专题05 第7章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用（2考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单05 第7章 函数的图象及其应用 （2个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【变式1-2】.（23-24高三上·上海浦东新·期中）将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式1-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：    【变式2-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，若函数的图像如图所示，则 . 【变式2-2】.（24-25高一下·上海杨浦·期中）函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为 . 【变式2-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，则的值是 . 【变式2-4】.（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 【考点题型三】函数性质的综合（选填）（） 【例3】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【变式3-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知函数 ，且 ，则 . 【变式3-2】.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足 . 【变式3-3】.（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【变式3-4】.（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 ． 【考点题型四】函数性质的综合（解答题）（） 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 【变式4-1】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【变式4-2】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调递增区间. 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知. (1)化简为形式； (2)求函数的单调减区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式4-4】.（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知 ． (1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； (2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 【考点题型五】函数中的零点个数问题（） 【例5】（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数的图象如图所示.    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 【变式5-1】.（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数单调递增区间和对称轴方程； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【变式5-2】.（24-25高一下·四川内江·期中）已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围. 【变式5-3】.（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【变式5-4】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间； (2)若的图象向右平移个单位得到的函数的图象，函数在上仅有一个零点，求的取值范围． 【考点题型六】函数中的零点代数和问题（） 【例6】（24-25高一下·湖南长沙·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (2)若方程在上的解为，，求． 【变式6-1】.（24-25高一下·广东江门·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． (3)求的解集． 【变式6-2】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和． 【变式6-3】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，， (1)求的单调递减区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【变式6-4】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的最小值. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间内的解为，求 【考点题型七】函数中的恒成立问题（） 【例7】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于． (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值． 【变式7-1】.（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图象的对称中心； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式7-2】.（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. (1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值. (3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【变式7-3】.（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 【变式7-4】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． (2)设，若恒成立，求实数c的最小值． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象向左至少平移 个单位可得到函数的图象. 2．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是 . 3．（24-25高一下·全国·课后作业）将函数图象向右平移个单位，得到的图象的解析式为 ． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是 . 5．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，（，，）的最小值是－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是，又图像过点，则函数解析式为 ． 6．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 7．（24-25高三上·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 8．（24-25高一·上海·随堂练习）某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象，则这段函数的解析式是 ． 9．（2024高一下·上海·专题练习）函数的图象如图所示，则该函数的最小正周期为 ． 10．（2024高一下·上海·专题练习）已知，若函数的图象如图所示，则 ． 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 12．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的严格减区间的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一·上海·随堂练习）下列哪个区间是函数的单调增区间（    ）． A． B． C． D． 14．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题 15．（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 16．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 17．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 18．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知. (1)将化成； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第7章 函数的图象及其应用 （2个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 【变式1-1】.（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移个单位得到， 故选：B. 【变式1-2】.（23-24高三上·上海浦东新·期中）将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数解析式，进而可得对称中心. 【详解】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位， 可得， 令，， 解得，， 即对称中心为，， 当时，对称中心为，令得k均为整数解. 故选：D. 【变式1-3】.（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 【变式1-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解. 【详解】与函数的图象形状相同，则振幅和周期相同即可， 即； 对于A，中，振幅不相同，故A错误； 对于B，中，振幅不相同，故B错误； 对于C，中，周期不相同，故C错误； 对于D，中，相同，则图象相同，故D正确. 故选：D. 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先由图像可得，然后将代入解析式可得，即可得到结果. 【详解】由图像可知，，，则，所以， 即， 将代入可得，即， 解得，且， 当时，， 所以. 故答案为： 【变式2-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，若函数的图像如图所示，则 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求函数值 【分析】由函数的图像可得出，由此即可求出一个周期内的值，再利用周期性得出答案. 【详解】由图可知（同理），最小正周期由得， 此时. 又函数过点，所以， 所以，得,取 所以， ，，，，，，， 即， 故答案为：. 【变式2-2】.（24-25高一下·上海杨浦·期中）函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据函数图象求函数解析式，再应用正弦型函数的性质求单调增区间. 【详解】由图，则，故，可得， 所以，则， 所以，可得，而，故， 所以， 令，则， 所以函数单调递增区间为. 故答案为： 【变式2-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，则的值是 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据对称关系可推导得到最小正周期，进而得到；根据和的范围可求得结果. 【详解】由图象可知：，图象关于点中心对称， 最小正周期，，， ，结合图象可知：， ，又，. 故答案为：. 【变式2-4】.（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解； （2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由图可知：，解得， . 又，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴， ∴，解得. 由图可知函数周期，∴. ∵，∴，∴，. 综上，，，，. （2）由（1）知， ∴. 令，则，. 由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上，函数的值域为. 【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值； 本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围. 【考点题型三】函数性质的综合（选填）（） 【例3】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内求的解即可. 【详解】函数的周期为， 由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，， 故， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知函数 ，且 ，则 . 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由得，，即，，即可求解. 【详解】由有， 由，不妨， 所以，， 即， 故答案为：. 【变式3-2】.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足 . 【答案】， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围. 【详解】因为，所以函数的最小正周期， 所以函数在区间上的图象为一个周期的图象， 又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，， 所以与关于对称，且， 所以，即， 故，所以， 故答案为：，. 【变式3-3】.（2025·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 【变式3-4】.（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 ． 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、三角函数图象的综合应用 【分析】根据题意作图，通过图象可知，等腰直角三角形的斜边的长度为三角函数的一个周期，利用等腰直角三角形的性质求出边长，再由三角函数的周期公式求得的值. 【详解】 如图所示（根据对称性，其它情况与此本质相同）， 在函数与的交点中，， 令，又，所以， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，则. 故答案为：. 【考点题型四】函数性质的综合（解答题）（） 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 【答案】(1)2 (2). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围． 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）由（1）可知. 若，时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得. ①当时，可得，则有，解得； ②当时，可得，，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，a的取值范围为. 【变式4-1】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数的最小正周期为，单调减区间为（） (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果； （2）先由关于x的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数在上的值域，即得结果. 【详解】（1），所以函数的最小正周期为， 由，得：， 所以函数的单调减区间为（）. （2）由，可得， 即，由，可得， 则，，即. 所以的取值范围为. 【变式4-2】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先利用二倍角公式与辅助角公式，化简函数，再求函数值. （2）结合函数的单调性，利用换元思想求三角函数的单调区间. 【详解】（1）， 所以. （2）由， , 解得：， 所以函数的单调增区间为. 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知. (1)化简为形式； (2)求函数的单调减区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值和最小值分别为2和1. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简即得. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求出单调递减区间. （3）求出相位所在区间，再利用正弦函数的性质求出最大值和最小值. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知，，解得， 所以函数的单调减区间是. （3）当时，，则当，即时，， 当，即时，. 【变式4-4】.（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知 ． (1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； (2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 【答案】(1) (2)函数图象见解析； 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、反三角函数、辅助角公式、给值求角型问题 【分析】（1）求函数在上的最值，解不等式问题转化为且，由此可得结果. （2）利用辅助角公式化简函数解析式即可画出函数图象.利用反三角函数可表示的集合. 【详解】（1）∵，∴， ∴，故. ∵，∴， ∴， ∵对任意的，不等式 成立， ∴，且， 由得，，， ∴，即的取值范围是. （2）由题意得， ， 令， ∵时，，时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵，，， ∴在上的大致图象为： 由得，，故， ∵，∴， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又∵， ∴或， ∴或， ∴满足的的集合为. 【考点题型五】函数中的零点个数问题（） 【例5】（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数的图象如图所示.    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先由图形利用五点法求函数的解析式，再利用正弦函数的递增区间求解即可； （2）先由图象平移的性质求出，再利用正弦函数的值域结合题意可得. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以， ，由图易得，则， 又，则，则，， 所以，， 所以. 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. （2）由题. 当，时，. 所以. 【变式5-1】.（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数单调递增区间和对称轴方程； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解； （3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【详解】（1）， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以. （2）令， 则， 所以的单调递增区间为; 令, 解得, 即的对称轴方程为. （3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 【变式5-2】.（24-25高一下·四川内江·期中）已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)，对称中心： (2)或 (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式、特殊角的三角函数值、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）由函数的图像得到和周期，然后求得，通过点坐标，得到，即求得函数解析式，由余弦函数的对称中心得到函数的对称中心； （2）由（1）得到方程，结合题目给到的区间求得对应的的值； （3）整体题中方程得，由取值范围求得的范围，由题意得到最大值的不等式，解得的取值范围. 【详解】（1）由函数的图像，可得，周期， 则，∴． 将点代入函数解析式可得， 解得，∵，∴， ∴； 令，解得， 的对称中心为 （2）由（1）知：，又， ∴，， ∴或 解得：或 又∵， ∴或. （3）由（1）知，则， 由函数在上恰有5个零点， 即在上恰有5个解， 即在上恰有5个解， ∵，∴， 即函数与在区间有5个交点， 由图像知，只需即可，解得， 故. 【变式5-3】.（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可得到的解析式； （2）由（1）知，写出函数单调减区间即可； （3）根据，求出的范围，结合图象，根据与图象有2个交点，即可求解. 【详解】（1）由已知，， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 则的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知， 令， 解得， 故的单调递减区间为． （3）由（1）知， 因为时，所以． 令， 则， 方程恰有两个不同的实数解， 即函数的图像与直线恰有两个不同的交点， 如下图： 结合图像可知，即， 综上，实数的取值范围是． 【变式5-4】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间； (2)若的图象向右平移个单位得到的函数的图象，函数在上仅有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)和 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】（1）根据条件，求得，利用的性质，结合题设条件，即可求解； （2）根据条件，直接求出的零点，结合题设条件，建立不等关系，即可求解. 【详解】（1）因为，所以 ， 由的图象关于直线对称， 所以，整理得到， 又因为，所以当时，，所以， 令，解得， 又，令，得到，令，得到， 所以在上的单调递增区间为和． （2）由已知得，令，得， 所以，因为在上仅有一个零点，， 所以， 整理得到，，所以，， 解得，因为，所以，则． 【考点题型六】函数中的零点代数和问题（） 【例6】（24-25高一下·湖南长沙·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (2)若方程在上的解为，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、cosx（型）函数对称性的其他应用、余弦函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）首先求函数的解析式，再根据代入法，转化为，有两个不等的实根，结合三角函数的图象，即可求解； （2）利用对称性求得，代入，根据函数解析式，即可求解. 【详解】（1）由平移规律可知，， 当时，， 当时，单调递增，值域是， 当时，单调递减，值域是， 方程有两个不等的实根，则，有两个不等的实根， 则，得； （2）由条件可知，，即，， ，， 当，单调递增，当，单调递减， ，在有两个实数根，则， 即，即，则， . 【变式6-1】.（24-25高一下·广东江门·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． (3)求的解集． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数图象可得范围，根据其对称性可得. （3）结合正弦函数图象可得范围，即可得解集. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 方程在上有两个不等实根， 则与在上有两个同的交点， 由，得，又， 结合图象可知，，则实数的取值范围为. 再根据图象的对称性可得，，则， 则. （3），则 结合图象可得 解得， 故的解集为 【变式6-2】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由图象的相邻两条对称轴间的距离为，求得，根据为奇函数求得，再根据正弦函数的性质求解单调区间即可； （2）由图象变换得，由解得或，数形结合即可求解． 【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为， 所以的最小正周期为，得， 又为奇函数，则， 又，所以，故． 令，得， 所以函数的递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 又，解得或， 即或． 令，当时，， 画出的图象，如图所示： 的两个根对应的点关于直线对称，即，有， 设在上两个不同的根，则， 所以； 设在的根为，则，解得， 所以方程在内所有根的和为． 【变式6-3】.（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，， (1)求的单调递减区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求零点的和、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）通过整体代换法求解即可； （2）先由求出整体角的取值范围，再求得的最大值和最小值； （3）先根据图形变换求出，在求其零点得出结果. 【详解】（1）函数. 令 解得， 所以函数的单调递减区间为， （2）由（1）得， 由于，所以， 所以，故， 当时，函数的取最小值，最小值为， 当时，函数的取最大值，最大值为. （3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 令，，即， 整理得，即或， 当时，或，即，； 当时，，； 当时，； 故所有零点之和为． 【变式6-4】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的最小值. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间内的解为，求 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含sinx（型）的二次式的最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的周期性，奇偶性求得函数解析式，令，利用换元法转化为二次函数，求最小值即可. （2）利用三角函数的图象变换规律，求得的解析式，利用方程的解及正弦函数的性质求得，进而求出，讨论的取值范围，利用平方关系即可求解. 【详解】（1）由题意得 因为图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得， 所以，， 因为，所以，所以函数， 所以， 令， 则，， 其对称轴为，在上单调递增，在单调递减， 因为当时，， 当时，， 所以当时，取到最小值， 即的最小值为. （2）因为， 将函数的图象向右平移个单位长度可得， 再把纵坐标缩小为原来的倍（横坐标不变），得到函数， 因为,故， 由题意得，得， 所以，所以， 所以， 因为，， 所以，即， 所以. 【考点题型七】函数中的恒成立问题（） 【例7】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于． (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，，对称中心为， (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由图象可得函数的最值、周期与相位，分别建立方程，可得答案. （2）根据正弦函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案； （3）由函数图象变换可得新函数的解析式，整理不等式构造函数，根据正弦函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由图可得，则，，则， 解得或，，由，则， 由，则，由图可得周期，易得， 所以. （2）令，，解得，， 令，，解得，， 所以的对称轴为直线，， 对称中心为，. （3）由题意可得， 要证，只需证， 令， 由题意可得，则，即求函数的单调递减区间， 令，，解得，， 由题意可得，， 则，，解得，， 当时，令，则，此时，不合题意， 令，则，此时，符合题意； 当时，令，则，此时，不合题意， 令，则，不符合题意；易知当时，都不符合题意 所以的最大值为. 【变式7-1】.（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图象的对称中心； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；， (2). 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据正弦型函数的周期性和对称性求解； （2）根据题意进行图象变换得到，通过分离参数得到不等式，利用半角公式将右侧函数变形求出值域，即可得到结果. 【详解】（1）由题 . ∵最小正周期，∴，. 令，，解得，， ∴函数图象的对称中心，． （2）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 再向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象. 所以 由题意对任意恒成立， 所以对任意恒成立. 令， 当时，； 当时，.令，则. 当时，，即； 当时，，由对勾函数性质可知， 所以 综上所述，的值域为，所以. 故实数的取值范围是. 【变式7-2】.（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. (1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值. (3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【答案】(1)，作图见解析 (2) (3) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx（型）函数的最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得； （2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值； （3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，， 且，解得，则，即有， 将点代入，化简可得，则， 即，因，故得，即. 取函数在一个周期上的五点列表如下： 0 2 0 0 在直角坐标系中作图如下： （2）依题意是偶函数， 故，解得，即， 因，则得，则时，取得最小值为 . （3）由（2）分析可得，因，则， 结合余弦函数的性质可得，故得， 因对任意的，恒有成立，故得， 解得或，即的取值范围为. 【变式7-3】.（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，即可利用整体法 求解； （2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果. 【详解】（1）， 令，解得， 故的单调递增区间为： （2） 当时，，， 即 又恒成立，，解得， 实数的取值范围为：. 【变式7-4】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． (2)设，若恒成立，求实数c的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可； （2）利用换元法得到的最大值，即可得到的范围. 【详解】（1）, 因为为奇函数，所以，解得， 又，所以， 因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，解得， 所以， 由题意得， 当时，，则， 所以的值域为. （2）， 令， 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 因为恒成立，所以， 所以的最小值为. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象向左至少平移 个单位可得到函数的图象. 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据平移的规则计算求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象， 即得函数的图象，所以向左平移个单位, 所以的最小值为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是 . 【答案】. 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）将函数图象向右平移个单位，得到的图象的解析式为 ． 【答案】. 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】直接利用函数的图象的平移变换求解析式. 【详解】函数图象向右平移个单位， 所得图象的解析式为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的单调性，可得，求解可得结果. 【详解】当时，， 由题意可知，，解得. 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，（，，）的最小值是－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是，又图像过点，则函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据函数的最值求出，根据周期求出，根据函数图象过点求出，可得函数解析式. 【详解】由题意得，，则， ∴，， ∴，把代入得， 又 所以， ∴． 故答案为：. 6．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用、诱导公式五、六 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即，又因为，所以令，即， 故答案为：. 8．（24-25高一·上海·随堂练习）某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象，则这段函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】设，由图象可得，可求出，求出周期，从而可求出，再将代入函数中可求出，从而可求出函数的解析式. 【详解】根据题意设函数的解析式为， 由图象可得，解得， ，得， 所以，得， 所以， 将代入得，， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 9．（2024高一下·上海·专题练习）函数的图象如图所示，则该函数的最小正周期为 ． 【答案】8 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】 根据函数图象过点可求得的值，继而根据函数过点，可求得的值，进一步计算即可求解. 【详解】由，得， ，， 则， ， ，即， 则函数的最小正周期， 故答案为：. 10．（2024高一下·上海·专题练习）已知，若函数的图象如图所示，则 ． 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数的图象可得的解析式，由此即可求出一个周期内，再利用周期性得出答案． 【详解】由图可知（同理），，解得：， 此时， 又函数过点，即，解得，取， 所以，， 所以，，，，， ，，， 即， 所以． 故答案为：. 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦函数图象的应用、辅助角公式、二倍角的余弦公式 【分析】先化简函数的解析式，再根据函数零点的分布求参数的取值范围. 【详解】因为. 由，，. 因为在区间内没有零点，所以存在，使得： ，，. 当时，可得；当时，可得.其他情况下无解. 所以的取值范围是：. 故选：D 12．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的严格减区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】三角函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标，至少提供两个方面的信息：①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第二个交点与第三个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数，然后求出函数单调递减区间． 【详解】与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，4， 知函数的周期为，解得， 由三角函数的图像与直线知，3与4的中点必为函数的最大值的横坐标， 由五点法知，得， 又，得， 所以，令，， 解得，， 当时， 的单调递减区间是． 故选：A． 13．（24-25高一·上海·随堂练习）下列哪个区间是函数的单调增区间（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先用辅助角公式化简成，后整体代换方法求解即可. 【详解】用辅助角公式化简成， 则 ，，解得，， 可知函数的单调递增区间为， 结合选项可知：只有是的子集， 所以在内严格增，故ACD错误，B正确. 故选：B. 14．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 三、解答题 15．（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)；. 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、奇偶函数对称性的应用、函数新定义 【分析】(1)由题意整理，再由偶函数的定义列出等式计算即可； (2)根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图像和与直线有且仅有四个不同的交点，求得实数的取值范围； (3)根据题意整理出，分别讨论：显然不成立；时，通过，推出，画出的图象，根据图象即可得出所求. 【详解】（1）由题意有序数对的“跟随函数”为， 若为偶函数，有， 故， 整理得，故； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，   在和上递增，在和上递减， ，，由图象可知，时， 函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）因为有序实数对的“跟随函数”为， 所以有序数对的“跟随函数”， 故， 时，显然不成立； 时，， 即，的定义域为， 设，则， 在上单调递增，且， 函数在上单调递减，所以在上单调递减； 同理，在和上单调递增；在上单调递减； ，，的周期为， 所以的函数图象如图所示，    在上，直线与的图象恰有奇数个交点， 结合图象，可得时，. 综上，，在上有个零点. 16．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题； （2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可. 【详解】（1）由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. （3）由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 17．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 【答案】(1)表格见解析，； (2)或 (3)证明见解析 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可补全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得，， 所以，， 由时，，可知，， 所以由时，， 补全表格如下： 0 0 0 0 （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数，或 则函数的零点所组成的集合为或； （3）证明：，即， 因为，所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得. 18．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知. (1)将化成； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解. （2）利用（1）的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答. （3）利用（1）的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答. 【详解】（1）， 所以； （2）由（1）知，当时， 则由得，即在上单调递减， 所以函数在区间上的单调减区间是. （3）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为， 再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像， 所以，则的周期为 因为在区间上至少有100个最大值， 所以在长为2的区间上至少有99.5个周期， 因此，，解得，而，于是得， 所以的取值范围 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$