专题01 平行、垂直中的重点题型与技巧全归纳（9大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦立体几何平行与垂直证明，以题型建模为核心，系统归纳9类方法，形成从基础到综合的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用中位线证平行|7题|构造中位线转化线线平行|线线平行→线面平行的基础方法| |利用平行四边形证平行|11题|平移/构造平行四边形|平面几何性质在立体几何中的迁移| |利用相似证平行|3题|比例线段推导平行关系|平面几何相似与立体几何平行的衔接| |面面平行证线面平行|3题|找辅助平面证面面平行|面面平行性质定理的应用| |平行性质定理应用|8题|由平行反推线线/线面关系|平行判定与性质的双向推理| |线面垂直证明|7题|线线垂直→线面垂直判定|垂直关系证明的核心路径| |线线垂直证明|7题|利用线面垂直性质/勾股定理|空间垂直关系的基础转化| |面面垂直证明|7题|线面垂直→面面垂直判定|垂直关系的层级提升| |面面垂直性质应用|8题|由面面垂直找线面垂直|垂直性质定理的关键应用|

专题 01 平行、垂直中的重点题型与技巧全归纳（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 6 题型三、利用相似证明平行 17 题型四、面面平行证明线面平行 21 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 24 题型六、证明线面垂直（常考点） 33 题型七、证明线线垂直 40 题型八、证明面面垂直 47 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 51 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1．如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】由，而平面，故A错误； 由，而平面，故B错误； 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，故C错误； 如图所示，连接交于，连接， 所以点是的中点，又点是的中点， 所以，而平面，平面， 所以平面，故D正确. 2．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 3．（多选）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 4．如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解， （2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【详解】（1）∵ 平面， 所以三棱锥的高为， 所以； （2）连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且 平面， 平面， 所以//平面.    5．如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）结合（1）可知或其补角即为所求，在中，设值求解即可. 【详解】（1）连接，， 在中， ，分别为，的中点，    又平面，平面， 平面. （2）由（1）知， 或其补角即为所求， 在中，设， 则，， 所以. 6．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，为的中点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线的性质得到，再结合线面平行的判定定理，证明平面； （2）利用三角形中位线定理将异面直线所成角转化为相交直线所成的，再通过勾股定理求出的三边长，最后用余弦定理计算出该角的余弦值，即为异面直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）∵、分别是、的中点， ∴是的中位线，因此， 又不在平面内，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）由（1）可知，异面直线和所成的角等于异面直线和所成的角（或其补角）， 由题意，，底面为矩形，因此，， ，又为中点，故， 矩形对角线， 直角中，，， 在中，由余弦定理， 即，整理得， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 7．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若四棱柱的体积为24，且底面为平行四边形，求三棱锥的体积的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由中位线可知，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由F是的中点得，再由 平面，，所以，又，，联立即可得解. 【详解】（1）在四棱柱中，连接，如图， 因，分别是，的中点，则有，又平面，平面， 所以平面； （2）由F是的中点得， 又 ，平面，平面，则 平面， 又点M是线段上的一个动点，则， 所以三棱锥的体积的值. 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 1．如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等体积法计算即可. （2）由四边形为平行四边形证得，根据线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）证明：正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 2．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证： 平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证： . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定 平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中， ，且. 因为四边形为平行四边形，所以 ，且. 所以 且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以 平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得 . 因为平面在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知 平面. 因为过点和的平面交平面于，且 平面， 根据线面平行的性质定理可得， . 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 5．如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段即为点的轨迹，理由见解析 【分析】（1）过作，交于，可证四边形为平行四边形，得到，即，再由线面平面的判定即可证明； （2）法一：连接，根据，结合锥体体积公式计算；法二：由等体积法可知即可求解； （3）根据题意，，进而得到点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，再得到轨迹即可． 【详解】（1）证明：在平面中，过作，交于， 因为为的中点，所以为的中点，则，， 又，，所以且， 则四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． （2）法一：连接，则， ． 法二：（等体积法）由知， 因为，所以， 因为，所以． （3）四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，， 保留这三个字母，将其他字母统一化．， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍， 即平面经过线段的一个四等分点（靠近点）， ， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍， 即平面经过线段的一个三等分点（靠近点）， 又平面与平面相交于一条直线，点，确定该直线， 因此，线段即为点的轨迹． 6．如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得； （3）利用等体积转化为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 7．某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形即可得到，然后由线面平行的判定定理即可证明； （2）首先求出圆台的高，然后根据体积转化法得到，最后问题转化为点到直径距离的最大值即可得出答案. 【详解】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以是的中位线， 因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且， 故且， 因此四边形是平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面. （2） 轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ， 因为是下底直径，在下底圆周上，故， 设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2， 的面积，是中点，故， 因为是中点，平面， 故， 到底面的距离为圆台的高， 因此： ， 因为，当时三棱锥体积取最大值： . 8．如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 9．如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解. 【详解】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 10．如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由 平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又 是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 11．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到，   利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 题型三、利用相似证明平行 1．如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 2．如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用直线平行的传递性证明即可； （2）方法一：连接，结合图形几何关系利用线面平行判定定理证明；方法二：利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论； （3）利用题干比例关系，转换棱锥底面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，因为点分别为棱，的中点， 所以，           又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以，               所以，     所以四点共面； （2）方法一：在正方体中，连接， 点分别为棱，的中点， ，             ，                               四边形为平行四边形 ， ， 平面，平面， 平面.                             方法二：连接、分别交、于点，连接， 在正方体中，且，     所以，则，              同理可得，                          所以，所以，                   又平面，平面，             所以平面； （3）正方体的边长为4，为棱的中点，                                                        3．如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 题型四、面面平行证明线面平行 1．如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，得到，即可证明四点共面. （2）取中点，连接，，根据面面平行的判定定理得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 2．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 3．如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 1．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又 ， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中， ， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，， . 2．如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 3．在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 4．如图，在四棱锥中， 分别是的中点，， . (1)求证 平面； (2)若 平面，求的值； (3)作出平面与平面的交线，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)理由见解析 【分析】（1）利用中点构造中位线平行即可证明. （2）运用线面平行的性质定理，得到线线平行，利用平面三角相似，得到相似比进而求解. （3）运用线面平行的性质定理，可知交线的位置且与已知线的平行关系. 【详解】（1） 如图延长，连接并延长与交于点，连接 因为 且是的中点， 所以，且， 所以 所以为中点， 在中，分别是的中点，所以 又因为平面，平面，所以 平面 （2） 连接，交于点，连接 因为 平面，平面，而平面平面， 故, 所以 所以 在梯形中，因为 ， 所以 又 所以 所以 （3） 过点在平面中作直线，如图 理由如下 因为 ，平面，平面， 所以 平面 又因为平面，平面平面 所以 所以 5．如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 6．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 7．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 8．如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)利用等腰三角形的几何特征，得到 ，再利用菱形的几何特征得到 ，再结合直线垂直于平面的判定定理，证明出 平面,再利用直线与平面的性质定理得到 .（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.(3)先利用题目的条件证 平面，再证 平面，再用平面与平面平行的判定定理证明平面 平面，再用平面与平面的性质定理证明 平面即可. 【详解】（1）设与的交点为，则是的中点， 因为.所以 . 因为菱形，所以 . 又 , 平面，所以 平面. 又 平面，所以 . （2）在菱形中，因为 . 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知 平面. 因为 平面所以 又所以 平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. （3）证明:取的中点，连接，则 因为 平面. 平面，所以 平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为 平面， 平面AEC， 所以 平面 又， 平面 所以平面 平面， 又 平面 所以 平面 题型六、证明线面垂直（常考点） 1．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 2．已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时. 3．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 【分析】（1）根据中位线可得，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 4．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点， ， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 5．如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 6．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 7．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过证明四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 题型七、证明线线垂直 1．如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， 求证： 【答案】证明见解析 【详解】取AB中点N，连接PN，MN，如图所示， 则，而，故， 因为，所以， 又，MN，平面PMN， 所以平面， 因为平面PMN，所以. 2．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 3．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 4．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 5．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 6．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角； (3)已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明平面即可证明结论； （2）连接，由题意可得，进而结合为等边三角形可得结论； （3）分别取的中点，连接，先证明平面平面，结合平面确定的位置，并根据各边长度得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】（1）连接，因为是正方形，所以， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为点E、F分别是棱BC，的中点，所以，所以； （2）连接，由（1）可得， 所以或其补角为异面直线EF与所成的角， 由正方体，可得， 所以为等边三角形，所以， 所以异面直线EF与所成的角为； （3）分别取的中点，连接，所以， 因为E，F分别是棱的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，又因为P是侧面内一点，若平面， 所以点在上， 因为正方体的棱长为2，所以由勾股定理可得，， 当为的中点时，，此时的长最短，此时， 所以； 当与重合时，可得最大，最大值为， 所以线段长度的取值范围是. 7．如图，在正三棱锥中，为的重心，也为在面上的投影．上一点满足，上一点满足，且，为中点． (1)证明：； (2)若三棱锥各棱长均为2，求到距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正三棱锥的性质可知，作为底面正的重心，同时是顶点在底面的投影，因此平面，进而；又正三角形的重心与垂心重合，故.结合与相交于，根据线面垂直的判定定理，可得平面，最终由线面垂直的性质推出。 （2）本题先通过作投影确定正四面体中 为 的重心，利用正三角形性质算出相关线段长度，再由相似三角形得到 的投影 的位置与 到平面 的距离；接着用向量分解表示 ，结合三点共线的系数和为 1 建立参数方程，代入 求解 ；最后根据垂线段最短，确定 到 的最小距离为 到面 的距离 . 【详解】（1）因为三棱锥为正三棱锥，所以为正三角形. 因为 是正 的重心，也是 在平面 上的投影，故 平面 . 平面 ，因此 . 又 为正 重心，所以 也为正 垂心，故 . 因为，且 平 面 ，所以 平面 . 因为 面 ，所以 . （2）如图所示，过作平面，则为在面的投影；过作平面，则为在平面的投影. 因为三棱锥每条棱长都为，所以该三棱锥为正四面体，所以为的重心. 因为正边长为，所以高为. 延长 交 于 ，由正三角形垂心重心重合得. 所以重心 到顶点距离 . 三棱锥的高. 因为平面，平面，所以. 所以易得. 因为为中点，所以. 所以若存在和使得线段经过，则求到距离的最小值即求到平面的距离. 如图所示，假设存在和使得线段经过，则由题可知;. 因为为的重心，为中点，所以. 即 .又 ， 所以 . 由三点共线可知若 ，即 时，线段经过 此时. 代入 ，得 ，即 . 由求根公式，. 显然有，所以假设成立，即到距离的最小值即到面的距离. 题型八、证明面面垂直 1．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 2．如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 3．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 4．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.求证：平面平面. 【答案】根据面面垂直的判定定理和性质定理得平面，再利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】平面 平面， ∴平面平面， 又∵平面平面，且，平面， 平面， 又平面，故. 在中，，E为线段的中点，则. 因为平面，平面，，平面. 平面，∴平面平面. 5．如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，故. 又因为，，平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. 6．如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定先证明平面，即可根据面面垂直的判定求证. 【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，得， 由平面，平面，得， 而平面， 则平面，又平面， 所以平面平面． 7．如图，在三棱柱中，平面，，． 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据，可证明为直角三角形，从而得出，再由，可以得出平面，从而得证. 【详解】由题意得平面，所以， 设，， 由，解得， 所以，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面． 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 1．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 2．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 3．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 6．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件先证，再由平面平面证明平面，可得，再由平面几何知识证明，进而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得. 在直四棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面，故平面. 又因平面，所以. 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以，故，即， 因为，且平面，所以平面. 7．已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面. 取中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，则，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面，所以， 因为为正三角形，为的中点，所以， 又，平面，所以平面 8．如图，在四棱锥中，平面，平面平面 . 证明：平面PAD. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，先证平面，得，再结合线面垂直可得，然后由线面垂直的判定定理可证. 【详解】取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又平面平面，所以. 又，平面 所以平面. 1．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，为的中点．为的中点，为的中点， 证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，再结合线面平行的判定定理证明即可. 【详解】证明：如图，取的中点的中点，连接， 因为与均为等腰直角三角形，，，不妨设，则，所以. 因为分别为的中点，所以，所以. 因为，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面平面，所以平面. 2．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）因为，，分别是，，的中点，所以，可证平面，同理平面，进而即得； （2）由题意可知点Q在线段上移动，因为是等腰三角形，故是高时最小. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点， 所以，平面，平面， 所以平面． 同理，平面，又因为， 所以平面平面．    （2）解：由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动， 在中，，，，的最小值为R到线段的距离， 因为是等腰三角形，故的最小值为．    3．如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，，平面平面是棱DF的中点.    (1)证明：平面ABC． (2)证明：平面ABC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理可得平面，则，再，由线面垂直的判定定理即可证得. 【详解】（1）取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以．因为平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为，平面，平面， 且，平面， 所以平面．    4．如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 由（1）可得，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 5．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由 平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则 FO . 又平面，平面，故 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又 平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又 DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 6．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作，交于点，作，交于点，再连接，通过说明四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，说明平面即平面，进而可求解. 【详解】（1） 作，交于点，作，交于点，连接． 因为，所以．同理可得． 因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形，所以． 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记． 因为，所以，，即，分别为，的中点． 因为，，所以四边形为平行四边形，， 所以，平面即平面，延长，与的交点即为点． 因为，所以，解得． 7．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 8．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，平面，进而可证面面平行； （2）根据线面平行的性质定理可得，进而分析长度共线即可； （3）根据面面垂直的性质定理可得平面，平面，进而可得，，即可得线面垂直. 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 9．如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． (1)求证：平面； (2)若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）根据题意先构建面面平行，即平面平面，因为平面，平面，所以平面； （2）①过点作交于点，先证明平面．得到，再证平面，得到，因为，则可证平面，进而证得； ②由题意得到底面的距离为，设点到的高，可证平面，即点到底面的高为，在中使用等面积法可得，进而可使用割补法得几何体的体积，取的中点，连接，易得平面，即，在、、中，结合勾股定理与余弦定理，可得，，当且仅当时等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，，进而可求的值. 【详解】（1）证明：根据题意可知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）①证明：在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又因为平面，则； 根据题意，平面图形翻折后，， 且是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面． 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以． ②直角梯形中，，，且， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，而平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴； 几何体的体积为 ； 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 在中，， 在中，，∴，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 10．如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行、 垂直中的重点题型与技巧全归纳 目录， A题型建模·专项突破 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 6 题型三、利用相似证明平行… 17 题型四、面面平行证明线面平行… …21 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 24 题型六、证明线面垂直（常考点)… 33 题型七、证明线线垂直… .40 题型八、证明面面垂直47 题型九、面面垂直的性质定理（重点) 51 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1.如图，在正方体ABCD-A1B:C1D1中，点E是D:D的中点，则下列直线中与平面EAC平行的是（) D B E B A. 直线BA1 B.直线BB1 C.直线BC1 D.直线BD1 2.M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则 在翻折过程中，直线MN与平面ABD的位置关系为() D' B A A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.无法判断 3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G分别是棱A1B1B1C1,BB1的中点，则() 1/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.FG//平面AA1D1D B.EF/平面BC1D1 C.FG/平面BC1D1 D.平面EFG/平面BC1D1 4.如图所示，ABCD一A1B1C1D1是正四棱柱（即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2， E是棱BC的中点. D B (1)求三棱锥D1-DBC的体积 (2)求证：BD1‖平面C1DE; 5,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，点E是CC1的中点. D B B (1)求证：OE//平面ABC1D1: (2)求异面直线AD1与0E所成角的余弦值. 6.如图，四棱锥E-ABCD的底面为矩形，EA1平面ABCD,AB=AD=1,M为ED的中点，N为 EB的中点，P为BC的中点. D (1)证明：MN//平面ABCD: 2/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求异面直线MN和DP所成角的余弦值. 7.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E,F分别是BC,CM的中 点 D E b (1)求证：EF//平面BDD1B1: (2)若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为24，且底面ABCD为平行四边形，求三棱锥C-BDF的体积V的 值. 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E为BB1中点， A B D E D C (1)求三棱锥A-EA1D1的体积： (2)求证：BC1//平面AD1E. 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上 一点，N为BC的中点. M D B N (1)当M为PD的中点时，求证：MN//平面PAB. 2)当PB/平面AMN时，求器的值，并说明理由. 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点. D M B (1)求证：MNI平面PAD; (2)在DN上取一点G(不与D,N重合)，设过点G和PA的平面交平面BDN于GH,求证：PA‖GH. 4.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是△ABC的重心，M,E,F分别是线段 SC,SD,BC上一点，且SM=2MC,SE=2ED,OF//AB. B (1)证明：MF与0E共面； (2)证明：CE//平面SAF. 5.如图所示的几何体，在底面ABCD中，AC⊥BD,AC与BD交于点O,OA=OC=1, OD=专OB=1,GC垂直于平面ABCD,MDIIGC,且MD=专GC=1. G M 4 B (1)证明：BD平面AMG; (2)求三棱锥B-AMG的体积； (3)在△GAB内部（包括边界）的动点Q满足四棱锥Q一ABCD的体积和三棱锥Q一GCD的体积相等，请 找出点Q的轨迹，并说明理由. 6.如图，己知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，点E,F分别为AD,PC的中点， 设平面PCD∩平面PBE=I: 4/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B (1)证明：DF//平面PBE: (2)证明：DF//1: (3)求三棱锥F-PBE的体积. 7.某圆台形建筑如图所示，圆台O1O,的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA=2A1C1=4,B为底 面圆周上异于A,C的动点，P是BC的中点. A C C (1)求证：直线C1P‖平面A1AB; (2)若点Q是PC1的中点，求三棱锥Q-ABA体积的最大值. 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2.E、F、G分别为CD、CC1、BB1中点. B D Ci (1)求三棱锥C一BEF的表面积； (2)求证：DG/平面BEF 9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=V2,AC=AA1=2,且D,E分别是AC,A1C1的 中点. 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 分 (1)证明：DC1//平面ABE: (2)求三棱锥C1一ABE的体积. 10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O,M是PC的中点， 在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP‖GH. C 11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E,F分别是棱AB,AC1B1C1的中点. C E B D B (1)证明：DE//平面A1BF: (2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为18，求四棱锥A1一B1BCF的体积， 题型三、利用相似证明平行 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,ADIBC,AD=3,DE=2EP,AB=V3,BC=多，点P到 平面ABCD的距离为3. 6/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B4 (1)求证：PBI平面ACE: (2)求三棱锥P-ACE的体积， 2.如图，在边长为4的正方体ABCD-AB1C1D1中，点G,E,F,P分别为棱AB,D1C1,B1C1,AA1的 中点，点M,N分别是棱A,D:和AB1上的一点，且兴=器= D M B D G (1)求证：D,B,F,E四点共面： (2)求证：D1G//平面DBFE; (3)试求三棱锥A1-PMN的体积. 3.如图，△OCD等边三角形，且点A,B分别为线段0D与OC的中点.将△OAB沿AB折叠后使点O与 点P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP. D (1)证明：AP/平面BED: (2)求四棱锥P一ABCD与三棱锥P一BDE的体积之比. 题型四、面面平行证明线面平行 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B、F、G分别是DD1、CD、BB1的中点. 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E G D B (1)证明：A1,B,E、F四点共面 (2)若P是线段CG上的动点，证明：PD1//平面A1BFE, 2.如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD,CD=2AB=2AD=4,AE1CD,垂足为E,将△ADE沿 AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上，且 器=器=2. p E M A (1)若PE⊥EC,求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：MN//平面PCE. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2、E、F、G分别为CD、CC1、BB1中点. A D E B D B (1)求三棱锥C-BEF的体积； (2)求证：DG//平面BEF. 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点) 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC//AD,BC=AD,面PBC∩面 PAD=I,E是PD的中点. 8/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M. (1)求证：CE//平面PAB; (2)求证：1//AD: 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD,2BC=AD,E是PD的中点. B (1)求证：BC//AD: (2)求证：CE//平面PAB 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,FG分别是PD,AC,PA的中点，平面 PAB∩平面EFG=I证明： B (1)EF/1 (2)平面EFG平面PBC. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD‖BC,M,N分别是PB,CD的中点，AD=3BC,PE=入E元 D M (1)求证MN‖平面PAD: (2)若PB‖平面ACE,求的值； 9/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)作出平面PAD与平面PBC的交线，并说明理由. 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且AD/BCAD=2BC,且E为PD的中点 (1)求证：CE//平面PAB: (2)设平面PAB与平面PCD的交线为I,试判断直线1与平面ACE的位置关系，并证明. 6.如图所示，正四棱锥S一ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，Q为侧棱SD的中点. S B (1)证明：BQ//平面PAC; (2)若E是侧棱SC上靠近点C的三等分点，求证：BE/平面PAC 7.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形，PB=PC=3 ,点E在PB上. B (1)若E为中点，求证：PD//平面AEC: (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值； (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DF//平面AEC?并证明你的结论 8.如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60,PA=AC=1,PB=PD=V2, 点E在PD上，且PE:ED=2:1. 10/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ------ B C (1)证明：BD⊥PC; (2)求点A到平面PBD的距离： (3)F是棱PC的中点，证明：BF//平面AEC 题型六、证明线面垂直（常考点) 1.如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H.求 证：AH⊥平面BCD, B4:: D 2.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的 交点O,△PBD是等边三角形。 B (1)求证：AC⊥平面PBD: (2)求点D到平面PBC的距离： (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角的正 弦值，以及此时线段DE的长 3.如图，在底面是矩形的四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,E,F分别是PCPD的中点. 11/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求证：EF//平面PAB; (2)求证：EF⊥平面PAD 4.如图，在正四棱柱ABCD-AB1C1D1中，AB=1,AA=2,M是DD1的中点. D C A M B (1)求证：BD1//平面AMC: (2)证明：AC⊥平面BDD1B1 5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，AA=AB=4,B1E=3E C D B (1)证明：CD⊥A1E: (2)证明：A1D⊥平面CDE; (3)求直线A1C与平面CDE所成角的正弦值. 6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD⊥BD,BF为△BCD的中线，将△BCF沿BF折 叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. A B (1)求证：EF⊥平面ABCD, (2)求直线AE与平面BEF所成角的正切值， 12/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,PA=AD=CD=2, BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且既=青 (1)求证：CD⊥平面PAD: (2)设点G在PB上，且=号，证明：AG//平面PCD: 题型七、证明线线垂直 1.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中点，AB=BC=2, AP=BP=3. B 求证：AB⊥PM 2.如图，在三棱锥S-ABC中，△SAB是边长为2的正三角形，△ACS为等腰直角三角形， ∠SAC=90°，D为SC中点.求证：SA⊥BD; B 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD, 点E是棱PB的中点.求证：AB⊥CE, A 13/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=AD,E为AD中点，O是AC与BE的交点，将 △ABE沿BE翻折到图2中△A1BE的位置得到四棱锥A1-BCDE.求证：CD⊥A1C A(A) B 图1 图2 5,如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点， AA=AB=BC=2 (1)求证：AC1⊥A1B: (2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小. 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，点E、F分别是棱BC,CC1的中点， D C B D E (1)求证：EF⊥AC; (2)求异面直线EF与A1B所成角： (3)已知P是侧面BCC1B1内一点，若A1P//平面AEF,求线段A1P长度的取值范围， 7.如图，在正三棱锥A一BCD中，H为△BCD的重心，也为A在面BCD上的投影.AB上一点M满足 A应=A庙，AC上一点N满足AN=AC,且入+H=1,P为AD中点. 14/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M N H B (1)证明：AD⊥BC: (2)若三棱锥A-BCD各棱长均为2，求P到MN距离的最小值. 题型八、证明面面垂直 1.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2,PA=PB=2.证 明：平面PAB⊥平面ABCD A D C 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠APB=∠ADC=90°，AP=2,BP=2W3,AD=4, BC=CD=4W5,PC=2y15,求证：平面PAB1平面ABCD: 3.在△ABC中，∠C=90·,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DEBC,且 CD=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图所示.求证：平面A1CB⊥平面 BCDE. 4,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=4,E为线段 PB的中点，F为线段BC上的动点.求证：平面AEF⊥平面PBC 15/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 5.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与平面CMD垂直，且DM⊥MC证明：平面AMD⊥平面 BMC. D o 6,如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⊥平面ABE,BC//AD,△CAE是以CE为斜边的等腰直角三 角形.证明：平面ACE⊥平面ABCD. D A 7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB=2AC,∠ABC=30°，求证：平面 ACB1⊥平面C1CBB1: C B B 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 1,如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2√2，BC=2,平面PAC⊥平面ABCD, 且PA=PC,点E,F分别是棱AB,PC的中点.求证：DE⊥平面PAC: 16/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，四边形ABCD是菱形，平面PAC⊥平面ABCD,PA//QD,且PA=AD=2QD=2,M为 PC的中点.证明：MQ⊥PA; M C 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=2,AB⊥BC,AC⊥CD,CD=V2,PB=PC,平面 PBC⊥平面ABCD.求证：AB⊥PC. 4.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD,平面PAD⊥平面 ABCD,PA=PD=V2,E是BC的中点，点Q在侧棱PC上，PQ=tPC,求证：直线DE1平面PAD: B 5,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB⊥PB,平面PAC⊥平面ABCD.求证： PC⊥平面ABCD; 17/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为22的菱形，AA1=2,∠BAD=号， E,F分别为AB,AA1的中点.证明：B1E⊥平面DEP. D C B B 7.已知平面四边形ABDC由一个等边△ABC与一个直角△CBD拼接而成，且∠CBD=90°，现将 △ABC沿BC折叠，折叠后使平面ABC⊥平面CBD. B D 取AB中点E,证明：CE⊥平面ABD. 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,AD/BC,BC=4V2 AB=AD=PD=2V2. p D A B C 证明：AB⊥平面PAD. 18/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°， ∠BAC=90°，E为BC的中点.F为PD的中点，G为PE的中点， 证明：FG//平面PAB 2.如图，在正四面体S-ABC中，AB=4,E,F,R分别是SB,SC,SA的中点，取SE,SF的中点M ,N,Q为平面SBC内一点. R (1)求证：平面MNR//平面AEF; (2)若RQ//平面AEF,求线段RQ的最小值. 3.如图，在五面体ABCDEF中，△ABC是等边三角形，AF/BE/CD,CD=3, AB=BE=2,AF=1,平面ABC⊥平面ACDF,AF⊥AB,P是棱DF的中点. (1)证明：PE//平面ABC. (2)证明：AF⊥平面ABC. 19/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为AB,BB1的中点，AB=2,AA1=2W2 A C A:C D B (1)证明：CD⊥A1E: (2)证明：平面A1CE⊥平面CDE; 5.如图所求，四棱锥P一ABCD,底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点. E M D A (1)求证：PC//平面BFD: (2)已知M点在PD上满足EC/平面BFM,求器的值. 6.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,C1D1中，点M,N分别在线段B1D1,A1D上，且 BM=A N=V2 D C M A 6 ‘D b 20/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：MN//平面CDD1C1: (2)记过MN且与BC1平行的平面为，平面a与直线B1C1交于点P,求B1P的长 7.己知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点.设平面PAD与 平面PBC的交线为，平面PAD⊥平面ABCD D B (1)证明：平面EFG/平面PAB; (2)求证：BC//1; (3)求证：DC⊥PA. 8.如图，己知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，平面PBA⊥平面ABCD, M是线段PQ上的一点，且DM/平面ACP.求证： D (1)平面ADQ//平面BCP; (2)M是线段PQ的中点； (3)PB⊥平面ABCD. 9.如图所示，在直角梯形BCEF中，BFICE,∠BCE=90,A,D分别是BF,CE上的点，且 AD/BC,ED=2AF=4,CD=t(0<t<5),BC+CD=5,将四边形ADEF沿AD向上翻折， 连接BE,BF,CE,在翻折的过程中，设∠EDC=《(0<《<π)，记几何体EFABCD的体积为V. D D B (1)求证：BF/平面CDE; (2)若平面FBE⊥平面CBE. ①求证：BF⊥CE; 21/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当α取得最大值时，求V的值. 10.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，D是棱AC的中点，且AC=4,AA1=2V2 C D (1)求证：B1C//平面A1BD; (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： (I)求证：AC1⊥平面A1BD: (IⅡ)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC,N1平面ACCA1?如果存在，求出器的值，如果不存在， 请说明理由 条件①：AB=BC; 条件②：BD⊥A1D: 条件③：BD⊥AC1. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分 22/22