专题03 平面向量17题型4易错（期末复习知识清单）高一数学下学期沪教版

专题03 平面向量 1. 平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示. （2）向量的模：向量的大小，向量的模记为. （3）零向量：其模为0，方向任意. （4）单位向量：模为1的向量；非零向量的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的向量. （6）相等向量：方向相同、模相等的向量. （7）负向量：方向相反、模相等的向量. 2. 向量的线性运算 （1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则. （2）减去一个向量等于加上它的负向量. （3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作. （4）向量的加法满足交换律和结合律；实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律. 3. 向量的投影与数量积 （1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值. （2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量： 其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. （3）向量与的数量积定义为： （4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）. 4. 平面向量基本定理与向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面上的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基. （2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示为，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合. （3）给定平面上两点与，则. 5. 坐标表示下的向量运算 设向量，，则 （1）. （2）. （3），. （4）. 6. 向量的夹角、平行与垂直 设向量，，则 （1）. （2）或. （3）. 7. 向量的应用 要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决. 题型一、向量的概念 【例1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【变式1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【变式2】已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 题型二、向量的加法和减法 【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在中，______． 【变式1】（23-24高一下·上海嘉定·期末）______． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于______ 题型三、实数与向量的乘法 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则__________. 【变式3】（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则______． 题型四、平面向量数量积的几何意义 【例4】（24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是______． 【变式2】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知向量，，则在方向上的数量投影为__________. 【变式3】（22-23高一下·上海浦东新·期末）设，则在方向上的数量投影为______. 题型五、用定义求向量的数量积 【例5】（24-25高一下·上海·期末）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 题型六、数量积的运算律 【例6】（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【变式1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为______． 【变式2】（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 题型七、已知数量积求模 【例7】（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期末）已知，，且在上的数量投影为，则_____． 【变式2】（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则______． 【变式3】（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知平面向量，． (1)求 (2)求实数为何值时，． 题型八、向量夹角的计算 【例8】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则______． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）已知，，则__________. 题型九、垂直关系的向量表示 【例9】（22-23高一下·上海宝山·期中）平面向量，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 题型十、已知模求数量积 【例10】（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知向量、满足，，，则______. 【变式1】已知向量、满足，，则______． 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）向量，满足，，，那么______. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 题型十一、用基底表示向量 【例11】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【变式3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 题型十二、平面向量线性运算 的坐标表示 【例12】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量，则_____. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则_________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，若，则的值为___________. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系内，已知点，向量，则______． 题型十三、数量积的坐标表示 【例13】（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【变式3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 题型十四、向量模的坐标表示 【例14】（24-25高一下·上海普陀·期末）已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【变式1】（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【变式2】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【变式3】（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求； (2)当k为何实数时，与平行？ 题型十五、坐标计算向量的模 【例15】（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则在上的投影向量为_________．（用坐标形式表示） 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 题型十六、向量垂直的坐标表示 【例16】（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 【变式2】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 题型十七、向量夹角的坐标表示 【例17】（24-25高一下·上海·期末）已知向量； (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【变式2】（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【变式3】（22-23高一下·上海长宁·期末）已知、． (1)求； (2)若与平行，求实数值． 题型一、由向量线性运算结果求参数 【例1】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为__________. 【变式1】（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 【变式2】（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为____________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 题型二、利用数量积求参数 【例2】（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【变式3】（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 题型三、利用向量垂直求参数 【例3】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知向量，，若，则实数_________. 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则______． 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【变式3】（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知.设. (1)若三点共线，求的值； (2)若，求的值. 题型四、由向量共线（平行）求参数 【例4】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则实数的值为_________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量、，且，则实数______． 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 试卷第1页，共3页 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量 1. 平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示. （2）向量的模：向量的大小，向量的模记为. （3）零向量：其模为0，方向任意. （4）单位向量：模为1的向量；非零向量的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的向量. （6）相等向量：方向相同、模相等的向量. （7）负向量：方向相反、模相等的向量. 2. 向量的线性运算 （1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则. （2）减去一个向量等于加上它的负向量. （3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作. （4）向量的加法满足交换律和结合律；实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律. 3. 向量的投影与数量积 （1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值. （2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量： 其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. （3）向量与的数量积定义为： （4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）. 4. 平面向量基本定理与向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面上的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基. （2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示为，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合. （3）给定平面上两点与，则. 5. 坐标表示下的向量运算 设向量，，则 （1）. （2）. （3），. （4）. 6. 向量的夹角、平行与垂直 设向量，，则 （1）. （2）或. （3）. 7. 向量的应用 要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决. 题型一、向量的概念 【例1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 【变式1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 【变式2】已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 【变式3】下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案． 【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 由于与方向相反，长度相等，故B正确； 因为零向量的模为0，故C错误； 与线段的长度相等，故D错误． 故选：B． 题型二、向量的加法和减法 【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在中，______． 【答案】 【分析】根据向量线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·上海嘉定·期末）______． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于______ 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 题型三、实数与向量的乘法 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 【答案】16 【分析】由已知条件结合平面向量共线的推论可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】由，且三点共线， 则，由题意得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16. 故答案为：16. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则__________. 【答案】或，. 【分析】根据三点共线，系数和为1的结论即可得到答案. 【详解】因为A、B、C三点共线，则， 则，则或，. 故答案为：或，. 【变式3】（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则______． 【答案】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 题型四、平面向量数量积的几何意义 【例4】（24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 【答案】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 向量在向量方向上的投影， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解. 【详解】依题意，由，得 所以在方向上的投影为. 故答案为： 【变式2】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知向量，，则在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义，写出对应的运算即可 【详解】根据投影的概念的在方向上的数量投影为：. 故答案为： . 【变式3】（22-23高一下·上海浦东新·期末）设，则在方向上的数量投影为______. 【答案】/ 【分析】首先求出、，再根据求出在方向上的数量投影 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在方向的数量投影为： . 故答案为：. 题型五、用定义求向量的数量积 【例5】（24-25高一下·上海·期末）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据向量积的定义可知， 所以集合中的，元素个数4个. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由条件确定三个向量的夹角的关系，再结合模长，代入向量模的计算公式，结合夹角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，不管是还是的范围都是， 因为，说明一个加数是0，一个加数是1， 不妨设，，则，， 所以， 因为，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由AB上一点M满足：，得，而， 则，当且仅当，即时取等号， 因此当取得最小值时，，，而， 由等边的边长为3，得， 所以 . 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】(1)，． (2)的最大值为，． 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【详解】（1）平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． （2）根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 题型六、数量积的运算律 【例6】（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为______． 【答案】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，可得，又，， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为三点共线，且是上的三等分点， 由三点共线的性质可得， 同理因为三点共线，且是上的三等分点， 可得， 所以 . 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 题型七、已知数量积求模 【例7】（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期末）已知，，且在上的数量投影为，则_____． 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则______． 【答案】 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知平面向量，． (1)求 (2)求实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先对其平方，再利用向量数量积公式展开，最后开方得到结果； （2）根据向量垂直的性质，两垂直向量的数量积为，列出关于的方程求解. 【详解】（1）对进行平方可得. 已知，，，则. 又因为，，所以，则. （2）因为，所以. 展开： 将，，代入上式可得： ，整理得. 解得. 则实数时，. 题型八、向量夹角的计算 【例8】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积运算及充要条件的定义求解即可. 【详解】因为 方向相同， 所以成立的充要条件是：同向. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则______． 【答案】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）已知，，则__________. 【答案】/ 【分析】根据题意，由平面向量夹角公式代入计算，即可求解. 【详解】因为，， 则，又， 所以. 故答案为： 题型九、垂直关系的向量表示 【例9】（22-23高一下·上海宝山·期中）平面向量，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出与的夹角为，利用向量垂直得到方程，得到，求出夹角. 【详解】设与的夹角为， 则，即， 解得， 因为，所以. 故选：D 【变式1】若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】取中点，将化为，进而即得. 【详解】 如图，取中点，则， 所以， 所以，又，故，即为等腰三角形， 故选：C． 【变式2】已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 【变式3】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【详解】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 题型十、已知模求数量积 【例10】（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知向量、满足，，，则______. 【答案】/－0.25 【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 【详解】由可得，即， 即，所以， 故答案为：. 【变式1】已知向量、满足，，则______． 【答案】/ 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，，解得. 故答案为： 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）向量，满足，，，那么______. 【答案】/ 【分析】将平方，利用转化法求得. 【详解】将平方得， 即， 将，代入得， 解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 题型十一、用基底表示向量 【例11】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简运算，即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形且，对角线的交点是， 则. 故答案为：.      【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【详解】（1）， （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 【变式3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出. （2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值. 【详解】（1）因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. （2）取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 题型十二、平面向量线性运算 的坐标表示 【例12】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量，则_____. 【答案】 【分析】根据向量坐标运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则_________． 【答案】 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，若，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算先计算，最后根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系内，已知点，向量，则______． 【答案】 【分析】根据及平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 题型十三、数量积的坐标表示 【例13】（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义得，进而得，代入即可求解. 【详解】由向量在方向上的投影向量为，所以，即， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解； （2）利用向量垂直的坐标公式计算即可求解. 【详解】（1）由向量，则， 又由，所以， 所以与夹角的余弦值为. （2）由题意可得， 因为和垂直，所以, 即，化简得，解得：. 所以若和垂直，的值为. 题型十四、向量模的坐标表示 【例14】（24-25高一下·上海普陀·期末）已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】2 【分析】由，得，再根据数量投影即可求解. 【详解】由，得， 又向量，的夹角为， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：2. 【变式1】（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 【变式2】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据平面向量坐标运算求出向量坐标，然后根据模长公式可求答案； （2）先求向量的模，再根据平面向量夹角运算公式可求答案. 【详解】（1）因为，， 所以，； 因为，所以， 解得. （2）由题意得，， 所以，； 所以. 【变式3】（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知向量，. (1)求； (2)当k为何实数时，与平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由坐标线性运算求得，再由模长的坐标运算求解即可； （2）先由坐标线性运算求得，再由平行的坐标公式求解即可. 【详解】（1），则； （2），则，解得. 题型十五、坐标计算向量的模 【例15】（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则在上的投影向量为_________．（用坐标形式表示） 【答案】 【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】由投影向量的定义有. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的概念可求得结果. 【详解】因为向量，向量， 由题意可知，在上的数量投影为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 【答案】(1). (2)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【详解】（1）由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 （2）证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角的直角三角形. 题型十六、向量垂直的坐标表示 【例16】（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【详解】（1），； （2）， ，因为， 所以， 即. 【变式2】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【详解】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 题型十七、向量夹角的坐标表示 【例17】（24-25高一下·上海·期末）已知向量； (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算即可求解； （2）根据向量夹角公式计算余弦值，最后求出夹角的大小. 【详解】（1）由题意得，即， 解得或. （2）当时，， 设向量与的夹角为， 所以， 所以. 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 【变式2】（23-24高一下·上海松江·期末）已知． (1)设向量的夹角为，求的值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角余弦值的坐标公式即可； （2）根据垂直的数量积表示及向量模长即可解出． 【详解】（1）， ， ， 所以， 因为,则. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 即，解得：. 【变式3】（22-23高一下·上海长宁·期末）已知、． (1)求； (2)若与平行，求实数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的夹角的坐标公式直接求解即可； （2）由与平行可得，即，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为、， 则， 所以， 所以. （2）若与平行， 则， 又不共线，所以. 题型一、由向量线性运算结果求参数 【例1】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为____________. 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 题型二、利用数量积求参数 【例2】（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式1】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 因为与的夹角为钝角，所以 所以，解得：， 且与不反向共线， 即，解得：， 综上：， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 【变式3】（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）的坐标为或；（2） 【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标； （2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围． 【详解】（1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 题型三、利用向量垂直求参数 【例3】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知向量，，若，则实数_________. 【答案】 【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出． 【详解】因为，，， 所以，解得． 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）已知，且，则______． 【答案】 【分析】根据向量的垂直的数量积运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示计算即可； （2）设，再根据，，结合平面向量垂直平行的坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则， 由， 得，解得， 所以点的坐标为； （2）因为三点共线，所以， 设，则， 由，得， 所以，解得， 所以. 【变式3】（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知.设. (1)若三点共线，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得. 【详解】（1）因为， ， 又因为三点共线，所以， 则， 解得. （2）由，可得，即 解得. 题型四、由向量共线（平行）求参数 【例4】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【答案】C 【分析】由两向量平行的充要条件结合坐标运算即可得解. 【详解】设, , 则 ， 所以由题意可得,即,解得 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则实数的值为_________． 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示可求. 【详解】，，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量、，且，则实数______． 【答案】/0.5 【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 因为与平行， 所以， 解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $