高中数学单元测试——第八章立体几何初步（适中版01）

高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（本题5分）若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若圆锥轴截面的面积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图 1，在平行四边形中， . 沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图 2，若，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则（　　） A． B． C． D． 7．（本题5分）在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知不重合的直线，，和平面，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 10．（本题6分）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（    ）    A．石墩上､下两部分的高之比为 B．石墩表面上两点间距离的最大值为 C．每个石墩的体积为 D．将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 四、填空题 13．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 14．（本题5分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 五、解答题 15．（本题13分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 16．（本题15分）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求三棱锥的体积． 17．（本题15分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且， （1）求证：四点共面； （2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面； （3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求． 18．（本题17分）如图，棱长为4的正方体外一点在的延长线上，连接、、，已知为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求的长度. 19．（本题17分）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可. 【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面. 故选：C 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4．（本题5分）若圆锥轴截面的面积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由母线与底面所成角为，可得圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为，则，从而可求出，再求出圆锥的高，进而可求出圆锥的体积 【详解】解：圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为， 则圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为， 则有，解得，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：A． 5．（本题5分）如图 1，在平行四边形中， . 沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图 2，若，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过勾股定理，可以证明和，利用直角三角形的性质“斜边上的中线长是斜边的一半”，可知的中点为外接球的球心，为半径，即可求得外接球的表面积. 【详解】 在Rt中， ，又， 所以，所以，同理可得. 取的中点，则， 所以为三棱锥 外接球的球心，为半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选: C. 6．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平行得到平面与的交点，从而得到与面的交线，再由平行得到与平面的交线，从而确定点的位置，根据为的四等分点得到G为AD的三等分点，从而得到的长. 【详解】 如图，平面与平面的交线与平行，即过点作的平行线，交于点，连接， 因为，分别为棱和的中点，所以为的四等分点, 过点作，交于点.从而G为AD的三等分点，故. 故选：D. 7．（本题5分）在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意到，则、所成角，即为与所成角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】连接、，由题可得，又， 则四边形为平行四边形，则， 即，所成角，即为与所成角或其补角， 又由题可得，， 则. 因此，异面直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 8．（本题5分）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解. 【详解】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 【点睛】 二、多选题 9．（本题6分）已知不重合的直线，，和平面，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】AD 【分析】根据直线和平面的相关性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据平行传递性可知，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则可能出现，或，或相交但不垂直，或异面但不垂直，故B错误； 对于C，若，，，，则或相交，故C错误； 对于D，根据面面垂直判定定理可知，若，，则，故D正确. 故选：AD 10．（本题6分）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据勾股定理即可求解A，根据正弦定理求解底面圆半径即可判断B，根据直角三角形的性质即可求解CD. 【详解】对于A，如图：,解得，故A正确， 对于B，底面圆的半径为,而，故B错误， 对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故,C正确， 对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故, 因此, 故的中点即为球心，故,D正确， 故选：ACD 11．（本题6分）绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（    ）    A．石墩上､下两部分的高之比为 B．石墩表面上两点间距离的最大值为 C．每个石墩的体积为 D．将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据几何体的几何结构特征，利用圆柱和球的性质，结合圆柱和球的体积公式、圆的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设球缺的球心为，由已知可得半径，， 所以，可得，石墩上､下两部分的高之比为,所以A正确； 由，所以石墩表面上两点间距离的最大值为，所以B错误； 由前面的计算可知上部分球缺的高，所以石墩的体积，所以C正确； 设该球的半径为，则，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 四、填空题 13．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 【答案】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【详解】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 14．（本题5分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 【答案】32 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 五、解答题 15．（本题13分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件即可推出，即可判定线面平行； （2）由已知可得，三棱锥的高为，进而可根据三棱锥的体积公式求解得出. 【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以是的中位线，所以， 又平面EBD，平面EBD， 因此，平面EBD. （2）因为， 又平面，所以三棱锥的高为， ∴. 16．（本题15分）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可； （2）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据求解即可. 【详解】（1）因为，所以四点共面， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，故平面， 又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 又因为， 所以三棱锥的体积为. 17．（本题15分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且， （1）求证：四点共面； （2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面； （3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面；（2）要证线面垂直，可以证明两个垂直平面内一条直线垂直两平面的交线即可；（3）可以证明就是二面角的平面角，在直角三角形中可解得的值. 试题解析：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN， 显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面． （2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB ，且EM在平面ABBA内，所以面 （3）面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3，∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以= 点睛：本题主要考查了平面的基本性质及推论，直线和平面垂直的判定，三垂线定理得应用，属于难题.判断直线和平面垂直的方法主要是通过线与线垂直、面与面垂直进行转化，三垂线定理是证明寻求二面角的平面角的较好方法，共面问题主要是转化为两条平行直线或相交直线来处理. 18．（本题17分）如图，棱长为4的正方体外一点在的延长线上，连接、、，已知为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求的长度. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先作辅助线，然后利用中位线的性质以及线线平行，可推出线面平行. （2）根据勾股定理，先求出的长度，然后根据勾股定理求得的长度. 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接.如图所示： 因为为正方体，棱长为4，点是的中点， 所以，且. 因为为的中点，所以，又， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内，所以平面. （2）因为，四方体的棱长为4，所以. 因为是的中点，所以，所以. 在直角三角形中，. 在直角三角形中，. 根据勾股定理可得. 所以的长度为. 19．（本题17分）如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； (1)证明：直线平面PBC； (2)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先确定为二面角的平面角，再研究的面积何时最大，即可求的大小. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 因为平面，所以. 又为在上的投影，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. 平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值. 所以，当时取等号. 所以，当时取等号. 此时为等腰直角三角形，所以. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $