精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试题

厦门双十中学2025-2026学年第二学期第一次月考 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z的共轭复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 2. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合相等向量及数乘向量的意义判断即得. 【详解】若，则，有； 反之，取，，有，而不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的截面的性质即可求解. 【详解】根据截面面积为可知：截面圆的半径，根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为 故选：C 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 6. 已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 7. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面交于点，连接、，推导出点为的中点，用三棱柱的体积减去三棱台的体积即可得解. 【详解】设平面交于点，连接、， 在三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 又因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 所以，， 因为为的中点，所以，为的中点，且， 因为直三棱柱的每条棱长都为， 则， 易知是边长为的等边三角形，则， ， 因此，顶点所在部分的体积为. 故选：B. 8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可. 【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD，通过取例可判断，对于B，通过可判断，对于C，通过共轭复数概念可判断. 【详解】对于A，，，则， 而，不能比较大小，故错误， 对于B，设， 因为， ， ， 所以， 若，所以，所以或，可得或，故B正确； 对于C，令，则，， 则，正确， 对于D，令，，满足，不满足，错误， 故选：BC 10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 11. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由变形可得的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到，再结合余弦定理可得两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小. 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】38 【解析】 【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可. 【详解】将代入方程 得， 所以，所以. 故答案为：38 13. 设向量若,则的值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：首先利用向量共线坐标所满足的条件，求得所满足的式子，之后利用诱导公式化简所求的表达式，通过二倍角的余弦函数，结合已知条件求解即可. 详解：因为，所以， 所以，所以 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，诱导公式和倍角公式，正确使用公式是解题的关键. 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边得，再利用三角形重心性质及向量数量积的运算律计算得即可得解. 【详解】在中，， 则，由正弦定理得， 由G为的重心，，得， 即，则， 即，因此，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，且. （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】（1）12 （2）， 【解析】 【分析】（1）据直观图还原平面图形ABCD为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解； （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，再结合圆柱和圆锥的表面积和体积公式求解． 【小问1详解】 根据题意，将直观图还原成平面图形即得直角梯形如图， 因为，，且， 所以，，，且，， 故原平面图形为直角梯形，故其面积为； 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图， 其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 所以几何体的表面积为， 几何体的体积为. 17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】（1）海里； （2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【小问1详解】 由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). 【小问2详解】 甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 18. 在中，角的对边分别为，，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理与两角和的正弦公式可得，从而知角的大小； （2）先利用余弦定理推出，再结合，并利用三角形的面积公式，求解即可； （3）由题知，将其两边平方化简可得，再利用正弦定理化边为角，并结合三角恒等变换公式，推出，然后根据角的取值范围和正弦函数的性质，求解即可． 【小问1详解】 由 ， 由正弦定理知， ， 所以，即， 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，且，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以 ， 因为为角的角平分线， 所以 ， 又， 所以， 即， 所以， 所以 ． 【小问3详解】 因为是边上靠近点的一个三等分点， 所以，所以， 又，， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 即实数的取值范围为． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. 【小问3详解】 由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2025-2026学年第二学期第一次月考 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z的共轭复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 6. 已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 11. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 13. 设向量若,则的值是___________． 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，且. （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 18. 在中，角的对边分别为，，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $