精品解析：江苏省江阴高级中学2025届高三下学期5月月考数学试卷

2025年江阴高级中学高三数学第二学期5月月考试卷 班级______ 姓名______ 一、单选题（本大题共8小题；每题5分；共40分；每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则“为偶函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 5. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 10. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 图象关于直线对称 D. 上单调递增 11. 定义在区间上的函数满足下列条件： （ⅰ），对于任意的，有，且； （ⅱ）对于任意，当时，成立． 则下列说法正确是（ ） A. B. 时，恒有 C. 在上非减且 D. 当 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则______. 13. 在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______． 14. 已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知曲线族 （为参数），直线与曲线族交于两点． （1）若曲线族过定点时，求的值； （2）求弦长的最大值． 17. 椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； （3）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 18. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束：否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. （1）已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； （2）为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序?请说明理由. 19. 在直角坐标系中．直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为． （1）化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程； （2）设点，圆心，若直线与圆交于、两点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江阴高级中学高三数学第二学期5月月考试卷 班级______ 姓名______ 一、单选题（本大题共8小题；每题5分；共40分；每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的） 1 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题意可得，所以， 所以. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：由，即，所以， 所以， 又，所以. 故选：D 3. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则“为偶函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象平移规律写出解析式，由是偶函数解出，结合充要关系的判断，即可得解. 【详解】， 则． 若为偶函数， 则，， 解得，． 令，得， 故“为偶函数”是“”必要不充分条件． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了辅助角公式、三角函数图象的平移、三角函数的奇偶性、充要关系的判断等，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 4. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 5. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由线面、面面关系平行性质依次分析选项可得答案． 【详解】对于A，直线，可能平行，相交或异面，故A错误， 对于B，平面，可能相交或平行，故B错误， 对于C，由直线与平面平行性质，可得C正确； 对于D，平面，可能相交或平行，故D错误． 故选：C． 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较的大小，利用偶函数的性质可得，再利用在上单调递增可比较函数值的大小 【详解】解：因为；， 所以， 为偶函数 又在上单调递增, ，即 故选：C 【点睛】此题考查偶函数的性质，考查指数式、对数式比较大小，考查计算能力，属于中档题. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上一动点（不与，重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线垂直，线面垂直，面面垂直相互转化判断得出. 【详解】如图 因为，，，平面， 所以平面，即平面 又因为平面，故平面平面，所以①正确； 当为的中点时，，再由①知平面平面，平面平面， 所以平面，得，所以，一定是锐角错误，故②错误； 因正方形中，所以有，又由正方体中有平面，得平面平面， 因为平面平面，所以平面，且平面，故，得③正确； 三角形的面积，三棱锥的高即为点到平面的距离，距离为， 故三棱锥的体积为定值，所以④正确. 故选：D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, , 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】A.利用平面向量的数量积运算求解判断；B.利用平面向量的模公式求解判断；C.利用平面向量夹角公式求解判断；D.利用平面向量的投影向量的定义求解判断. 【详解】解：因为，， 所以，则，所以，故A正确； ，所以，故B错误； ，因为，所以，故C正确； 在方向上的投影向量是，故D错误； 故选：AC 10. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，可得， 则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确； 当时，可得， 所以的图象关于直线对称，所以C正确； 由，得，所以在上单调递增，所以D正确． 故选：ACD. 11. 定义在区间上的函数满足下列条件： （ⅰ），对于任意的，有，且； （ⅱ）对于任意的，当时，成立． 则下列说法正确的是（ ） A B. 时，恒有 C. 在上非减且 D. 当 【答案】BCD 【解析】 【分析】取时，由（ⅱ）即可判断A；根据，则，再结合即可判断B；，有，由条件（ⅱ）可得，再利用定义法即可判断函数的单调性，再利用放缩法即可判断C；结合C选项即可判断D. 【详解】对于A，取，由（ⅱ），则，故A错误； 对于B，∵，则， 根据（ⅰ）有，即成立，故B正确； 对于C，对于任意的，有， 若，则， 由条件（ⅱ）有 ， 即，① 由，∴， 故由①变为，② 对于任意的，设，则．即， 不难想到， 据②有， ∴， 而，有，进而， 于是，显然上非减， 对于任意有， 即， 即， 下以式作为递推式有 ， 故C正确； 对于D，若对于任意和使得， 由选项C，知上非减，则， 而，故， ∴，当时成立， 当时， 则， 当时， 根据（ⅱ），特取， 此时，即， 综上所述，当恒成立，故D成立． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得的关系式，根据函数奇偶性的定义列方程，由此求得，进而求得. 【详解】 ， 则，， 若，则，定义域是， 定义域不关于原点对称，不符合题意，所以， 所以，要使的定义域关于原点对称， 则需，则， 此时的定义域是. 则由解得， 此时 ，，符合题意. 所以 故答案为： 13. 在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算，最后结合古典概型概率公式计算求解即可. 【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球， 则每次摸球的情况有种， 所以先后两次任意摸取小球共有种情况； 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种； 因为每次摸到球的各种不同情况等可能，所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色， 且恰有一种颜色两次都被记下的概率为. 故答案为：. 14. 已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】 先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题. 【详解】解：设直线的方程为，点，， 直线与轴交点为． ∴联立，可得， 根据韦达定理得， ∵ ∴，即， ∵，位于轴的两侧，∴ ∴设点在轴的上方，则∵ ∴ 当且仅当，即时取等号． 故答案为：6 【点睛】求解本题时，应考虑以下几个点： 1、联立直线与抛物线方程，消或后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时，应注意"一正，二定，三相等"． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即转化为证明平面； （2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求两个平面与平面的法向量，利用向量法求平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 又，且，平面， 所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则 令，则，，． 设平面的一个法向量为， 则 令，则，，， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知曲线族 （为参数），直线与曲线族交于两点． （1）若曲线族过定点时，求的值； （2）求弦长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将点坐标代入曲线族中即可求再根据同角关系求最后可得的值. (2)先联立方程组，消元，写出两根之和易知再利用半角公式把弦化切，再换元根据二次方程有解判别式大于等于零求出的取值范围即可求出弦的最大值. 【小问1详解】 根据题意，将点代入曲线族 得： 则，则，即， 当时，，当时，， ∴； 【小问2详解】 根据题意有消去y得： ，即 将变量统一，不难想到， 记，则，于是 不难发现直线与曲线C交于定点，不妨设为点A，即，即， 去分母整理得 ∵t存在，， 解得，即， 于是弦长． 17. 椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线AB的斜率为2时，求AB的长度； （3）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由右焦点是得，把点代入椭圆方程即可得解. （2）直线设其方程为，联立椭圆方程结合韦达定理以及可得，结合弦长公式即可得解. （3）当直线斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程结合韦达定理以及得，由得，进一步得面积表达式，进而即可得范围. 【小问1详解】 焦点为，则，即， 点在椭圆：上，即， 解得或（舍去），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即 ， 将②，③代入得， 解得④， . 【小问3详解】 当直线斜率存在时，设其方程为，，， 联立，可得， 则①， 又②，③ 以为直径的圆过原点即， 化简可得， 代入②③两式，整理得， 即④， 将④式代入①式，得恒成立，则， 设线段中点为，由，所以， 又， 又由，则点坐标为， 化简可得， 代入椭圆方程可得，即， 则 ， 当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴， 易得，，， 综上，四边形面积的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是首先分别得以及，由此即可进一步得解. 18. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束：否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立. （1）已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； （2）为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序?请说明理由. 【答案】（1） （2）甲按或顺序，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分甲选“B类问题并取得复赛资格”、“C类问题并取得复赛资格”两类所得概率求和得解. （2）因为甲回答A，B两类问题的概率相同，故只要ABC、ACB、CAB这三种回答顺序. 【小问1详解】 甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为， 甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为， 故所求概率为； 【小问2详解】 由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑、、这三种回答顺序， 按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为， ，故甲按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大. 19. 在直角坐标系中．直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为． （1）化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程； （2）设点，圆心，若直线与圆交于、两点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将圆的极坐标方程化为，由可将圆的极坐标方程化为直角坐标标准方程； （2）求得直线的参数方程为（为参数，），设点、所对应的参数分别为、，将直线的参数方程与圆的普通方程联立，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义结合三角恒等变换、正弦型函数的有界性可求得的最大值． 【详解】（1）圆的极坐标方程为， 所以． 因为，，，所以， 所以圆的直角坐标标准方程为； （2）由（1）知圆的圆心的直角坐标为，则，所以， 所以直线的参数方程为（为参数，）． 将直线的参数方程代入，得． 设点、对应的参数分别为、，则，， ， 因此，当时，取得最大值． 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求最值，涉及三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $