福建厦门双十中学2025-2026学年高一第二学期数学周考04试题

厦门双十中学2025-2026学年第二学期周考04 高一数学试题 (本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知复数z满足(2+i)z=1-2i,其中i为虚数单位，则=() A.1 B.√2 C.5 D.2 2.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001， 002,,399,400.从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6) 列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是(） 32211834297864540732524206443812234356773578 84421253313457860736253007328623457889072368 32567808436789535577348994837522535578324577 A.253 B.328 C.007 D,860 3.空间中有两个不同的平面，B和两条不同的直线m,n,则下列说法中正确的是、） A.若a/1B,m/1a,则m/1B B.若a/1B,m/1anl1B,则m∥n C.若a⊥B,n/1a,m/1n,则m⊥B D.若a/1B,n⊥B,m/1a,则m⊥n 4.在矩形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，若AC=AM+uBN,则入+4= A号 89 C.1 D 5.已知各棱长都为1的平行六面体ABCD-AB,C,D,中，棱AA、AB、AD两两的 夹角均为号，则异面直线BA与C8所成角为（) A B.君 c月 6.一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1,2,3,4,5,6，现从 盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2， 则() A,中位数可能为3 B.众数可能为4 C.极差可能为5 D.方差可能为1 在AMBC中，内角4，B,C所对边分别为a6,c若B=,b2=ac,则si加A+sinC=(】 A.3 8. 2 2 c. D.3 13 13 第1页共4页 8.如图，已知四边形ABCD,AD⊥CD,AC⊥BC,E是AB的中点，CE=1,若AD11CE,则ACBD 的最小值为(). c D A.-2 c.-1 1 0.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共 预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月 的数据总和)，折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率.根据图表，下列说法正确的是() 2025年2月-10月某地区地方一般公共预算收入累计图 250-- 4.2 48 收200. 150.09161L.05/91.621339 150-… 2 2.1 ● 计 134.69 0403 1 6657 83.96 96.87 元50 -3 43.88 2025年2025年2025年2025年2025年2025年2025年2025年2025年 2月 3月4月5月6月7月8月9月，10月 口累计一0-同此增长 A.该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C.2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D.2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=V3,且bsinCcosC+csinCcosB=√3 acosC,则 AB=登 B.c-月 C.△ABC的面积可以是1 D.△ABC的周长可以是3 11.在棱长为2的正方体ABCD-4B,CD,中，点P满足D丽=DC+DD(1e[0,,4∈[0，)，则下列结论 D 正确的是( A.当元=l,H=号时，Vn-4即='-4cP B、若=且正-号丽，则当PA+P取得最小值时，4 3 D 4=二时，平面ABP截正方体所得的截面 D.若点P在以BC的中点0为球心，5为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 2 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据： 246,244,242,240,239,238,238,237,235,230,据此估计这批产品的第80百分位数为 13.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为万，？，且片？2=1， 则它的内切球的体积为一。 14.已知△ABC是边长为1的等边三角形.对于空间中任意一点M,设P为△ABC内部（含边界）一动点， 定义PM的最小值为点M到△ABC的距离.则空间中到△ABC的距离不大于1的点形成的几何体的体 积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美 食”工作的认可程度，若学生认可系数 认可系数=认可程度平均分 100 不低于0.85、“美食"工作按原方 案继续实施，否则需进一步整改.为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美 食"工作认可程度给出的评分，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率 分布直方图. (1)求频率分布直方图中x的值和第70百分位数（结果保留两位小数）： (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低 频率组距 0.030 于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机 0.025 0.020 抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数： 0.015 (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要 进一步整改，并说明理由， 05060708090100萍分 16.(15分) 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，平面SAD⊥平面ABCD,△SAD是等边 三角形 (1)求证：AD⊥SB; (2)若△SAD的面积为4√3，求点C到平面SAB的距离， D 第3页共4页 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC,AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC=1,N为PB的中点，PCn平面AWD=M. (1)求证：MN/BC: (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值. 18.(17分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角4，B,C的对边，满足s血B=4-C, csin B=4sin C. sin A+sinC b-c (1)求角A和边b: (2)若△ABC为锐角三角形，且外接圆圆心为O. (i)求BO.AC的取值范围；(i)求△OAC和△OBC面积之差的最大值 19.(17分) 如图(1)，已知平面五边形ABCDE中，△ACD是边长为V5的正三角形，AE=AB=√互，BC=DE=1, 将△ABC和△ADE分别沿AC,AD向上翻折至B,E,使得B,E在面ACD的同侧，且二面角B'-AC-D 的平面角和二面角E'-AD-C的平面角的大小都为O,0∈ 2 如图(2，当0=时，求证：BE1平面4CD: 2)设该五面体AB'CDE外接球的球心为O,半径为R. (0)当0=2时，求0到平面AB'C的距离； 3 (ii)求R2sin的最小值 图(1 图(2) 第4页共4页 厦门双十中学2025-2026学年第二学期周考04 高一数学试题参考解答 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的、 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 1【案14【详1法-)+01-a,则：左器告亭，所以时1， (法二)由(2+)z=1-2i,得2+-1-2，则Vz=√5，所以=1. 2.【答案】B【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253,313,457（舍），860（舍），736（舍）， 253(舍)，007,328，所以第四个数为328.故选：B. 3.【答案】D【详解】对于A:若aIIB,m/Ia,则可能有mcB,A错误： 对于B:若a/1B,m/1a,n/1B,则m,n也可能异面或相交，B错误： 对于C:若a⊥B,n/1a,则n与B不一定垂直，且m∥n,则m与B不一定垂直，c错误： 对于D:若a/IB,n⊥B,则n⊥，又m/1a,则m⊥n,D正确.故选：D. m=丽+而 4,【答案】A【详解】在矩形ABCD中，由M,N分别为BC,CD的中点，得 m=-+而 丽=4M-2N 5 解得 5 因此AC=丽+D=M+2N, AD-2AM+4BN 而AC=M+B丽，且向量M,B丽不共线，则入=，4 行，所以+a= 5.【答案】C【详解】在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，连接AD,BD,AB,/IAB/1CD,AB,=AB=CD, 则四边形AB,CD是平行四边形，B,C1IAD,于是∠BAD是异面直线BA与CB,所成角或其补角， 由4=AB=AD=L,楼A4,M⑧，AD两两的夹角均为写 得ABD6 ABAD都是正三角形，即AB=BD=AD=1,则∠BAD=于， 所以异面直线BA与CR所成角为？.故选：C 6.【答案】D【详解】设该组数据从小到大排列为x,为，为，，且x,∈(1,2,3,4,5,6)，i=1,2,3,4, 则由题，+x+书+x=4×2=8,对A,当该组数据中位数为3时，则该组数据满足x2+=3×2=6,x之3， 则该组数据的和S。=x+x+x+x,21+6+3=10>8,与该组数据的和为8矛盾，故A错误： 第1页（共8页） 对B,因为)该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个， 当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为1,1,2,4， 此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误； 对C,若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1， 则该组数据的和S,=名+x2+x+x,≥6+1+(1+1)=9>8，与该组数据的和为8矛盾， 所以该组数据极差不可能为5，故C错误： 对0，当该组数据为1，3,3时，该组数据方差为s2=[(名-2+（名-2+（名-2+么-2门=1， 7.【答案】B【详解】8=，6=2c,由正弦定理得sin AsinC=号sm2B=写 4 4 结合余被定理可得eg+2-0c号0c即g2+e-号40 弦定理得i?A+2C图n4snC号，所以6i如A+snC可=si1+sin'C+2sm5 4 4 因为AC为三角形的内角，则sinA+sinC>0,则sinA+sinC= 2 8.【答案】C【详解】解：令∠ACD=日，因为AD⊥CD,AC⊥BC,ADI1CE, 所以∠BcE=0,AcE=∠CD-=号-9， 又因为E是AB的中点，CE=1,所以AB=2,4CBA=日，∠CAB=-日，故可每AC=2sin0,AD=2sin2日， 2 所以ACB筋=AC(BA+AD)=ACBA+ACAD -2an0x2xesr-受+042sn0x2m'0xcos经-0-4smg-4sn0=4m0--l, 当0=号时，C.丽取得最小值-1， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD 10.【答案】BD J1.【答案】ABD 9.【答案】BCD【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为66.57~43.88=22.69（亿元），4月的 地方一般公共预第收入为83.96-66.57=17.39（亿元)，可知选项A错误： 9月该地区的地方一般公共预算收入为191.67-161.05=30.62（亿元)，所以选项B正确： 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长4.2%，所以2024年9月该地区的地方一般公共 预算收入累计为191.67+(1+4.2%)=183.94（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长0.3%，所以2024年8月该地这的地方一般公 共预算收入累计为161.05+(1-0.3%)=161.53（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为183.94-161.53=22.41（亿元），所以C正确： 第2页（共8页） 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长4.8%，所以2024年10月该地区的地方一般公 共预算收入累计为213.39+(1+4.8%)=203.62（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算 收入平均数为203.62+10=20.362，所以D正确：故选：BCD. 10.【答案】BD【详解】已知bsinCcosC+csinCcosB=√3 acosC, 由正弦定理可得sin BsinCcosC+sin CsinCcosB=√3 sin AcosC, sinC(sin BcosC+sin CcosB)=3sin AcosC,sin Csin(B+C)=3 sin AcosC, sin(B+C)=sim(元-A)=sinA≠0，sinC=√5cosC,anc=V5, 即C=号所以B正确：根据己匆条件无法得出B=受，所以A错误： 对于C“e+b=5,又a+b≥2历，∴b≤，当且仅当a=b时等号成立。 “成m05血C-90s点×-51，所以c借误 4 4416 对于D:由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC=(a+b)2-3ab=3-3ab 的s是，d-3-油≥8-3x号-房即e≥，当且仅当a=6等号成立 此时，a+b+e=5+5_35,所以△ABC的周长范围 2-2 [9a 当0+b+c=3,即c=3-5时，b=3-C=25-3>0,则存在实数解ab,所以D正确。 3 11.【答案】ABD【详解】A选项，根据正方体的性质可知BC/1AD,所以B,C到平面DAP的距离相等， 所以Pa-B4P='c-BAP,又因为'-4BP=Y-n4P,'-4cP='c-A4P, 所以'-AP='a-4cP,A正确： B选项，设M,N分别是C0,CD的中点，连接M,若A=克则P在MW上， 连接AN,B,N,AM,BM,AP,AE,因为MNIIAA IIBB, 故可将四边形AMNA与四边形BMNB,展开成平面图形， 由图可知当AP,E共线时，PA+PE有最小值B,此时P以= BE2 又晒-号画即器-子所以从=微兴则. MN BBBE BB,2X行=方，B正确： C选项，当元=山4=时，P是CC,的三等分点（靠近C点)， 设F是CD的三等分点，且DF=号DG,连接4R,PF,PB,则PF1 CDII4B, 第3页（共8页） 所以平面A,BP越正方体所得截面为等腰梯形ABPF, 因为r-号0-448=2.4e=2+=2 3 面积为PF+型h=101四，Cc错误： 2 9 D选项，根据点P满足DP=DC+μDD(1∈[0，小，μE[O,])可知P在正方形CDD,C,内， 设CC的中点为O,M,N分别是CD,CD,的中点，可得ON=VOO2+O,N2=V5,且OO⊥平而CDD,C, 若点P在以O为球心，√万为半径的球面上， 则点P的轨迹为在正方形CDD,C内以O为圆心，O,N=√2为半径的圆弧， 圆弧与正方形CDDC的另一个交点即为M,可得∠MON=90°， 所以点P的轨迹的长度为-5，D正确 42 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. i2【答案】24313【答案】誓4【答案11+写 62 12.【答案】243【详解】将数据从小到大排列为：230,235,237,238,238,239,240,242,244,246， 10×80%=8,又样本数据第8和第9个数分别为237和235， :估计这批产品的第80百分位数为242+244=243.故答案为：243. 2 13,【答案】红【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中B为圆台的母线长，D,C分别为上、下底 面的圆心，点O为内切球的球心，点E为球O与圆台侧面相切的一个切点. D 则由题意可得；AB=AE+BE=AD+BC=T+2, CD=V4B2-(BC-AD)2=√(：+2)2-(2-)3=V43=2. 因此可得：内切球半径r=CD=1,即得内切球的体积为4=4π故答案为：4奶 4 2 14.【答案】17：+【详解】到动点P距离为1的点所形成的空间几何体在垂直于平面的视角下看，如 6 2 图所示：得到AFGB、BHKC、DEAC区域内的几何体为半圆柱，KCD、EAF、GBH 区域内的几何体为被平面所截的部分球，球心为A、B、C,球半径为1，ABC区域 内的几何体为棱柱，其高为2.因为△ABC是边长为1的等边三角形， 所以∠DCK=∠EAF=∠GBH=360°-(90°+90°+60)=120°， 即∠DCK+∠EAF+∠GBH=360°， 第4页（共8页) 所以KCD、EAF、GBH区域内的几何体的体积之和恰好为半径为1的一个球的体积， 即Vox+Vn+比anS4红xP三经V+Wac+比ocPx3三钙Y长X☒ 5×2=5 3 2 所以，到动点P距离为1的点所形成的空间几何体的体积y=4红+3+-7红+5 3+2+2 6 2 四、解答题：本题共5小陋.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 【详解】【￥解】(1)由图可知：10×(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1,所以x=0.01:…2分 评分在[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.7， [50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.7，… 4分 则第70有分位数位m∈80,90)，m=80+0.70,45x90-80)88.33, 0.3 所以第70百分位数为88.33.… …6分 (2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1：0.15：0.2=2：3：4， 则应选取评分在[60,70)的学生人数为：30× 3 2+3+4 =10（人).… 0…9分 (3)由图可知，认可程度平均分为： 元=55×0.1+65×0.15+75×0.2485×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85，…12分 显然认可系数低于0.85，所以“美食”工作需要进一步整改 ………13分 16.(15分) 【详解】(1)证明：取AD的中点O,连接SO,BO,BD 【没作图扣1分，虚实线错了把作图的1分扣了】…2分 因为△SAD是等边三角形，O是AD的中点，所以SO L AD …3分 因为四边形ABCD是菱形，∠ADC=I20°，所以△ABD是等边三角形， 所以B0LAD…… …4分 D 因为S0nB0=0,且S0c平面SOB,B0c平面SOB, 所以AD上平面SOB.… …6分 义因SBC平面SOB,所以AD⊥SB,… …7分 (2)解：设D=a,则5a=45,解得a=4. …8分 4 因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD,SO⊥AD,SOC平面SAD, 所以SO⊥平面ABCD. …11分 记点C到平面SAB的距离为h,则c=ew一ScS0-3wh …12分 易知S0=2√，OB=2√5.在RtAS0B中，由0S=0B=25,得S8=√S02+0B2=2√6 站5页（共B页） AM0效9上的离为，5r-( =i6=6=o. 所以5u分26而=2而雨Sue分4秋49=5. 2 所以写×45x2百-写2压xh,解得为=正 …14分 5 即点C到平面SAB的距离为4W」 。。g。..... …15分 5 17.(15分) 【详解】(1)因为ADIIBC,ADc平面ANMD,BC平面ANMD, 所以BC∥平面AWMD,… …3分 而BCc平面PBC,平面PBC∩平面ANMD=MN,所以MNIIBC. …6分 (2)如图，连接DN, 因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又因为AD⊥AB,AB∩PA=A,且AB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面， …8分 又PBC平面PAB,所以AD⊥PB. 因为N为PB的中点，且PA=AB,所以AN⊥PB, 又AN O MN=N,AN,MNc平面ANMD,所以PB⊥平面ANMD,…11分 所以DN是BD在平面ANMD内的射影，∠BDN为BD与平面ANMD所成角.…12分 由PA=AB=2且PA⊥AB,N为PB的中点，得AN=√2， 因为AWc平面PAB,所以AD⊥AN,故ND2=AW2+AD2=2+4=6,即ND=√6， 又因为D=AB=2且AB⊥AD,所以BD=2√2， 所以o0N=器=是=号 …14分 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为5 …15分 18.(17分) sin B 【详解】(1)在△ABC中， =-C及正弦定理，得6=a-C …1分 sin A+sinC b-c a+c b-c 整理得d2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=+c-a= …2分 2bc 而0<A<π，所以A=3四 …3分 由csin B=4sinC及正弦定理得cb=4c,而c>0,所以b=4.… …4分 (2)(1)依题意，BO,AC=B0.(BC-BA)=B0.BC-B0.BA,…5分 由0为△M8C外接圆圆心，希DC=C-之c,0-=c. ……6分 2 2 由余弦定理得，a2=b2+c2-2 bccos A=16+c2-4c, 第6页（共8页) 因t0.元=02：c=06+e-40-02=8-2c,… …7分 由正弦定理得b in万=云，则。=bsin C4sin(传+B)2√3cosB+2sinB25 +2…8分 sin B sin B sin B tan B 0<B< 2 由 +2∈(2,8)，…9分 0< 2-B< g得管B<受mBe 6 行o),则c=2v5 tanB 3 2 所以B0,AC=8-2c∈(-8,4)，…10分 (i)设△ABC外接圆半径为R,则OA=OB=0C=R,且2R= sinBsinB'即R 4 2 sin B' …11分 而∠A0C=2B,∠B0C=2A=2红 3， ·12分 4 oc=R2sin∠40C=28n2g·sin2B=-4 …13分 2 tan B 5 ae sin∠oc=zag咖径-5出aa-0+ tan'B …14分 3 sin2B an2g=-V5.1 因此8c-5c。50+g +4-5,… ·15分 tan2 B'tan B 由(i)知，mBe5 学同，mga0,则当e9房Gs5aca= 1 2 3 所以当nB=5时，3oc-Soc取得最大值5 …17分 2 19.(17分) 【详解】(1)翻折前：过B,E分别作AC,AD的垂线，垂足分别为F,G, 分别延长BF,EG交CD于点H,M 翻折后：如图所示，则二面角B'-AC-D的平面角和二面角E-AD-C的平面角分别为∠BFH和∠E'GM G C M H D 因为9=2，则BFL平面ACD,EG上平面4CD,因此BF/BG,……2 因为△ACD是边长为√5的正三角形，AB=AE=V2,BC=DB=1, 所以aMBC。1BD都是直角三角形，由面积相等，得BP==号-当=8G AC 3 所以BF/B'G且B'F=E'G,所以四边形BPGB为平行四边形， 所以BB/FG,… …4分 又FGc平面ACD,BEz平面ACD, 因此BE/平面ACD;… …5分 第7页（共8页） (2)(I)取AC的中点O,连接D01,02为△ACD的外心，过O作01Q⊥AC交AB于点2， B 因为△ACD为正三角形，所以D02=D01,D011AC, 放二面角B'-AC-D的平面角为2001D=号， ……… …7分 设O为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球， 即三棱锥B'-ACD的外接球则OO1⊥面AB'C,则O到平面AB'C的距离为OO,…9分 由题可知20,0，=若，0,02=D01=×号×5=安 …10分 所以00，=膏×2=9因此0到平面4BC的距离为5， …11分 (D)二面角8-AC-D的平面角为40：D=0,00,1面ABC,∠000，=0-受 …12分 因为0-引88国此00-agm0-引m0-引 …13分 所以=0-o4+oo=1+2mg-- cos20=1+ 1-sin203,1 …14分 4sin20 4sin2044sin2日 枚R2sim9=2sin0+ 4sing …15分 0e[小8>0,所以sm9=n+点2月sm= …16分 当且仅当m0】 即血日=5时取等号，因此R'如9的最小值为5 …17分 4sin0