河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期二模考试数学试卷

2026年春期九年级模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么-100元表示（ ） A．支出100元 B．收入100元 C．支出20元 D．收入20元 2．据河南省文化和旅游厅2月24日消息，2026年春节假期，河南省接待国内游客6281万人次，旅游收入376.3亿元，与2025年同期相比，接待人次增长9.1%，旅游收入增长9.6%．其中数据“6281万”用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 4．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．计算（ ） A． B． C． D． 6．菱形和矩形一定都具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相平分且相等 7．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 8．苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因（A、a）控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A． B． C． D． 9．为了改善路况，专家研究出来一种新型材料制作井盖，大大提高了井盖的抗压能力．某同学为了测试该材料的抗压能力，取下来一小块样品进行抗压力测试，如图（甲）所示，该材料样品（不计质量）平放在压力传感器上，闭合开关S，经过多次压力实验，压力传感器的电阻随压力变化的过程如图（乙）．则下列说法正确的是（ ） A．压力传感器的电阻与压力为反比例关系 B．当压力传感器上没有样品时，压力传感器的电阻 C．压力传感器的电阻随压力的增大而增大 D．当压力为时，压力传感器的电阻 10．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，点在轴上，点在轴上，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点作，垂足为点，连接，当为等腰三角形时，点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．标价为元的商品，若打7折出售，则售价为________元． 12．不等式组的解集是________． 13．课后延时服务已经落地，为了进一步对课后延时服务进行规范，某校计划在延时服务时间内开展各种社团活动．小明对全校学生进行抽样调查，收集整理拟参加社团活动类型（A．读书交流，B．体育锻炼，C．戏剧说唱，D．手工陶艺，E．书法器乐）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，选项： ①该校共有1000名学生；②选择“读书交流”的人数是120人；③在扇形统计图中，“体育锻炼”部分所对应的圆心角的度数是；④选择“书法器乐”所占的百分比为5%．以上选项正确的是________． 14．如图，以为直径的半圆中，分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为________． 15．定义：在凸四边形中，如果一组对角相等且另一组对角不相等，我们把这样的凸四边形叫作“奋进四边形”．如图，中，，平分，交于点，点为上一点，若，，当点，，，构成的凸四边形为“奋进四边形”时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（9分）依据教育部“双减”政策和《义务教育学校作业管理通知》等文件的规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟．为了了解七、八年级的日常作业情况，校团委针对学生日常作业情况进行了调查，并从七、八年级中各随机抽取了10名学生的星期三的作业时间（用表示，单位：分钟）进行整理、分析和描述，共分成四个组：A．，B．，C．，D．．给出了部分信息如下： 七年级10名学生的作业时间：67，78，86，86，86，88，93，94，96，96． 八年级10名学生的作业时间在组的数据：82，83，83，86． 七、八年级抽取的学生作业时间统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 87 八年级 85 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）估计该校七年级800名学生和八年级600名学生中作业时间超过90分钟的总人数； （3）请对此次调查提出你的建议（写出一条即可）． 18．（9分）某校因生源增加，需在老教学楼南面建设一栋新综合楼，按规划部门要求，新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，学校新建综合楼，老教学楼的一楼窗户距地面的距离，该校所在地区冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． （1）根据学校实际地况，的距离为时最符合校园整体设置，根据以上条件，新综合楼的高度应为多少？ （2）为满足学校的长期规划，新综合楼的设计高度为，请问为了满足采光要求，新综合楼至少应建在老教学楼正南方多少米处？ 注：图中所有的点均在一个平面内，所在的直线为水平地面． 19．（9分）如图，中，点，点在轴上，且，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将向上平移个单位，若的中点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； （3）将沿直线翻折，折叠后点的对应点为，点的对应点为，求翻折后点的坐标，并判断点是否落在反比例函数的图象上？并说明理由． 20．（9分）如图，平行四边形中，以为直径作，交于点，交对角线于点． （1）尺规作图：过点作的切线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若， ①求证：四边形是菱形； ②若，，求的长． 21．（9分）宁陵酥梨是商丘特产，质量上乘，口感脆甜，素有“桂林山水甲天下，宁陵酥梨冠中华”之美誉，是国家级地理标志产品．某超市售卖酥梨时，个头稍小的酥梨（简称小梨）销售价格为4.5元/千克，个头稍大的酥梨（简称大梨）销售方式为：千克及以下按原价销售，购买超过千克的大梨，超过部分打折． 某单位中秋节期间准备购买小梨和大梨1000千克为员工发福利，设购买大梨千克，购买小梨的费用为元，购买大梨的费用为元，与的函数关系如图，请回答问题： （1）求，的值； （2）若该单位此次购买总费用为元， ①与的函数关系式为________； ②该单位根据实际需要，规定大梨购买数量至少50千克，且购买大梨数量不超过小梨数量的，求当为多少时，有最小值，并求出这个最小值． 22．（10分）在二次函数中，图象经过点和． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 23．（10分）等腰直角三角形中，，，过点作，点为直线上一个动点，连接，将射线逆时针旋转，交直线于点，过点作，交直线于点． （1）若点在点右侧时： 【特殊】 ①如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系为________；线段，，的数量关系为________； 【一般】 ②如图2，当点与点不重合时，①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【特殊】 （2）当点在直线上时，若，，请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春期九年级模拟考试试卷 数学参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B A B 2 D B C 二、填空题（每小题3分，共15分） 题号 11 12 13 15 答案 0.7m x>4 ①③④ -5 6 3或号 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.解：(0)原式=35-3x 3 -9=35-5-9=25-9: 5分 2原式=x+.+2-2+1=+2+1=x+3. x-2x+1 ….10分 17.解：(1)83,86,30： 6分（每空2分） (2)用各年级总人数乘以样本中作业时间超过90分钟的人数所占比例再求和可得： 800x4+600×309%=320+180=500(名)，8分 10 (3)根据规定，初中学生每天书面作业完成时间平均不超过90分钟.该校作业量较多，建议减少作业布 置量（答案不唯一）9分 18.解：(I)如图，AC=30m,CE=lm,过点E作EF⊥AB,垂足为F, 37AB 新 老 合 ..AF=CE=Im,EF=AC=30m, 在Rt△EBF中，∠BEF=37,an∠BEF-BF F’ ∴.BFf=EFtan37≈30×0.75=22.5m,… 3分 .AB=BF+AF=22.5+1=23.5m, 4分 答：新综合楼AB的高度为23.5m: 5分 (2)由题意得：AB=31m, ∴.BF=31-1=30m, 第1页 a^“"1.%。a 在Rt△EBF中，tan∠BEF=BF ·EF=BF 30=40m… tan∠BEF0.75 8分 答：新综合楼至少应建在老教学楼正南方40m处。9分 19.解：(1)点A的坐标为：(3,4)， :反比例函数y=(x>0)的解析式为：y=12, =2 3分 ②油题意得，B0,4,则AB中点坐标为4奶 △ABO向上平移m个单位，则AB中点M的坐标为(，4+m 点M在反比例函数的图象上， nw小12 解得m=4: 6分 (3),将△ABO沿直线y=x翻折，折叠后点B的对应点为P,点A的对应点为Q, ∴.BO=PO, .P点的坐标为：(4,0)， PO=AB=3, .2点的坐标为：(4,3)， .8分 .4×3=12, 点2落在反比例函数y-x>0)的图象上. 9分 20。解：(I)如图所示：3分 (2)①证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC=∠D,AB∥CD, AP是⊙O的切线， AP⊥AB, 第2页 D a^“6"1.%。a AP⊥CD,∠APD=90°， 连接AM, :AB为⊙O的直径， ∴.∠AMB=90°， 在△AMB和△APD中， [∠ABC=∠D ∠AMB=∠APD, BM=DP ∴.△AMB≌△APD(AAS), .5分 AB=AD,… ..6分 ∴，四边形ABCD为菱形. ②连接BN, ,AB为⊙O的直径， ∴BN⊥AC 四边形ABCD为菱形， .AB=BC, ∴.AW=CW=2, .7分 .AC=4,… 设CM=x,在Rt△ABM和Rt△ACM中分别用勾股定理得： AB2-BMP=AC2-CM, 62-(6-x)2=42-x2, .9分 CM的长为 21.解：(1)设线段OA的解析式为2=：， 0A经过点(50,250)， .50k=250, 解得k=5, 2=5x 设线段CD的解析式为2=ar+b, :CD记过点(150,700)和(250,1100)， [150a+b=700, 解得 a=4, 1250a+b=1100 b=100 n=4x+100, 当5x=4x+100, 第3页 回 a^“"1.%。a 解得x=100, 2= [5x(0sx≤100 4x+100(x>100) 则有当购买的酥梨超过100千克时，才有优惠， 则有m=00,2分 当x=1时，2=5×1=5，即大梨原价为5元每千克， 当x=101时，2=4x101+100=504, ,前100千克每千克按原价出售，即100×5=500元， 504一500=4，即折扣之后的酥梨价格为4元每千克， 即4+5=0.8，则超过100千克的部分按8折优惠，即n=8,4分 (2)购买大梨x千克，则购买小梨为1000-x)千克，则购买小梨所需费用为4.5×(1000一x), 根据()的结果可知， 当0s100,购买大梨的费用为2=5x, 则有w=5x+4.5×(1000-x)=0.5x+4500, 当100<x≤1000，购买大梨的费用为2=4x+100, 则有w=4r+100+4.5×(1000-x)=-0.5x+4600, [0.5x+4500(0≤x≤100)， 故答案为：w= ...6分 -0.5x+4600(100<x≤1000)1 ②：购买大梨数量不超过小裂数量的} 即21000-.解得，S375. 大梨购买数量至少50千克，即50s≤375， .7分 分两种情况： 第一种情况：当50sx≤100时，w=0.5x+4500, .k=0.5>0, ∴w随x的减小而减小， .当x=50时，w最小=4525；… .8分 第二种情况：当100<x≤375时，w=-0.5x+4600, k=-0.5<0, w随x的增大而减小， .当x=375时，w最小=4412.5， .4412.5<4525, ∴.当x=375时，w最小，最小值为4412.5元： 9分 第4页 a^“"1.%。a 回 22.解：(1)把点(-3,0)和(1,0)代入y=ar2+bx-3,得： 2,将亿子 b=2 .二次函数的表达式为y=2+2x一3：4分 (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴二次函数图象的顶点坐标为（一1，一4）， 6分 画出函数图象，如图，8分 2 (3)n的值为6或2. 0分 由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度后， .新函数为y=(x+1一n2-4. ∴.此时函数图象开口向上，对称轴是直线x=n一1，函数的最小值为一4， .当n一1时，y随x的增大而减小，当x>n一1时，y随x的增大而增大， ,当2≤≤4时，图象对应的函数最小值为一3， .n-1>4或n-1<2, .n>5或n<3, 若n>5,当x=4时，图象对应的函数最小值为-3， 此时(4-+1)2-4=-3， 解得：n=6或4（舍去）： 若n<3,当x=2时，图象对应的函数最小值为一3， 此时(2-+1)2-4=-3， 解得：n=2或4（舍去）： 综上所述，n的值为6或2. 23.解：(0)①PA=P:AC+V5PC-C2:2分 ②成立……3分 证明：如图， PD⊥MN,QP⊥AP,.∠CPD=∠APQ=90°，∴.∠CPA=∠DP2, .AB∥MN,.∠ABC=∠PCD=45°， 第5页 a^“6"1.%。a 示 又∠CPD=90°，∠PDC=45, .∠PDC=∠PCD,.PC=PD,.∠PCA=∠PDQ=I3S, △ACP≌△2DP(ASA),6分 .AC=OD,AP=PO, 在Rt△DCP中，∠PCD=45°，CD=√2PC, C2=CD+2D,4C+V万PC=CQ:8分 (2)B2的长为2W4-4或24+4.…10分 【提示】当点P在点C右侧时，如图I,作AE⊥MN,交MN于E, C 则△ACE是等腰直角三角形， AE=CE=25,EP=2万，“.PC=2√万-2√5， 由(2)得，AC+√2PC=CQ:.CQ=24, ∴.B0=C9-BC=2N4-4, 当点P在点C左侧时，如图2，作AE⊥MN,交MN于E, 2 同理可得△ACP≌△QDP, AC=OD, PC=PE+CE=27+22 ∴.CD=√2PC=214+4, .BQ=BC+CD-OD=CD=24+4, 综上：BQ的长为24-4或24+4. 第6页 器 a^“6"1.%。a