60°. 【分析】将平面展开图复原为如图所示的正方体后结合正方体的性质可得AG与MN所成的角即为∠ENB或 其补角，故可求线线角的大小 【详解】解：将平面展开图复原为如图所示的正方体： G E(M) D 设正方体的棱长为a,连接EB,BN, 则EN=NB=EN=√2a, 由正方体的性质可得GNI/AB,GN=AB, 所以四边形ABNG为平行四边形， 所以AG/1BN, 所以AG与MN所成的角即为∠ENB或其补角， 因为∠ENB=60°， 所以AG与MN所成的角为60°， 故答案为：60°. 【变式2】(24-25高一下.上海浦东新·期末)空间四边形ABCD中，AB=CD,且异面直线AB与CD所成 的角为70°，E、F分别为BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成角的大小是 一· 【答案】55°或35°. 【分析】取BD中点O,连结F0、EO,推导出E0=FO,∠FOE是异面直线AB与CD所成的角（或所 6/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成角的补角)，∠EOF=70°或LEOF=110°，由F0I1AB,得∠EF0是异面直线EF和AB所成的角，由 此能求出异面直线EF和AB所成的角. 【详解】解：取BD中点O,连结FO、EO, B E 因为空间四边形ABCD中，AB=CD,，E、F分别为边BC和AD的中点， 所以F011AB,且FO=AB,E011DC,且E0=CD, 2 所以E0=F0，∠F0E是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， 因为异面直线AB与CD所成的角为70°， 所以∠E0F=70°或∠E0F=110°， 因为FOI/AB,，得∠EFO是异面直线EF和AB所成的角， 当∠E0F=70°时，∠EF0=55°， 当∠E0F=110°时，∠EF0=35°， 所以异面直线EF和AB所成的角为55°或35°， 故答案为：55°或35°. 【变式3】(24-25高一下.上海嘉定期末)如图，己知长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=3,A4=4. (1)求证：A,B与AD,是异面直线： (2)求异面直线A,B与AD,所成角的余弦值. b 9 B B 【答案】(1)证明见解析： 7/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)16 5 【分析】(1)根据题意结合异面直线的判定定理分析证明； (2)连接BC,分析可知∠ABC为异面直线A,B与AD所成的角（或其补角），结合余弦定理运算求解. 【详解】解：(1)证明：因为ABc平面AA,BB,A∈平面AAB,B,AE直线A,B,DE平面AA,B,B, 由异面直线的判定定理可得A,B与AD是异面直线. (2)如图，连接BC1, B DL. B 因为AB/C,D,,AB=C,D,可知四边形ABC,D,为平行四边形， 则AD,I/BC,即∠A,BC为异面直线AB与AD,所成的角（或其补角）， 连接AC，由已知可得BA=BC=V32+42=5,AC=3W2, 则c0s∠48C,=5+52-3216 2×5×5 25 所以异面直线AB与AD,所成角的余弦值为16 5 【变式4】(24-25高一下·上海嘉定·期末)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,G分别是棱CC ,BB,DD的中点. (1)求异面直线DF与AB所成角的正切值： (2)证明：∠BGC=∠FD,E. 8/55 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G B E D以 C A 【答案】(1) 灯 (2)证明见解析. 【分析】(1)连接AG,分析可知异面直线DF和AB所成角为LABG或其补角，设正方体的棱长为2，求 出AG的长，即可求得异面直线DF与AB所成角的正切值； (2)利用等角定理可证得结论成立. 【详解】解：(1)连接AG,如图所示： D ， B G D A B 因为正方体ABCD-AB,CD,中，BB,IIDD，BB,=DD,, 因为F、G分别是棱BB、DD的中点，所以D,G=BF,D,GIIBF, 所以四边形D,GBF是平行四边形，所以GB/1D,F, 所以异面直线DF和AB所成角为∠ABG或其补角， 不妨设正方体的棱长为2， 则AD=2,DG=1, 所以AG=VAD2+DG2=V5,AB=2, 因为AB⊥平面AAD,D,AGc平面AAD,D,所以AB⊥AG, 故tan∠ABG=4C-V5 AB 2 9/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因此异面直线DF与B所成角的正切值为5 (2)证明：因为正方体ABCD-A,B,C,D,中，CC,/1DD1,CC=DD, 因为E、G分别是棱CC,、DD的中点， 所以D,G=CE,D,G1ICE, 所以四边形D,GCE是平行四边形，所以GC//ED, 由(1)知，GB/D,F, 由图形可知LBGC、∠FDE均为锐角， 所以∠BGC=∠FD,E. 【变式5】(24-25高一下.上海杨浦期末)如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB平面 BCE,BE=√5，EC=I.点F为线段BE的中点. (1)求证：EC⊥平面ABE; (2)求异面直线AF与DE所成的角的大小. D E 【答案】(1)证明见解答；(2)arccos- 14 【分析】(1)根据勾股定理，线面垂直的性质与判定定理，即可证明； (2)连接BD,设AC∩BD=G,连接FG,则易得GFIIDE，从而可得异面直线AF与DE所成的角为 ∠AFG或其补角，再解三角形，即可求解 【详解】解：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，AD=2, 所以BC=AD=2,又BE=V3,EC=1, 所以BE2+EC2=BC2,所以EC⊥BE, 又AB⊥平面BCE，ECc平面BCE,所以EC⊥AB，又BE∩AB=B, 10/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以EC⊥平面ABE: (2)如图，连接BD,设AC∩BD=G，连接FG, D G E 则易知G为BD中点，又F为BE中点， 所以GF1IDE,且GF=DE=2, 所以异面直线AF与DE所成的角为LAFG或其补角， AG三AC=2，BF三，-3 2 所以AF= 2 7,15 所以cos∠AFG=424=14 7 22 所以异面直线AF与DE所成的角的大小为arccos 14 7 题型三.直线与平面平行 【例3】(24-25高一下.上海杨浦期末)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E为AB的中点，对于下列 两个命题： ①平面BCC,B上存在一条直线，与平面AC,E平行； ②平面BCCB上存在一条直线，与平面A,C,E垂直. 则() 11/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A D B A.①对，②对 B.①对，②错 C.①错，②对 D.①错，②错 【答案】B 【分析】由点共面可得平面AC,E⌒平面BCC,B,=FC,,结合线面平行的判断定理可得不在平面A,C,E内且 与FC,平行的直线与平面AC,E平行可判断①；假设②正确，利用线面垂直的判断定理推出矛盾即可判断② 错 【详解】解：对于①，取BC的中点F,连接EF,FC,AC, 因为E为AB的中点，所以EF /AC, 由正方体的结构特征可知，AC/A,C, 所以A,C,/1EF,所以平面AC,E∩平面BCC,B,=FC, 若1/1FC,且I丈平面ACE,则111平面AC,E, 因为平面BCCB,内有与FC平行的直线， 所以平面BCCB,上存在一条直线，与平面A,C,E平行，故①对； 对于②，假设平面BCC,B上存在一条直线I与平面A,C,E垂直，则1⊥FC,I⊥A,C, 由正方体的结构特征可知A,B,⊥平面BCCB,因为Ic平面BCC,B,所以A,B⊥I, 因为1⊥A,C,且AB∩AC,=A,所以1⊥平面AB,C,则111CC, 而CC∩FC=C,且不垂直，所以1与FC相交且不垂直，得到矛盾，所以假设不成立，故②错. 故选：B. 12/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C1 A B C 【变式1】(24-25高一下.上海浦东新.期末)己知梯形PBCD中，PD/BC,E为PD上的一点且 BE⊥PD,PE=BE=L,BC=ED,将△PBE沿BE翻折使得二面角P-BE-C的平面角为9，连接PC、 PD,F为棱PD的中点. D B (1)求证：FC/I平面PBE; (2)求证：平面BCDE⊥平面PED; (3)当0=2匹时，求直线FC和平面BCDE所成角的大小. 3 【答案】(1)证明详见解析： (2)证明详见解析： (3)aresin 15 10 【分析】(1)取PE的中点G,证明GFCB是平行四边形，得到BG/ICF,再利用线面平行的判定定理证 明； (2)由BE⊥PD,得到BE⊥PE,BE⊥ED,再利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； (3)由(2)得到∠PED为二面角P-BE-C的平面角0，过点F作FH⊥ED,由面面垂直的性质定理可 得FH⊥平面BCDE,从而∠FCH是直线FC和平面BCDE所成的角，即可求解. 【详解】(1)证明：如图所示： 13/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D B 取PE的中点G,连接BG,GF, 因为F为棱PD的中点，则GF1IED,且GF=ED, 因为在梯形PBCD中，PD/IBC,所以ED/1BC, 又BC=ED,所以GF=BC,GF1IBC, 所以四边形GFCB是平行四边形， 所以BG IICF,又BGc平面PBE,CF平面PBE, 所以CFII平面PBE; (2)证明：在梯形PBCD中，因为BE⊥PD, 所以将△PBE沿BE翻折后，BE⊥PE,BE⊥ED, 又PE∩ED=E，,PE,EDc平面PED, 所以BE⊥平面PED,又BEC平面BCDE, 所以平面BCDE⊥平面PED; (3)解：由(2)知BE⊥PE,BE⊥ED, 所以∠PED为二面角P-BE-C的平面角0， 过点F作FH⊥ED,因为平面BCDE⊥平面PED, 又FHc平面PED,平面BCDE∩平面PED=ED, 所以FH⊥平面BCDE, 所以∠FCH是直线FC和平面BCDE所成的角， 因为6=27，PE=1, 3 所以FH=PEsin2 2 34 在R1△BEG中，BG=VBE+EG=5 2 由(1)知四边形GFCB是平行四边形， 14/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以rC=BG=5 在R1△FHC中，FH=5, 4 FC= 2 5 所以sin LFCH= FH4 15 FC 5 10 2 则∠FCH=arcsin 5 10 所以直线FC和平面BCDE所成的角为asin5 10 【变式2】(24-25高一下.上海浦东新期末)如图，在空间几何体P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O ,E,F分别是BD,PA,BC的中点. (1)证明：EFI/平面PDC; (2)若平面aα经过点F,D,E,且与棱PB交于点H.请作图画出H在棱PB上的位置，并求出P的 HB 值。 0 E BO- D 【答案】(1)证明过程见详解； (2)H为PB的距离B较近的三等分点，P=2. HB 【分析】(1)取PD中点M,连接EM,CM,EF，由题意可证得四边形EMCF为平行四边形，可证得 EF//MC，再由线面平行的判定定理可证得结论； (2)过P作直线1与BC平行，可得I11AD,即可得I,AD共面，延长DE与I交于点G,连接FG,FG 与PB的交点即为点H,由平行线分线段成比例可得H为三等分点，即求出P阳的值. HB 【详解】(1)证明：取PD中点M,连接EM,CM，,EF, 15/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B A D 由E是PA中点，EM1IAD且EM=AD, 由四边形ABCD是正方形，F是BC中点， 所以FC11AD且FC= 可得ME/IFC且ME=FC, 所以四边形EMCF为平行四边形， 所以EFI1MC, 又FCc平面PDC,EF平面PDC, 所以EFII平面PDC: (2)解：如图，过P作直线I与BC平行， 则11/AD,故I,AD共面 延长DE与I交于点G,连接FG,FG与PB的交点即为点H, G D 因为底面ABCD是正方形，F是BC的中点， 所以ADI/BC,且AD=2FB, 因为E是PA的中点，所以PG=AD, 则PG=2F8,所以PH=2. HB 【变式3】(23-24高一下.上海嘉定期末)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中， (1)求证：AB/1平面ADCB; (2)求直线AB与BC所成的角的大小； 16/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)求证：BC1⊥平面A,DCB,· D D A B 【答案】(1)证明见解析； (2)60°； (3)证明见解析. 【分析】(1)根据线面平行的判定定理可证： (2)根据异面直线所成角定义求解： (3)根据线面垂直的判定定理可证. 【详解】(1)证明：因为在正方体ABCD-AB,C,D,中，可知AB/1A,B, 而AB丈平面ADCB,A,B,C平面ADCB,, 所以ABI/平面ADCB,: (2)解：如图，连接AD,BD, D A B D A B 在正方体ABCD-A,B,C,D,中，可知AB,/1CD，A,B,=CD, 所以四边形AB,CD是平行四边形，所以AD/1B,C, 所以∠DAB(或其补角)是直线A,B与直线BC所成角，又A,D=A,B=BD, 所以∠DA,B=60°， 17/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以直线AB与直线B,C所成角为60°； (3)证明：因为在正方体ABCD-A,B,C,D,中， 可知AB,⊥平面BB,CC,且BCC平面BB,CC, 所以A,B,⊥BC, 又因为BC,B,C是正方形BBCC的对角线，因此BC,⊥B,C, 又AB∩B,C=B,且4B,BCc平面ADCB, 所以BC⊥平面ADCB, 题型四.直线与平面垂直 【例4】（23-24高一下.上海期末)若直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于A, B的一点，有下列关系： ①PA⊥BC;②BC⊥平面PAC;③AC⊥PB;④PC⊥BC. 其中正确的是 【分析】①由直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BCC以AB为直径的圆所在的平面，得 PA⊥BC; ②由AC⊥BC,PA⊥BC,得BC⊥平面PAC; ③由AC⊥BC,但AC与PC相交且不垂直，得AC与PB不垂直； ④由BC⊥平面PAC,得PC⊥BC. 【详解】解：，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， C为圆周上异于A,B的一点， :BCc以AB为直径的圆所在的平面，.PA⊥BC,故①正确； :AB是圆的直径，C为圆周上异于A,B的一点， AC⊥BC,又PA⊥BC，AC∩PA=A, BC⊥平面PAC,故②正确： AC⊥BC,但AC与PC相交且不垂直，：AC与PB不垂直，故③错误； :BC⊥平面PAC,PCc平面PAC,:PC⊥BC,故④正确， 故答案为：①②④. 18/55 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25高一下.上海普陀期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形， O为正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD, (1)求证：BD⊥平面PAC: (2)若点M在棱PC上且不与P、C重合，平面ADM交棱PB于点N,求证：MN IIAD, D:o B 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答， 【分析】(1)推导出PO⊥BD,AC⊥BD,由此能证明BD⊥平面PAC. (2)推导出BC/平面ADM,由此能证明BC11MN,MN/BD. 【详解】证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形， O为正方形ABCD的中心，P0⊥平面， BDS平面ABCD,:PO⊥BD, 又：AC⊥BD,'AC∩PO=O,AC、POS平面ABCD, .BD⊥平面PAC. (2):AD//BC且ADS平面ADM,BC不在平面ADM上， :BC//平面ADM, 又.平面ADM∩平面PBC=MN, .BC //MN MN /AD 【变式2】(23-24高一下，浦东新期末)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.在 如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为矩形，点P为四边形ABCD所在平面外一点，且PD⊥平面 19/55 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABCD,PD=CD,点E是PC的中点，连接DE、BD、BE. (I)证明：DE⊥平面PBC,试判断四面体EBCD是否为鳖懦，若是，写出其每个面的直角（只需写出结 论)；若不是，请说明理由； (2)若PD=CD=2√2，BC=2,点F在BD上运动，试求△EFC面积的最小值. B 【答案】(1)证明过程见详解； (2)2. 【分析】(1)易证得PD⊥BC,BC⊥CD,进而可证得BC⊥平面PCD,可证得BC⊥DE,由题意可证 得DE⊥PC,进而可证得结论； (2)当FE⊥CE时，则EF最小，CE为定值，此时△EFC的面积最小，求出该三角形的面积的最小值， 【详解】(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,PD=CD,点E是PC的中点， 可得DE⊥PC,而BCc平面ABCD, 所以PD⊥BC, 又因为BC⊥CD,PD∩CD=D, 所以BC⊥平面PCD, 所以BC⊥DE, 又因为BC∩PC=C, 所以DE⊥平面PBC; (2)解：因为PD=CD=2√2，BC=2,点F在BD上运动， 可得CE=}PC=}VPD+CD=2为定值， 以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 20/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 因为PD=CD=2√2，BC=2,可得D0,0,0,B(2,2√2,0，C0,22,0,P(0,0,2W2), 则DB=(2,22,0,CP=(0,-2√2,22)， 设DB,CP所在的平面的法向量=(x,y,z), 则iD丽=0，即 2x+2W2z=0 i.Cp=0-22y+22z=0 令y=1,则元=（√2,1，）， 设F(2元，2√21,0，则CF=(2入，2√2(2-1)，0， 设F到CE的距离为h,则hCF.五H2W21+22-)+0F2, √2+1+1 所以△EFC面积的最小值为EC-h=x2x5=5. 【变式3】如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，PA=AB,点F是PB的中点，点E在边BC上 移动. (1)当点E为BC的中点时，证明EF/平面PAC; (2)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF, B D 【答案】见试题解答内容 21/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】(1)连结EF,推导出EF/1PC,由此能证明EF/1平面PAC. (2)推导出BC⊥PA,BC⊥AB,从而BC⊥平面PAB,进而BC⊥AF,再求出AF⊥PB,从而AF⊥平 面PBC,由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF, 【详解】证明：(1)连结EF, :点F是PB的中点，点E为BC的中点， :EF //PC, ,EF丈平面PAC,PC丈平面PAC, EF//平面PAC. 证明：(2)：PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形， BC⊥PA,BC⊥AB, :PA∩AB=A,BC1平面PAB, :AFC平面PAB,BC⊥AF, :PA=AB,点F是PB的中点，，AF⊥PB, :PB∩BC=B,AF⊥平面PBC, :点E在边BC上移动，：PEc平面PBC, .无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF. 题型五.平面与平面位置关系 【例5】(23-24高一下.松江期末)在下列判断两个平面α与B平行的四个命题中，其中假命题的是() A.o,B都垂直于直线1，那么a11B B.a,B都平行于平面y,，那么a/1B C.a,B都垂直于平面y,那么a//B D.如果1，m是两条异面直线，且111a,m11a,1/1B,m//B,那么o/B 【答案】C 【分析】根据线面的位置关系，面面的位置关系判断即可. 22/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：A项，，B都垂直于直线I,那么a/1B,正确： B项，a,B都平行于平面y,a,B没有公共点，那么a11B,正确： C项，a,B都垂直于平面y,那么a/1B或a,B相交，错误： D项，1，m是两条异面直线，111a,m/1a,111B,m/1B, 则存在直线m'使得m'11m,且1，m'相交，设1，m'确定的平面y, 由面面平行的判定可知y/1a,同理可得y1/B,则a/1B,正确. 故选：C. 【变式1】(24-25高一下.上海浦东新·期末)已知平面a11平面B,P是、B外一点，过P点的两条直 线PAC、PBD分别交a于A、B,交B于C、D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为 【分析】有面面平行，可得线线平行，AB/1CD,在利用相似三角形的相似比可得CD的长 【详解】解：如图所示，因为平面α/1平面B, 所以AB//CD, △PAB~△PCD, PA AB PC CD CD=8x15 6 20· 当P在平面αa与平面B之间时， PAAB PC CD .CD=8x3 =4. 6 故答案为：20或4. 【变式2】(23-24高一下.上海期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，己知PD⊥平 面ABCD,且PD=AD,E为PC中点， (1)证明：PA/1平面BDE; (2)证明：平面PCD⊥平面PBC. 23/55 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B 【答案】(1)证明过程见解答. (2)证明过程见解答 【分析】(1)连接AC,BD,交于点O,则O是AC中点，连接0E,则0E/1PA,由此能证明PA1/平 面BDE. (2)推导出BC⊥CD,BC⊥PD,从而BC⊥平面PCD,由此能证明平面PCD⊥平面PBC. 【详解】证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形， 连接AC,BD,交于点O,则O是AC中点， 连接0E, :E为PC中点，0E1/PA, :PA丈平面BDE,OEc平面BDE,·PAI1平面BDE. (2)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，BC⊥CD, :PD⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,:BC⊥PD, :PD∩CD=D,·BC⊥平面PCD, :BCc平面PBC,.平面PCD⊥平面PBC. 【变式3】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明：平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上： ①点F为BD中点，求CF与AB所成的角的大小： ②当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 24/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G.... ....B A 【答案】(1)证明详见解析； (2)①CF与AB所成的角的大小arccos- 是：②CP与平面4BD所成的角的正弦值为 7 【分析】(I)根据已知关系有△ABD兰△CBD,得到AB=CB,结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合 线面垂直的判定即可证明面面垂直； (2)①取BF的中点M,BC的中点N,则∠MNE(或其补角)为CF与AB所成的角，在△MNE中求解. ②先证平面ABD⊥平面ACF,可得∠CFA(或其补角)为CF与平面ABD所成的角，在△AFC中求解. 【详解】解：(1)证明：因为AD=CD,E为AC的中点， 所以AC⊥DE, 在△ABD和△CBD中AD=CD,∠ADB=LCDB,DB=DB, 所以△ABD兰△CBD, 所以AB=CB, 又E为AC的中点， 所以AC⊥BE, 又DE,，BEc平面BDE,DE∩BE=E, 所以AC⊥平面BDE, 又因为ACc平面ACD, 所以平面BED⊥平面ACD; (2)①取BF的中点M,BC的中点N,连接MN,ME,NE, M C ⊙ A 则AB/INE,CF/IMN, 所以∠MNE(或其补角)为CF与AB所成的角， 25/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由∠ACB=60°且AB=CB, 所以△ABC是等边三角形， 则AB=BC=2,BE=√5， 由AD⊥CD且AD=CD,E为AC的中点， 所以在等腰直角△ADC中DE=AE=EC=1,CD=2, 在△BDE中，DE=1,BE=√3，BD=2, 由勾股定理的逆定理知为直角三角形， 所以∠EBM=30°， 在ABEM中，由余弦定理得EM2=BE2+BM2-2BE,BM·cos ZEBM,EM2=3+-2×N5xcOS30°=7 1 4 所以EM= 2 在△BCD中，BD=BC=2,CD=√2， 由余弦定理得cos∠CBD= 4+4-23 2×2×24 在ABCF中，CF2=BC2+BF2-2BC.BF·coS∠CBF,CF2=4+1-2x2x1x2=2, 4 所以CF=√2， 2 故MN= 2 在AMNE中，EM= 2,EN=1,MN=2 17 1+ 故Ieos∠ENMH-2AF2 V28 2×1× 2 所以CF与AB所成的角的大小arccos 8 ②连接EF, D 0 CB C E 由(1)知，AC⊥平面BED,EFc平面BED, 26/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 所以AC1EF，则Src=)AC·EF, 2 当EF⊥BD时EF最小，即△AFC的面积最小. 因为AC⊥平面BDE,BDC平面BDE, 所以AC⊥BD, 又因为ACc平面ACF,EFc平面ACF,AC∩EF=E, 所以BD⊥平面ACF, 又因为BDC平面ABD, 所以平面ABD⊥平面ACF, 作CQ⊥AF于Q(或交AF延长线)，因为平面ABD∩平面ACF=AF，CQc平面ACF, 所以CQ⊥平面ABD, 所以∠CFA(或其补角)为CF与平面ABD所成的角， 由△ABD兰△CBD知，AF=CF, 所以EF⊥AC, 在直角ABED中，BE=V5,DE=1,BD=2,EF= 2 在直角△FEA中，4E=l,EF= 2 所以AF=了 2， 在等腰△AFC中，B=CF= ,AC=2, 2 7.7 -4 所以cos∠AFCH44 1 2x7x万 22 所以sin∠AFC= 4v3 所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为4 7 题型六.点、线、面间的距离计算 【例6】(24-25高一下.上海松江·期末)如图，将正四棱柱ABCD-A,B,CD,斜立在平面上，顶点C在平 面a内，AC⊥平面a,AA=2AB=6,点P在平面o内，且PC=√3.若将该正四棱柱绕AC旋转，则 PC的最大值为() 27/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B ·P B A.2W6 B.√41 C.36 D.5 【答案】D 【分析】过点C作CE⊥AC,垂足为E,连接AC,易得CE/1平面a,过点C作CC'⊥平面a,垂足为 C',当C,C,P三点共线，且CP=C'C+CP时，利用勾股定理计算即可. 【详解】解：过点C作CE⊥AC,，垂足为E,连接AC,易得CEI/平面a, 所以点C到平面a的距离为CE,AC=3√2， AC-AC+CC-36.CE-4C.CCL-23.CE=CC-CE-26. AC 过点C作CC'1平面a,垂足为C'(图略)，当C',C,P三点共线，且CP=C'C,+CP时， PC取得最大值，最大值为VC,E2+(C'C,+C,P)2=VC,E+(CE+C,P)2=V(2V6)2+(3V5)2=V51. 故选：D 【变式1】(24-25高一下.上海浦东新·期末)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M是该正方体表 面及其内部的一个动点，且BM//平面AD,C,则线段DM的长的取值范围是 D C ●M A B D B 28/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【， 【分析】作出图形，根据面面平行的性质，易知M为△A,C,B上及内的点，再求D到平面AC,B的距离， 即可求解. 【详解】解：如图，易知AC/1A,C,AD,I1BC, C B 又AC∩AD,=A,从而可得平面AD,CII平面AC,B, 又BMI/平面AD,C,点M是该正方体表面及其内部的一个动点， M为△A,C,B上及内的点， 设AC∩B,D=E,连接DB∩BE=H, 则由EB/IDB,可知H为DB,的靠近B的三等分点， 又根据三垂线定理易知DB,⊥A,C,DB,⊥BC· 从而可得DB,⊥平面A,C,B, DH即为D到平面A,C,B的距离，且H为正三角形A,C,B的中心， -2V5 :DH=2DB=2 3 DM的最小值为2 3 又H到正三角形A,C,B的顶点距离最远， 从而可得当M为正三角形AC,B的顶点时，DM最大，最大值为DB=√2， 六线段DM的长的取值范围是2W5, 故答案为： 【变式2】(23-24高一下.徐汇期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且 29/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CB⊥BP,CD⊥DP,PA=2,点E,F分别为PB,PD的中点. (1)求证：PA⊥平面ABCD; (2)求点P到平面AEF的距离. D B 【分析】(1)推导出AB⊥BC,CD⊥AD,从而BC⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,进而PA⊥BC, PA⊥CD,由此能证明PA⊥平面ABCD. (2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角 坐标系，利用向量法能求出点P到平面AEF的距离. 【详解】解：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB1BP, CD⊥DP, .AB⊥BC,CD⊥AD, AB∩PB=B,AD∩PD=D, :BC⊥平面PAB,CD⊥平面PAD, PA⊥BC,PA⊥CD, BC∩CD=C,PA⊥平面ABCD. (2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角 坐标系， :PA=2,点E,F分别为PB,PD的中点， 30/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P(0,0,2),A(0,0,0,E(1,0,1),F(0,1,1), AE=1,0,D,AF=(0,1,1),AP=(0,0,2), 设平面AEF的法向量为方=(x,y，z), 则万亚=+2=0，取x=1,得万=0,1，-， n·AF=y+z=0 .点P到平面AEF的距离为： d=p.-2-25 1川5=3 【变式3】(24-25高一下.上海普陀期末)在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是15cm 则这个点到二面角的棱的距离为 【答案】30cm. 【分析】根据三垂线定理及二面角的定义，即可求解. 【详解】解：根据题意及三垂线定理可得这个点到二面角的棱的距离为，15 =30(cm). sin30° 故答案为：30cm. 38.(24-25高一下.上海杨浦期末)己知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3， 则线段AB的中点到平面的距离为1或2· 【分析】根据空间中点、线、面得位置关系可得：A、B两点与平面的位置由两种，因此分两种情况A、 B两点在平面α的同侧与异侧讨论此问题， 【详解】解：当A、B两点在平面α的同侧时， 因为A、B两点到平面的距离分别为1和3， 所以线段AB的中点到平面a的距离为2. 当A、B两点在平面a的异侧时， 因为A、B两点到平面α的距离分别为1和3， 所以线段AB的中点到平面a的距离为1. 故答案为：1或2. 题型七.空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【例7】(24-25高一下.上海普陀期末)在长方体ABCD-AB,CD中，AB=5,AD=3,A4=2,则异 面直线AB,和DD的距离为」 31/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】3 【分析】根据图形找到异面直线AB,和DD的公垂线段即可. 【详解】解：如图，在长方体体ABCD-ABC,D,中， D 因为AD⊥平面DD,C,C,且DD,c平面DD,C,C, 所以AD⊥DD, 同理可证AD⊥AB,, 故AD是异面直线AB,和DD的公垂线段， 因此AB,和DD,的距离为AD=3. 故答案为：3. 【变式1】(24-25高一下.上海普陀期末)己知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面α满足： ①A、B、C、D四点均不在平面a上，也不在平面a的同侧； ②若平面α与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之. 设A、B、C、D四点到平面a的距离分别为d,(i=1,2,3,④，则d,的所有不同值的个数组成的集合是 () A.1,2,3,4B.1,2,3} C.1,2} D.出 【答案】B 【分析】根据题意，分类讨论，确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求 解。 【详解】解：当平面a与四面体ABCD的一条棱的中点相交时， 不妨设平面a过棱AB,AC，AD的中点E,M,N,此时点A,B到平面α的距离相等， 且平面a//平面BCD,如图(1)所示 此时B,C,D到平面a的距离可能与A,B到平面α的距离相同，此时d,有1不同的值； 32/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B D 图1) 不妨设平面a过棱AB的中点E,且过AC,AD分别为的三等分点M,N时， 如图(2)所示，此时点A,B到平面α的距离相等，且C,D到平面的距离相等， 且A,B到平面a的距离与C,D到平面α的距离不相等，此时d,有2不同的值： E C 图(2) 不妨设平面a过棱AB,AD的中点E,N,且过AC分别为的三等分点M时， 如图(3)所示，此时点A,B,D到平面的距离相等， 其中A,B,D到平面a的距离与C到平面α的距离不相等，此时d,有2不同的值： M B C 图3) 33/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不妨设平面过棱AB的中点E,过AC的靠近C的三等分点M,过AD靠近A点的三等分点N, M B D C 图(4) 此时A,B到平面α的距离不同，C,D到平面α的距离不同， 且A,B,C,D到平面的距离两两之间都可能不同，此时d,有3个不同的值； 又因为A,B,C,D四个点均不在平面上，也不在平面a的同侧， 所以d,不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面a的同侧）， 所以d,的所有不同值的个数组成的集合为1,2,3}. 故选：B. 【变式2】(24-25高一下·上海杨浦·期末)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点A到平面BB,D,D的 距离为 【答案】 【分析】连接AC,交BD于O,根据线面垂直的判定定理可以证明AC⊥平面BB,D,D,所以AO的长即为 所求.由正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1求出结果即可. 【详解】解：如图所示，连接AC,交BD于O, D B D C A B 因为AC⊥BD，AC⊥BB1,BB∩BD=B,BDC平面BB,DD,BBC平面BB,D,D, 34/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以AC⊥平面BB,D,D, 所以AO的长即为所求， 因为正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为I, 所以AC=V+12=√2， 则A0-AC的 即点A到平面BD,D的距离为互 故答案为： √2 【变式3】(24-25高一下.上海浦东新期末)如图，长方体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=1,AA=2, 点P为DD的中点. (1)求证：直线BD,/1平面PAC; (2)求异面直线BC与AP所成的角的大小； (3)求点A与平面D,DB的距离. D C B P D对 C A ⊙ 【答案】(D证明见解析：(2)45°，(3)2 【分析】(1)设AC与BD交于点0，证明PO11BD,然后由线面平行判定定理得证线面平行； (2)证明∠PAD是异面直线BC与AP所成的角或其补角，再在△ADP中求出此角即得； (3)证明AC⊥平面BDD,得AO的长等于A到平面BDD,的距离，求出此线段长即可. 【详解】解：(1)证明：设AC与BD交于点O,则O是BD中点， 如图，连接PO,又P是DD中点， 35/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B P C B 所以PO11BD, 又因为P0c平面PAC,BD丈平面PAC, 所以BD,//平面PAC; (2)因为BC11AD, 所以∠PAD是异面直线BC与AP所成的角或其补角， 因为AD=DP=1,∠PDA=90°， 所以LPAD=45°， 所以异面直线BC与AP所成的角是45°； (3)因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD, 又因为ABCD-A,B,C,D,是长方体， 所以DD,⊥平面ABCD, 又因为ACc平面ABCD,所以DD,⊥AC, 又因为BD∩DD=D,且BD,DD,C平面BDD· 所以AC⊥平面BDD, 所以AO的长等于A到平面BDD,的距离， 因为正方形ABCD的边长为1， 所以A0=AC= 2 点A与平面D,DB的距离为V3 2 36/55 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高频易错归因清单 题型一.几何法求解直线与平面所成的角 【例1】(24-25高一下.上海普陀期末)如图，棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,，则下列四个命题： ①点P在线段BC,上运动时，直线AP与直线AD所成角的大小不变 ②点P在线段BC上运动时，直线AP与平面ACD,所成角的大小不变 ③点P在线段BC上运动时，二面角P-AD,-C的大小不变 ④点P在线段BC,上运动时，点P到平面ABD的距离最大值为1 其中的真命题是() D B D C A.①③ B.③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【分析】①由线面垂直的判定定理可证AD⊥平面ABCD,,从而知A,D⊥AP，进而作出判断；②先证 BC,I/平面ACD,,从而知点P到平面ACD,的距离d为定值，设直线AP与平面ACD,所成角为0，由 sin0=d,即可作出判断；③二面角P-AD,-C等价于二面角C,-AD,-C,是定值；④易知BC,⊥平面 AP AB,D,再根据点到平面的距离的含义，即可得解. 【详解】解：①因为正方形ADD,A,所以AD⊥AD, 由正方体的性质知，AB⊥平面ADD,A, 所以AB⊥A,D, 又AD∩AB=A,所以AD⊥平面ABC,D, 37/55 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为P∈BC1,BCC平面ABC,D,,所以P∈平面ABC,D, 所以APc平面ABC,D, 所以AD⊥AP, 即直线AP与直线AD所成角的大小不变，为，故①是真命题： ②设直线AP与平面ACD,所成角为0，点P到平面ACD,的距离为d, 因为BC,/1AD,BC丈平面ACD,ADC平面ACD, 所以BC,/平面ACD, 而PeBC,所以点P到平面ACD,的距离d为定值， 因为AP的长度是变化的， 所以sin6=d不是定值， AP 即直线AP与平面ACD,所成角的大小是变化的，故②是假命题： ③二面角P-AD,-C等价于二面角C-AD,-C,是定值， 所以二面角P-AD,-C的大小不变，故③是真命题： ④同①可知，BC⊥平面AB,D, 所以点P到平面ABD的距离最大值为，BC,= 2,故④是假命题. 2 故选：A, D C D 7 B 【变式1】(24-25高一下.上海浦东新.期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方 形，PA⊥平面ABCD,若PA=a,则直线PD与平面PAB所成的角的大小为 38/55 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 82- 【答案】 4 【分析】找到PD在平面PAB上的投影可得∠APD即为直线PD与平面PAB所成的角，结合所给条件计算 即可得解 【详解】解：因为PA⊥平面ABCD,DAc平面ABCD,所以PA⊥DA, 又底面ABCD是边长为a的正方形，所以DA⊥AB, 又PA∩AB=A,PA、ABC平面PAB，所以DA⊥平面PAB, 故直线PD在平面PAB上的投影为PA, 故直线PD与平面PAB所成的角即∠APD, 因为PA=DA=a,PA⊥DA,所以∠APD=T 即直线PD与平面PAB所成的角的大小为 4 故答案为： π 4 【变式2】(24-25高一下·上海杨浦.期末)如图，圆台0,0，的一个轴截面为等腰梯形AACC, AC=2AA=2A,C=4,B为底面圆周上异于A、C的点. (1)求该圆台的侧面积S; (2)若P是线段BC的中点，求证：直线CP/平面A,AB; (3)若AB=BC,设直线I为平面AAB与平面C,CB的交线，设I∩平面AA,C,C=D,点Q在线段BD上 (不含端点)，直线BC,与平面QAC所成的角大小为a,求sina的最大值， C B 39/55 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)直接利用圆台的侧面积公式求解即可： (2)取AB中点H,连接AH,PH,通过证明四边形AC,PH为平行四边形得到C,P/1A,H,然后根据线 面平行的判定定理完成证明； (3)延长AA,CC,交于点O,建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出sn,再根据二次函数 的性质求解出最大值即可， 【详解】解：(1)因为AC=2A4=2A,C1=4, 设圆台上底面半径为r,下底面半径为R, 则r=1,R=2, 所以圆台的侧面积S=π(r+R)AA=6π； (2)证明：取AB中点H,连接AH,PH,如图， A 0 B 因为P为8C中点，所以PH14C,PH=方AC, 在等腰梯形AACC,中，AC,1IAC，AG= -AC, 所以HP1IAC,HP=A,C1, 所以四边形A,C,PH为平行四边形， 所以C,P//A,H,又AHc平面AAB,CP平面AAB, 所以CP/1平面AAB; (3)延长AA,CC交于点O,作直线B0,则直线B0即为直线1， 因为1∩平面AAC,C=D,所以点D与点O重合， 因为AB=BC,则O,B⊥AC, 以直线O,A,O,B,O,O所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 40/55 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Z A C B 在等腰梯形AACC中，AC=2AA,=2A,C,=4, 此烧形的高为=4试-CC=5。 因为AC=三AC,AC/1AC, 21 所以AC为△OAC的中位线， 则02(0,0,0，O0,0,23),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0√3)， 所以BC=(-1,-2,V3),AB=(-2,2,0),B0=(0,-2,2V3),OA=(2,0,0), 设B0=1B0,则A0=AB+B0=AB+λB0=(-2,2-2元，2√3)， 设平面QAC的一个法向量为n=(x,y,z), n.02A=2x=0 则 元·AQ=-2x+(2-22)y+2V32z=0 令y=√3入，得元=(0，V3,入-1)， 则有sina=cos<i,BC,> BC |-2×V32+V3(2-1) 5|2+1川 BC V(N3)2+(2-1)2×V-1)2+(-2y2+(W322×√42-2元+1 令1=1+1， 则sina= √51tl 2V2×V42-10t+7 当t=0时，sina=0,此时=-1， 当t≠0时，0<sina= √5 3 2-10+425×7y+ 22t 3 4 41/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当1-了，即入-号时取等号， 7 5 综上所述，sina的最大值为4 【变式3】(24-25高一下.上海松江.期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB/1DC,∠BAD=90°，AB=4 ,AD=2,DC=3,点E在CD上，且DE=2,将△ADE沿AE折起，使得DB=2V5(如图)，G为 AE中点， (1)求证：DG⊥平面ABCE; (2)求BD与平面ABCE的所成角； (3)在线段BD上是否存在点P,使得CP11平面ADE？若存在，求B肥的值；若不存在，请说明理由， BD E B 图1 图2 【答案】(1)证明见解析； (2)arcsin- 6 ； 6 【分析】(1)连接BG,利用几何关系得DG⊥AE,DG⊥GB,再利用线面垂直的判定定理，即可求解： (2)由(1)知∠DBG为BD与平面ABCE所成的角，在R1△DGB中，利用sin∠DBG=DC,即可求解： BG (3)在AB上取点H,使4H日4B=1,连接CH,过H作HP14D交BD于P,利用线面平行的判定 定理可得平面ADE,HPI/平面ADE,进而可得平面HPC//平面ADE,再由面面平行的性质，即可求解. 【详解】解：(1)证明：连接BG, D A H 因为AD=DE=2,G为AE中点，所以DG⊥AE, 又AD⊥DE, 42/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以AE=2√2， 所以DG=AG=√2， 在△ABG中，4B=4,∠B4D=90,则∠B4G= 所以G82-2+16-2×2x4xcos至=18-8=10， 又因为BD=23,DG=√2， 所以BD2=DG2+GB2,则DG⊥GB, 又AE∩GB=G,AE,GBC面ABCE, 所以DG⊥平面ABCE; (2)由(1)知∠DBG为BD与平面ABCE所成的角， 在R1△DGB中，BD=2V5,DG=√2， 所以sin∠DBG= DG√2√6 BD25-6 又∠D8Ge01: 所以∠DBG=aresin 6, 即BD与平面ABCE所成的角为arcsin 6 (3》存在，且BP=3,理由如下， BD 4 如图在AB上取点H,使AH=AB=I,连接CH,过H作HP1/AD交BD于P,连接CP, 因为CE/1AH,且AH=CE=1, 所以四边形AHCE为平行四边形，则AE //HC, 又AEc平面ADE,HC丈平面ADE, 所以HC//平面ADE, 又ADC平面ADE,HP平面ADE, 所以HPII平面ADE, 又HP∩HC=H,HP,HCc平面HPC, 所以平面ADE/I平面HPC, 43/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又PCc平面HPC, 所以PCI/平面ADE, 此时BP-BH-3 BD AB4' 所以在线段BD上是香存在点P,使得CP11平面ADE,且BP-3 BD 4 【变式4】(24-25高一下.上海杨浦期末)如图.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是BC,的中点. (1)求证：直线DE与BC是异面直线； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小. D B A E C A B 【答案】(1)证明见解析； 6 (2)arctan 【分析】(1)利用反证法可证明 (2)取BC的中点F,连接EF,DF;先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线DE与平面 ABCD所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【详解】解：(1)证明：用反证法证明： 假设直线DE与BC不是异面直线，则直线DE与BC可以确定一个平面，记为平面， 所以点E,点B,点C在平面a上， 又根据题意可知：点E,点B,点C在平面ABCD上 所以点E,点B,点C三点共线，这与点E是BC的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线DE与BC是异面直线. (2)根据题意，取BC的中点F,连接EF,DF, 如图： 44/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B D 因为E是BC,的中点，则EF/1CC,且EFF21CCI 在正方体ABCD-AB,C,D,中，有CC⊥平面ABCD,则EF⊥平面ABCD, 则∠EDF是直线DE与平面ABCD所成角， 设正方体的棱长为2a, EF=a,DFDC+FC=(2a)+a2=5a, 故tan∠EDF=IEF-5 又由∠EFeo1,则∠EDF=arctan5 题型二.几何法求解二面角及两平面的夹角 【例2】(24-25高一下.上海杨浦期末)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.己 知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150°，测得从D、C两点到水库底面与水坝斜面的交线的距 离分别为DA=20√5m,CB=40m,且AB=20m,则甲乙两人相距 m. C B D 【答案】2014. 【分析】由空间两点的距离公式，结合二面角的定义求解即可. 【详解】解：由空间两点的距离公式可得：|CD=√AD2+BC2+AB2-2AD·BC.cos150° 120+160+40-2x205x40x(-5 =20W14. 故答案为：20V14. 45/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25高一下.上海普陀.期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°.将 △ACD沿对角线AC折起，使二面角B-AC-D的大小为120°，则B、D两点的距离为 A 【答案】2. 【分析】过点B作BE/IAC至点E,使得BE=AC,将二面角B-AC-D转化为平面角，再证明BE⊥DE ,通过余弦定理和勾股定理，得到BD的长度. 【详解】解：过点B作BE //AC至点E,使得BE=AC,连接CE,DE, 平行四边形ABCD中，∠ACD=90°，可得∠BAC=90°， 由BE//AC,BE=AC,可得ABEC为平行四边形， 又AB=AC,可得ABEC为正方形， 所以CE=AB=CD=1,CE⊥AC, 所以∠ECD是二面角B-AC-D的平面角，即∠ECD=120°， 所以在△EDC中，由余弦定理可得DE=VCD2+CE2-2 x CDx CE×cos∠DCE=V3, 由AC⊥CD,AC⊥CE,CE∩CD=C,CD,CEc平面DCE, 可得AC⊥平面DCE, 所以BE⊥平面DCE,而DEc平面DCE, 所以BE⊥DE, 在△BDE中，有勾股定理可得BD=√BE2+DE2=2. 故答案为：2. D A 【变式2】(24-25高一下.上海杨浦.期末)用一个与圆柱底面不平行的平面去截圆柱可得到一个斜截面.若 沿着圆柱的母线将其剪开并展开成平面图，通过观察，发现此截口曲线展开后，与正弦函数或余弦函数的 图像相近.设圆柱的底面半径为r,斜截面与底面所成的二面角的大小为0. 46/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 r=3.3 0=459 C Q r=3.3, 0=22.5° r=2, 0=45° 图1 图2 图3 (1)某班的同学们尝试研究上述截口曲线的形状问题.他们自制了r与0不同的三个斜截圆柱，如图1所 示，并沿着斜截圆柱的母线将其剪开后展开成平面图.然后他们分为三组，进行了如下操作：首先把截口 曲线描到白纸上，通过合理地建立平面直角坐标系，再选取一些点并测量其坐标，最后由形如 y=Asin(or+p)+C的函数表达式进行拟合，并求出对应的拟合结果. 报合的结果如表所示。因为受157，所以衣格中g都可以近似地看作受再作适当的上下平移，则C可 化为0，故得到表格中对应的近似结果 请将表格中序号③的近似结果补充完整，将答案直接写在答题纸上的相应位置（无需过程)； 序号 拟合结果 近似结果 ① 3.3 22.5° y=1.33sin(0.32x+1.56)+0.14 y=1.33cos(0.32x) ② 3.3 45° y=3.26sin(0.31x+1.61)-0.03 y=3.26cos(0.31x) ③ 2 45° y=1.91sin(0.54x+1.52)+1.90 (2)如图2，已知O、O,分别是圆柱的上、下底面的圆心，圆柱的一个斜截面所在的平面B与上底面所在 平面的交线是⊙O在点B的切线1，又平面y过线段O,O,的中点O且平行于底面.设平面y与斜截面相交于 ⊙0的直径EF,并与圆柱的母线AB的公共点为C. 如图3，现只考虑该圆柱在斜截面下方的部分.对于斜截面边界上的一点P,点P在平面Y上的投影为点Q 已知圆柱O,O,的底面半径为r,二面角B-EF-C的大小为0.设⊙0的CQ的长度为x,∠COQ=a, a∈[0，)，试用a表示x,并求LB0C; (3)在(2)的条件下，设PQ=y,试求y关于x的函数表达式. 【答案】(1)y=1.91cos0.54x; (2)x=ar;B0C=0; 47/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)y=rcos*tan0. 【分析】(1)由题意由0可以近似地看作交，C可化为0，则可得近似结果， 2 (2)结合线面垂直与平行的判定及性质，可找到二面角的平面角即∠B0C=0,利用扇形弧长公式可得 x=ar; (3)建立空间直角坐标系，利用四点共面可求。 【详解】解：(1)根据题意，由p都可以近似地看作，且作适当的上下平移，则C可化为0， 则根据拟合结果y=1.91sin(0.54x+1.52)+1.90, 由y=1.91sin(0.54x+)+0=1.91cos0.54x, 2 故序号③的近似结果为y=1.91cos0.54x, (2)如图2中，连接OB,0B,0C,AO,. B 依题意有AB为圆柱母线，O,O,为上、下底面中心连线， 则AB11O,O2,又AB=O,O,故四边形ABO,O,是平行四边形， 则O,B/10,A,由平面y过线段0,0，的中点0且平行于底面， 且平面B与上底面所在平面的交线是⊙O在点B的切线1， 则1在上底面所在平面内，且1⊥OB,故1/y, 又1cB,且B∩y=EF,则111EF,同理，由O,B/1平面y, 因为O,Bc平面AB0,02,y∩平面AB0,O2=0C,则O,B/10C,则110C, 48/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又0,0，与上底面垂直，故0,0,11，因为0C∩0O=0,且0C，0,0,c平面AB0,0, 所以1⊥平面ABO,O2,则EF⊥平面ABO,O2, 又0B,OCc平面ABO,O,所以EF⊥OB,且EF⊥OC, 故∠B0C即为二面角B-EF-C的平面角，则∠B0C=0; 如图3中，由⊙0上的CQ的长度为x,且⊙0的半径为r, 且∠C00=a,a∈[0，)，则x=ar. 故x=ar,且∠B0C=0. (3)在图3中，由题意可知∠CO0=a,PQ=y,OQ=r, 且由第(2)间求解可知an0=BC,故BC=rtan9, 以O为坐标原点，以0C,0E,OO所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 则B(r,0,rtan0),E(0,r,O),P(rcosa,rsina，), 由题意O,B,E,P四点共面， 故存在实数m,n,使得Op=mOB+nOE, rcosa =mr 则rsina=r,可得y=rcosa tan0,又ar=x, y=mr tane 则y=rcostan日. 49/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25高一下.上海浦东新.期末)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=√5，M是线段AD上 的一动点，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点A的位置，满足点A'E平面BCDM且点A在平面 BCDM内的射影E落在线段BC上. D(M (1)当点M与点D重合时， ①证明：A'B⊥平面A'CD; ②求二面角A'-BD-C的余弦值； (2)设直线CD与平面A'BM所成的角为a,二面角A'-BM-C的平面角为B,求sina·cosB的最大值. 【答案】(1)①证明详情见解答 ②} 3 【分析】(1)①当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知AB⊥AD,由项目垂直的判定定理，即可 得出答案 ②过E作E0⊥BD于点O,连接A'0,根据题意可得∠A'OE为二面角A'-BD-C的平面角，再计算余弦值， 即可得出答案。 (2)过点E作EQ/1CD交BM于Q,则直线EQ与平面A'BM所成的角即为直线CD与平面A'BM所成的 角，过E作E0⊥BM于点O,连接A'O,作EH⊥A'O,垂足为H,连接HQ,∠EQH是直线EQ与平面 A'BM所成的角，即∠E0H=a,设AM=t,0<t<V3,则sina,又∠A'0E是二面角A'-BM-C平面角， 即∠AOE=B，cosB气%=·进而可得答案. 【详解】解：(1)①证明： D(M) 当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知A'B⊥A'D, 50/55 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由题意知A'E⊥平面BCD,CDC平面BCD,所以A'E⊥CD, 又BC⊥CD,AE∩BC=E,AEc平面A'BC,BCc平面A'BC, 所以CD⊥平面A'BC,又ABc平面A'BC,可知A'B⊥CD, A'D∩CD=D,CDc平面A'CD，A'DC平面A'CD, 所以A'B⊥平面A'CD. ② D(M B 过E作EO⊥BD于点O,连接A'O. 因为A'E⊥平面BCD,BDC平面ABCD,所以AE⊥BD, 因为EO⊥BD,A'E⊥BD,AE∩EO=E,所以BD⊥平面A'OE,所以BD⊥A'O 所以∠A'OE为二面角A'-BD-C的平面角， 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 2,E0=3 因为A8=,AD=V5,由几何关系可得A0= 6 5 所以在Rt△A'E0中，cos∠AOE=OE=6=」 2 即二面角4”-BD-C的余弦值为) (2) M B E 过点E作EQ/ICD交BM于Q, 所以直线EQ与平面A'BM所成的角即为直线CD与平面A'BM所成的角， 过E作E0⊥BM于点O,连接A'O. 51/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由②同理可得BM⊥平面A'OE,BMc平面A'BM, 所以平面A'BM⊥平面A'OE, 作EH⊥A'O,垂足为H, 由平面A'BM∩平面A'OE=OE,EHc平面A'OE,可得EH⊥平面A'BM, 连接HQ,∠EQH是直线EQ与平面A'BM所成的角，即LEOH=a, 因为△ABEO△ABM,满足AE=AM BE AB 设AM=t,0<t<V5, 所以BE=},BM=P+i,OE= ,A0='0= tW2+1 V2+1 因为在Rt△A'OE中，斜边大于直角边，即A'0>OE, 所以> 1 2+1 w2+1 所以1<t<V5, AE=4O-O 5-vP-i t 在△4O中由等面积EH=e0E.,B0- vP-1 所以sin2a=( EO 因为A'O⊥BM,OE⊥BM, 所以∠A'OE是二面角A'-BM-C平面角， 即∠H0E=B,cosB=OE=1, AOF' 所以amB-0-户行+行之+号子当且收当1-5时“魔立， 故的最大值子 【变式4】(24-25高一下.上海普陀期末)如图，在四棱柱ABCD-AB,C,D,中，侧棱AA4上底面ABCD, AA=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,CD=6k(k>0). (1)求证：直线B,C与直线DD是异面直线； 52/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若二面角B,-AC-B的余弦值为6 求k的值； 19 (3)现将与四棱柱ABCD-A,B,C,D,形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼 成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，试问共有几种不同的拼接方案？请简要说明. 在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k),求f(k)的表达式. D B B 72k2+26k,0<k≤5 【答案】(1)证明见解析：2)长= (3)3种，f(k)= 36k2+36k,k> 18 【分析】(1)证明直线B,C与直线DD既不相交也不平行，则直线B,C与直线DD异面；(2)建立如图所 示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角，从而可得k值；(3)把直棱柱的各面拼接成四边形后可得， 然后计算各个表面积，比较可得f(k). 【详解】解：(I)证明：在四棱柱ABCD-AB,CD,中，侧棱BB,与DD平行，又因为BB与B,C相交，所 以DD,与B,C不平行， 直线B,C∩平面BDD,B,=B,DD,C平面BDD,B,所以DD,与B,C不相交， 直线B,C与直线DD既不相交也不平行，则直线BC与直线DD,异面. (2)取DC的中点E,连接BE, 因为AB//ED，AB=ED=3k,所以四边形ABED是平行四边形， 所以BE//AD,且BE=AD=4k, 所以BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2, 所以∠BEC=90°，所以BE⊥CD, 又因为BEI/AD,所以CD⊥AD· 因为侧棱AA⊥底面ABCD, AA/DD,侧棱DD⊥底面ABCD, 53/55 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CDc平面ABCD,ADc平面ABCD, 所以DD⊥DC,DD⊥AD. 所以DD,DC,DA两两垂直， 以D为坐标原点，DA,DC，,DD的方向为x，,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0,A(4k,0,O,C0,6k，0,B(4k,3k,O,B,(4k,3k，1),A(4k,0,). 所以AC=(-4k,6k,0),AB=(0,3k,1),A4=(0,0,1). 24 D C B A D B 设平面A8,C的一个法向量为元=(k,人，)，则i1C=-46x+6的=0， i·AB=3y+z=0 取y=2,则z=-6k,x=3.所以方=(3,2，-6k). 因为AA⊥底面ABCD,所以平面ABC的一个法向量为AA, 设二面角B,-AC-B的平面角为0， c0s0cos<4,i>1IA4:i-1-6k1_6 1A4V13+36k19' 又因为k>0,解得k= 5 (3)由题意可以左侧面ADD,A,重合拼接，或右侧面BCC,D,重合拼接，或侧面CDD,C,重合拼接（这是五 棱柱，舍去)， 或上、下底分别拼成一个平行四边形或一个矩形（与左右侧面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接， 共3种方案， 1 S.0=4k 3k SncGi =5k.Scmnc=6k.Suco=G3k+6k)x4k=18k. 54/55 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四棱柱ABCD-A,B,C,D,的全面积是S=36k2+18k, 左侧面ADD,A重合拼接， S=2S-2SAD04=72k2+28k, 右侧面BCC,D,重合拼接， S=2S-2Scc4=72k2+26k, 上下底面重合拼接， S,=2S-2S4BcD=36k2+36k, 5 5 72k+26>36+36,k>18,72k+26k≤36k+36k,0<k≤ 8 72k2+26k,0<k≤点 Γ18 所以f(K)= 36k2+36k,k> 18 55/55