精品解析：山东省德州市天衢新区2026年九年级第二次练兵考试 数学试题

2026年九年级第二次模拟检测 数学·试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，最大的是（ ） A. － B. C. D. － 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，点是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出钱，余钱；每人出钱，差钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（ ） A. 鸡的数量 B. 鸡的总价 C. 每个人出的钱数 D. 买鸡的人数 9. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，过点作交于点．若，，，则长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 因式分解：____________． 12. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为________． 14. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 18. 2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： （1）______； （2）若小腿部长，求的长； （3）点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 19. 南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． （1）求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； （2）若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 20. 在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． （1）当时，直线和双曲线交于，两点，求，两点坐标； （2）①求证：直线必经过点； ②若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，，是上一点，以为圆心，为半径作圆，圆分别交、于、，与相切于点． （1）设，则________；（用含的代数式表示） （2）求证：； （3）若，，求的值． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含a的式子表示b； （2）已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 23. 在中，（），点D在边上，且．将射线绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，． （1）如图1，当时，若，与的位置关系为______，与的数量关系为______（用等式表示）； （2）当时，与交于点F，连接． ①如图2，若，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②如图3，若，求与的面积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次模拟检测 数学·试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列实数中，最大的是（ ） A. － B. C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较各数绝对值的大小，即可推出原数的大小关系． 【详解】解：，，，， 又∵， ∴，因此最大的数是． 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据俯视图的定义观察图形即可求解． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算性质、乘方的运算、二次根式的化简以及合并同类项法则，逐一根据对应法则判断选项正误即可． 【详解】解：选项A，， ∴选项A正确； 选项B，，当时，， ∴选项B错误； 选项C，∵ 同底数幂相除，底数不变指数相减，， ∴选项C错误； 选项D，∵与不是同类项，不能合并， ∴选项D错误． 综上，正确答案为A． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图： 摩擦力 f 与斜面平行， ，, 重力 G 竖直向下， 斜面的坡角为 β，斜面与水平面夹角为 β, ． 6. 在平面直角坐标系中，点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之求出m的范围，从而得出答案． 【详解】解：A、若点在第一象限，则，解得，故点可能在第一象限； B、若点在第二象限，则，解得，故点可能在第二象限； C、若点在第三象限，则，该不等式组无解，故点不可能在第三象限； D、若点在第四象限，则，解得，故点可能在第四象限． 7. 如图，点是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意作出图形，再根据圆周角定理求出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以线段的长度是1． 8. 《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出钱，余钱；每人出钱，差钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（ ） A. 鸡的数量 B. 鸡的总价 C. 每个人出的钱数 D. 买鸡的人数 【答案】B 【解析】 【分析】读懂题意理清量之间的关系，即可判断的意义． 【详解】解：设买鸡的人数为，若设鸡的总价为钱， ∵每人出9钱，余11钱，说明所有人出的总钱数比鸡价多11钱，可得， ∵每人出6钱，差16钱，说明所有人出的总钱数比鸡价少16钱，可得， 所得方程组与题目给出的方程组一致，因此表示鸡的总价． 9. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，过点作交于点．若，，，则长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交的延长线于点G，作，先求出，再求出，进而根据勾股定理求出，然后根据“角角边”证明，可求出，接下来根据勾股定理求出，最后说明，并根据相似三角形的对应线段成比例得出答案． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点G，过点E作，交于点H， ∵点E是的中点，， ∴． 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 10. 已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的增减性判断的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴ ∴或 解得或． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：记甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的有2种， ∴抽取两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中线将面积进行转化，先求出的面积，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，将的面积转化为与反比例函数k值直接相关的的面积，从而求出k的值． 【详解】解：∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵， ∴． 14. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 15. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成“将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为6的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， 如图，过点作，交、于点、，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1）93.2；96.5； （2）七年级，理由见解析 （3）256人 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答． （1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：， 位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； 【小问2详解】 解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） 【小问3详解】 解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 18. 2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： （1）______； （2）若小腿部长，求的长； （3）点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）连接，由题意得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ， ， ， ， ， 答：的长为； 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 19. 南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． （1）求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； （2）若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】（1） 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 （2） 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【解析】 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； 【小问2详解】 解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 20. 在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． （1）当时，直线和双曲线交于，两点，求，两点坐标； （2）①求证：直线必经过点； ②若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），两点坐标为，或，． （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数恒过定点问题及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握函数交点的求解方法、一次函数定点的证明方法及根的判别式的应用． 主要（1）将代入直线解析式，联立直线与反比例函数解析式，解方程组得交点坐标； （2）①将点代入直线解析式验证等式成立，证明直线恒过该点；②联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程，利用根的判别式小于0，求解的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，直线解析式为． 联立直线与双曲线方程： 消去得：， 两边同乘（）并整理：， 因式分解：， 解得，． 当时，；当时，． 故，两点坐标为，或，． 【小问2详解】 ①证明：将代入直线， 即当时，恒成立． ∴ 直线必经过点． ②解：联立直线与双曲线方程： 消去得：， 两边同乘（）并整理：． ∵ 直线与双曲线无交点， ∴ 该一元二次方程无实数根，且． ∴ ， 即， 因式分解：， 解得． 故的取值范围是． 21. 如图，在中，，是上一点，以为圆心，为半径作圆，圆分别交、于、，与相切于点． （1）设，则________；（用含的代数式表示） （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由切线，从而推出，得到，根据得到，因此，即可解答； （2）连接，由为直径得到，从而根据，，得到，根据相似三角形的性质即可证明； （3）设的半径为，在中，根据得到，解得，从而得到，在中，求得，根据（2）可得，得到．连接，由为直径得到，因此，从而，在中，解直角三角形得到，即可解答． 【小问1详解】 解∶与相切于点， ， ， ∴， ． ． ， ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接， 为直径， ， ∴， ∵， ， ， ． 【小问3详解】 解：设的半径为，则，， ∵在中，， ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴，， ∴， ∴在中，， 由（2）可得， ∴． 连接， 为直径， ， ∴， ． ∴， ， ， ∴在中，． 即． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含a的式子表示b； （2）已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①8；②或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线即可解答； （2）①由题意可得，，，，即，然后表示出，利用二次函数的性质，结合图象分析最值即可； ②根据题意，设点，，则，由点S与点T不重合，推出且，然后分类讨论：当时，（i）当或时，（ii）当时；当时，（i）当时，（ii）当或时；分别根据二次函数的性质讨论即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，，过点作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合， ∴，，，，即， ∴， ∴关于t的函数的对称轴为，图象如图所示， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为； ②根据题意，设点，，则，， ∴， ∵点S与点T不重合， ∴， ∴且， ①当时， （i）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∵点在线段上，，，， ∴， ∴； （ii）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴（，舍去）， ②当时， （i）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴， （ii）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∴， ∴（，舍去）， 综上所述：或． 23. 在中，（），点D在边上，且．将射线绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，． （1）如图1，当时，若，与的位置关系为______，与的数量关系为______（用等式表示）； （2）当时，与交于点F，连接． ①如图2，若，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②如图3，若，求与的面积比． 【答案】（1）， （2）①（1）中结论仍然成立，理由见解析；②． 【解析】 【分析】（1）延长交延长线于点，先证，利用平行线性质和，证明，再结合，推导线段与角的数量、位置关系． （2）①延长交延长线于点，先证，由边长比例证明，推出，结合得，进而验证（1）中结论是否成立．②过点作交于，先由平行证得比例；再证，得；设份数表示各三角形面积，依次推导、、的面积关系，最终求出面积比． 【小问1详解】 解：延长交的延长线于点． ， ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：①（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长交的延长线于点． ，， ， ． ． ， ， ， ． ， ， ． ， ， （1）中结论仍然成立． ②过点作，交于点． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ， ， ， ， ， 设， ， ∵，与同高，面积比等于底之比： ∴， ， ， ，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $