专题06图形的轴对称易错必刷题型专项训练(18大题型共计53道题)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题06图形的轴对称易错必刷题型专项训练 本专题汇总图形的轴对称全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.轴对称图形的识别 题型02.成轴对称的两个图形的识别 题型03.成轴对称图形特征判断 题型04.成轴对称图形特征求解 题型05.求对称轴条数 题型06.折叠问题 题型07镜面对称实际应用. 题型08.台球桌面上的轴对称问题 题型09.轴对称中的光线反射问题 题型10.等边对等角 题型11.三线合一 题型12.线段垂直平分线的性质 题型13.角平分线的性质定理 题型14.最短路径问题 题型15.线段问题 题型16.面积问题 题型17.角度问题 题型18.其他综合问题 易错必刷题型01.轴对称图形的识别 典题特征：给出多个平面图形、标志、汉字、字母，判断哪些本身是轴对称图形。 易错点：分不清一个图形自身对称和两个图形对称；不规则图形漏找对称轴，凭感觉乱判断。 1．氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 3．在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.成轴对称的两个图形的识别 典题特征：给出几组两个图形成对出现，判断哪组能沿一条直线对折后完全重合。 易错点：把单个轴对称图形当成两个图形成轴对称；忽略必须有一条公共对称轴。 4．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 易错必刷题型03.成轴对称图形特征判断 典题特征：已知两个图形成轴对称，判断对应边、对应角、对应点位置、是否平行相等。 易错点：认错对应点、对应边；误以为对称图形形状一样就所有位置关系都相同。 7．将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 8．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 9．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 易错必刷题型04.成轴对称图形特征求解 典题特征：已知两图形成轴对称，给出一条边长或一个角度，求对应边长、角度或周长。 易错点：不会利用对称“对应边相等、对应角相等”；计算角度、边长时代错数值。 10．如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 11．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 12．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 易错必刷题型05.求对称轴条数 典题特征：求正方形、长方形、圆、等腰三角形、等边三角形等规则图形的对称轴数量。 易错点：等边三角形、圆漏数对称轴；把不是对称轴的直线当成对称轴。 13．如图汽车的图标是轴对称图形，其对称轴有______条． 14．下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 15．如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 易错必刷题型06.折叠问题 典题特征：把长方形、三角形纸片沿某条直线折叠，求角度、边长、周长、重叠部分角度。 易错点：看不懂折叠前后边角相等关系；漏看隐藏直角；角度计算不会列等式。 16．如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数是______． 17．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 易错必刷题型07镜面对称实际应用. 典题特征：镜子里的车牌、钟表、电子钟数字，求实际号码、实际时间。 易错点：不会左右翻转还原；钟表镜面时间直接读表盘，不会用12点减法换算。 19．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 20．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 21．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 易错必刷题型08.台球桌面上的轴对称问题 典题特征：台球撞击桌边反弹，利用对称找击球路线、判断能否入袋。 易错点：找不对对称参照线；搞反反弹路径，不会用对称点确定路线。 22．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 23．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 24．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 易错必刷题型09.轴对称中的光线反射问题 典题特征：光线照到镜面反射，求反射角度、光线传播路径。 易错点：不知道反射角等于入射角；不会借助轴对称画光路图。 25．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 27．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 易错必刷题型10.等边对等角 典题特征：等腰三角形已知腰相等，求底角度数；或已知一角求另外两个角。 易错点：分不清腰和底边对应的角；忽略等腰三角形顶角、底角分情况讨论。 28．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 29．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 30．如图，在中，，求和的度数． 易错必刷题型11.三线合一 典题特征：等腰三角形中，用顶角平分线、底边中线、底边高互相重合来证垂直、平分线段。 易错点：随便乱用三线合一，缺少等腰三角形前提；分不清哪条是顶角平分线、哪条是底边高。 31．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    33．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 易错必刷题型12.线段垂直平分线的性质 典题特征：点在线段垂直平分线上，求线段长度、周长，证明两条线段相等。 易错点：记错性质，以为任意点都能相等；忽略“在垂直平分线上”这个前提就直接用边长相等。 34．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 35．在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 36．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 易错必刷题型13.角平分线的性质定理 典题特征：角平分线上一点向两边作垂线，求垂线段长度、证明线段相等。 易错点：不做垂直就乱用距离相等；分不清角平分线平分的是角度不是线段。 37．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 38．如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 39．如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 易错必刷题型14.最短路径问题 典题特征：直线同侧两点、角内一点，利用轴对称找最短路线、求最短距离和。 易错点：找错对称点；不会把折线转化成直线；分不清同侧、异侧作法区别。 40．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是________． 41．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 42．马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 易错必刷题型15.线段问题 典题特征：结合对称、折叠、垂直平分线，求线段长、线段之间数量关系。 易错点：不会整合多个对称性质；漏掉隐藏相等线段，推导逻辑断链。 43．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 44．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 45．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按下列要求画图： (1)请画出，使它与关于直线成轴对称； (2)若点是直线上一动点，找点使最小． 易错必刷题型16.面积问题 典题特征：利用轴对称、折叠求阴影面积、图形拼接面积、分割后面积。 易错点：不会用对称图形面积相等替换；折叠后分不清重叠部分面积关系。 46．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 47．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 48．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 易错必刷题型17.角度问题 典题特征：综合折叠、等腰、角平分线、对称，多层推导求未知角度。 易错点：角度推导跳步骤；不会设未知数列方程；看错对顶角、邻补角关系。 49．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 50．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 51．已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    易错必刷题型18.其他综合问题 典题特征：轴对称结合动点、图形拼接、分类讨论的填空解答压轴题。 易错点：不会分情况讨论；忽略动点位置变化；条件看不全就下笔做题。 52．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    53．方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积； (3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的轴对称易错必刷题型专项训练 本专题汇总图形的轴对称全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.轴对称图形的识别 题型02.成轴对称的两个图形的识别 题型03.成轴对称图形特征判断 题型04.成轴对称图形特征求解 题型05.求对称轴条数 题型06.折叠问题 题型07镜面对称实际应用. 题型08.台球桌面上的轴对称问题 题型09.轴对称中的光线反射问题 题型10.等边对等角 题型11.三线合一 题型12.线段垂直平分线的性质 题型13.角平分线的性质定理 题型14.最短路径问题 题型15.线段问题 题型16.面积问题 题型17.角度问题 题型18.其他综合问题 易错必刷题型01.轴对称图形的识别 典题特征：给出多个平面图形、标志、汉字、字母，判断哪些本身是轴对称图形。 易错点：分不清一个图形自身对称和两个图形对称；不规则图形漏找对称轴，凭感觉乱判断。 1．氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.该选项不是轴对称图形； B. 该选项不是轴对称图形； C. 该选项是轴对称图形； D. 该选项不是轴对称图形． 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 3．在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 易错必刷题型02.成轴对称的两个图形的识别 典题特征：给出几组两个图形成对出现，判断哪组能沿一条直线对折后完全重合。 易错点：把单个轴对称图形当成两个图形成轴对称；忽略必须有一条公共对称轴。 4．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 5．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 易错必刷题型03.成轴对称图形特征判断 典题特征：已知两个图形成轴对称，判断对应边、对应角、对应点位置、是否平行相等。 易错点：认错对应点、对应边；误以为对称图形形状一样就所有位置关系都相同。 7．将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据图示的裁剪，判定左上角，左下角，右下角的图示形状即可求解． 【详解】解：根据裁剪结合图示可得，左上角，即正方形垂直方向上是含有线段的图形，左下角，即正方形中间部分是含有线段的图形，右下角，即正方形水平方向是含有曲线的图形， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 8．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 9．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 易错必刷题型04.成轴对称图形特征求解 典题特征：已知两图形成轴对称，给出一条边长或一个角度，求对应边长、角度或周长。 易错点：不会利用对称“对应边相等、对应角相等”；计算角度、边长时代错数值。 10．如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 11．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，点与点关于直线对称，从而得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，点与点关于直线对称 点在上，点与点关于直线对称 的周长 两点之间线段最短 当点在同一直线上时，的值最小，最小值为的长 的周长最小值为． 12．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段． 易错必刷题型05.求对称轴条数 典题特征：求正方形、长方形、圆、等腰三角形、等边三角形等规则图形的对称轴数量。 易错点：等边三角形、圆漏数对称轴；把不是对称轴的直线当成对称轴。 13．如图汽车的图标是轴对称图形，其对称轴有______条． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，求轴对称图形的对称轴，一个图形沿着一条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义，判断即可． 【详解】解：如图汽车的图标是轴对称图形，其对称轴有条． 故答案为：． 14．下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：菱形有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有条对称轴， 对称轴最少的是菱形， 故答案为：A． 15．如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：这样的添加方法共有4种，如下图： 易错必刷题型06.折叠问题 典题特征：把长方形、三角形纸片沿某条直线折叠，求角度、边长、周长、重叠部分角度。 易错点：看不懂折叠前后边角相等关系；漏看隐藏直角；角度计算不会列等式。 16．如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数是______． 【答案】/68度 【分析】根据折叠的性质得到、，由矩形的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：长方形纸条沿折叠后，与交于点， 、， 四边形是长方形， ， ， ， ． 17．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质以及翻折的性质得到，再根据平角的性质进行求解即可． 【详解】解：延长到， 对边互相平行的纸带， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ． 18．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 易错必刷题型07镜面对称实际应用. 典题特征：镜子里的车牌、钟表、电子钟数字，求实际号码、实际时间。 易错点：不会左右翻转还原；钟表镜面时间直接读表盘，不会用12点减法换算。 19．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 20．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 21．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 易错必刷题型08.台球桌面上的轴对称问题 典题特征：台球撞击桌边反弹，利用对称找击球路线、判断能否入袋。 易错点：找不对对称参照线；搞反反弹路径，不会用对称点确定路线。 22．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 23．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 24．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． , 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 易错必刷题型09.轴对称中的光线反射问题 典题特征：光线照到镜面反射，求反射角度、光线传播路径。 易错点：不知道反射角等于入射角；不会借助轴对称画光路图。 25．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 26．如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 27．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 易错必刷题型10.等边对等角 典题特征：等腰三角形已知腰相等，求底角度数；或已知一角求另外两个角。 易错点：分不清腰和底边对应的角；忽略等腰三角形顶角、底角分情况讨论。 28．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 29．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 30．如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 易错必刷题型11.三线合一 典题特征：等腰三角形中，用顶角平分线、底边中线、底边高互相重合来证垂直、平分线段。 易错点：随便乱用三线合一，缺少等腰三角形前提；分不清哪条是顶角平分线、哪条是底边高。 31．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 32．如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 先利用三线合一得到，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：，点是中点， ， ， ，， ， ， ， ，∴， ， 故答案为：． 33．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 易错必刷题型12.线段垂直平分线的性质 典题特征：点在线段垂直平分线上，求线段长度、周长，证明两条线段相等。 易错点：记错性质，以为任意点都能相等；忽略“在垂直平分线上”这个前提就直接用边长相等。 34．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 35．在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 36．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由得等腰三角形，计算的度数，再由 MN 垂直 AB，在中求的度数； （2）与（1）步骤相同，代入计算； （3）设 为，用代数推导与的关系，证明规律． 【详解】（1）解：，， ． 垂直平分， ． （2）解：由（1）可知，． 垂直平分， ． （3）解：规律是． 证明：设，则有， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 易错必刷题型13.角平分线的性质定理 典题特征：角平分线上一点向两边作垂线，求垂线段长度、证明线段相等。 易错点：不做垂直就乱用距离相等；分不清角平分线平分的是角度不是线段。 37．如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 38．如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 39．如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型14.最短路径问题 典题特征：直线同侧两点、角内一点，利用轴对称找最短路线、求最短距离和。 易错点：找错对称点；不会把折线转化成直线；分不清同侧、异侧作法区别。 40．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是________． 【答案】①③/③① 【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力． 【详解】解；如图， 因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关． 故答案为：①③． 41．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 42．马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 易错必刷题型15.线段问题 典题特征：结合对称、折叠、垂直平分线，求线段长、线段之间数量关系。 易错点：不会整合多个对称性质；漏掉隐藏相等线段，推导逻辑断链。 43．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 44．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 45．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按下列要求画图： (1)请画出，使它与关于直线成轴对称； (2)若点是直线上一动点，找点使最小． 【答案】(1)图形见详解 (2)图形见详解 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接，此时最小． 易错必刷题型16.面积问题 典题特征：利用轴对称、折叠求阴影面积、图形拼接面积、分割后面积。 易错点：不会用对称图形面积相等替换；折叠后分不清重叠部分面积关系。 46．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 47．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 48．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 易错必刷题型17.角度问题 典题特征：综合折叠、等腰、角平分线、对称，多层推导求未知角度。 易错点：角度推导跳步骤；不会设未知数列方程；看错对顶角、邻补角关系。 49．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 50．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 51．已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 易错必刷题型18.其他综合问题 典题特征：轴对称结合动点、图形拼接、分类讨论的填空解答压轴题。 易错点：不会分情况讨论；忽略动点位置变化；条件看不全就下笔做题。 52．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质和轨迹问题，解题关键是利用轴对称的性质确定点M的运动轨迹． 53．方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积； (3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为5 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线于点Q，此时最小． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：的面积； （3）解：如图，点为所作，   ． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点Q． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $