江苏南京市中华中学2025-2026学年高三下学期4月综合练习数学试题

2025-2026学年高三下学期4月综合练习 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（　　） A．f（x）＝x2与g（x）＝x3 B．f（x）＝x﹣1与g（x）＝x﹣2 C．与 D．f（x）＝x﹣1与g（x）＝x3 2．若复数z满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．若抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与椭圆的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝1 C．y＝﹣2 D．y＝2 4．某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有（　　）种． A．12 B．18 C．20 D．24 5．已知在某地区的某种群数量每年以x%的增长率呈指数增长．若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（　　）（参考数据：lg2≈0.3） A．8 B．12 C．16 D．20 6．“x＞0”是“x＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知向量，，．若，则k＝（　　） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝ln（e2x+e2）﹣x，实数m满足f（m）＞f（2m+2），则m的取值范围是（　　） A． B．（0，2） C． D．（﹣2，0） 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30，100]，若等级分X～N（80，25），则（　　）参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973 A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过80分的约有45人 C．这次考试等级分在[70，80]内的人数约为48人 D．P（65＜X＜75）＝0.1573 10．下列不等式成立的是（　　） A． B．x﹣1≥lnx（x＞0） C．ex＜x+1 D．sinx＜x（0＜x＜π） 11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点G在上底面A1B1C1D1上（包含边界），则下列结论正确的是（　　） A．存在点G，使得平面EFG∥平面ACC1A1 B．不存在点G，使得直线AD1∥平面EFG C．三棱锥G﹣BEF的体积不变 D．存在点G，使得DG⊥平面ACD1 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．在的展开式中，x的系数为 　 　 ．（用数字作答） 13．在△ABC中，已知，则cosB＝ 　 　 ． 14．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）和直线l：x＝λ（λ＞0），点H为直线l上的动点（不在x轴上），以点H为圆心且过原点O的圆与直线l交于M，N两点，若直线OM，ON与E的另一个交点分别为P，Q，记直线PQ，OH的斜率分别为k1，k2，则k1•k2＝　 　 ． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）设函数f（x）＝xea﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝ex+e． （1）求实数a，b的值； （2）求f（x）的单调区间． 16．（15分）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）若，求bc的取值范围． 17．（15分）⊄如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱DD1上的动点． （1）当点G为DD1中点时，求证：直线EG∥平面BDC1，并求此时三棱锥G﹣EBC1的体积． （2）求三棱锥G﹣A1C1B的外接球面积的最大值． 18．（17分）“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧!”DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．已知按此规则进行了多次挑战． ①前3次挑战后，求乙组拥有挑战权的次数X的分布列与数学期望； ②定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N0，使得当n＞N0时，|an﹣m|＜ε（m是一个确定的实数），则称数列{an}为“收敛数列”． 经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为an，求证：数列{an}为“收敛数列”． 附：χ2，其中n＝a+b+c+d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（17分）已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其上一点A（3，2）满足|F1A|﹣|F2A|＝2． （1）求E的方程． （2）记E的右顶点为B，射线BA上两点P，Q满足． （ⅰ）若点P的横坐标为m，求点Q的坐标（用m表示）； （ⅱ）已知M（﹣2，0），N（7，0），若△F1PF2的面积为，求． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A B B A D 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ACD 三．填空题 12．60． 13．． 14．． 四．解答题 15．解：（1）因为f（x）＝xea﹣x+bx，则f′（x）＝（1﹣x）ea﹣x+b，故f′（1）＝b＝e， 故f（x）＝xea﹣x+ex，f（1）＝ea﹣1+e＝e×1+e＝2e⇒a﹣1＝1⇒a＝2， 即a＝2，b＝e； （2）由（1）可知，f（x）＝xe2﹣x+ex， f′（x）＝（1﹣x）e2﹣x+e， 令1﹣x＝t，则y＝t•et+1+e， 所以y′＝（1+t）et+1， 当t∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0，则函数y单调递减； 当t∈（﹣1，+∞）时，y′＞0，则函数y单调递增； 当t＝﹣1时，函数y＝t•et+1+e有最小值，最小值为e﹣1， 即f′（x）≥e﹣1＞0， 故函数f（x）在R上单调递增，即f（x）的增区间为（﹣∞，+∞），无减区间． 16．解：（Ⅰ）由余弦定理可得：cosB， 由题意可得2cosB， 因为△ABC是锐角三角形，所以cosB≠0， 可得2sinAcosA＝1，即sin2A＝1， 在锐角三角形可得2A， 解得A； （Ⅱ）由正弦定理可得，A，a， 所以b＝2sinB，c＝2sinC， 所以bc＝4sinBsinC＝4sinBsin（B）＝4sinB••（cosB+sinB） ＝2sinBcosB+2sin2B sin2B•（1﹣cos2B） （sin2B﹣cos2B） ＝2sin（2B）， 锐角三角形中，，可得B， 所以2B∈（，π）， 所以sin（2B）∈（，1]． 所以bc∈（2，2]． 17．解：（1）证明：连接EF，FG，因为E，F分别是中点， 所以EF∥BD，又BD⊂平面C1BD，EF⊄平面C1BD， 所以EF∥平面C1BD，同理，GF∥平面C1BD 又因为GF∩EF＝F，EF，GF⊂平面DFG， 所以平面EFG∥平面C1BD，所以EG∥平面C1BD； 取C1C中点G'，同理可得GG∥平面C1BE， 所以； （2）建系如图： 则D（0，0，0），A（3，0，3），B（3，3，0），C（0，3，3）， 根据三垂线定理易证B1D⊥平面A1C1B，且垂足点H（2，2，2）为正三角形A1C1B的中心， 则三棱锥G﹣A1C1B的外接球球心在直线DH上，设为点O， 设，则O（2λ，2λ，2λ），设G（0，0，t），（0≤t≤3）， 由|OA|＝|OG|，得（2λ﹣3）2+（2λ）2+（2λ﹣3）2＝（2λ）2+（2λ）2+（2λ﹣t）2， 整理得， 令6﹣t＝m，则m∈[3，6]，， 所以，， 当时，半径最大，最大值为， 所以外接球面积的最大值为S＝4πR2＝27π． 18．解：（1）零假设H0：DeepSeek的使用情况与学历无关， ， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即不能认为DeepSeek的使用情况与学历有关； （2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以； ②证明：设第n次挑战后挑战权在乙、丙组的概率分别记为{bn}，{cn}， 当n≥2时，an+bn+cn＝1，，，， 则， 解得， 所以， 又因为a1＝0， 所以a1， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 因为， 函数在[1，+∞）上单调递减，且当n→+∞时，， 所以对于任意给定的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数（其中[x]表示取整函数）， 使得当n＞N0时，，即数列{an}为“收敛数列”． 19．解：（1）因为|F1A|﹣|F2A|＝2a＝2， 所以a＝1， 因为点A（3，2）在双曲线上， 所以， 解得， 则双曲线E的方程为x2﹣2y2＝1； （2）（ⅰ）因为B（1，0）， 又A（3，2）， 所以直线AB的斜率， 可得直线AB的方程为y＝x﹣1， 即P（m，m﹣1）， 设Q（n，n﹣1），其中m，n＞1， 此时， 则n＝6﹣m， 故Q（6﹣m，5﹣m）； （ⅱ）记E的半焦距为c， 此时， 即，， 所以， 则△F1PF2的面积S， 解得m＝2， 即Q（4，3）， 所以|MB|＝3，|NB|＝6，，， 在△MBQ中，由正弦定理知， 在△NBQ中，由正弦定理知， 又sin∠MBQ＝sin∠NBQ， 两式作比得． 则． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/22 22:58:57；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $