辽宁省四校联考2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

绝密★启用前 辽宁省四校联考2023-2024学年高二下学期期末考试 数学 注意事项： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知函数，若d趋近于0时，则趋近于( ) A. B. C. D. 2．质数(prime number)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数,数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5,5和7……,在1900年的国际数学大会上,著名数学家希尔伯特提出了23个问题,其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》,破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题,证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么,如果我们在不超过的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件A,这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数,则( ) A. B. C. D. 3．已知随机变量，若，则( ) A.， B .， C.， D.， 4．已知函数,若关于x的方程有实数解,则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 5．已知数列满足,,则( ) A. B. C. D. 6．“”是“函数为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．已知数列的前n项和为，，，.若，有恒成立，则实数t的最大值为( ) A.3 B. C. D. 8．若，曲线与恰有一个交点，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在数列中,,,下列结论正确的是( ) A.数列是等比数列 B.数列是等差数列 C. D.数列是递增数列 10．已知甲袋中有3个红球,乙袋中有2个黑球1个红球.从两袋中各随机摸出1个球,放入对方袋中,如此反复n次,记甲袋中恰有2个红球的概率为,甲袋中恰有1个红球的概率为,则( ) A. B. C. D. 11．设函数和，其中e是自然对数的底数，则下列结论正确的为( ) A.的图象与x轴相切 B.存在实数，使得的图象与x轴相切 C.若，则方程有唯一实数解 D.若有两个零点，则k的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．知随机变量X的概率分布如表且；则_______﹔ X 1 2 4 P 0.4 a b 13．若正数a,b满足,则的最小值为_____________________. 14．自然常数e是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近e的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，……，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知函数在点处的切线斜率为-1，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值． 16．（15分）已知数列的前n项和为,. (1)若为等比数列,求的通项公式； (2)若,,为数列的前n项和,证明. 17．（15分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中. 18．（17分）已知函数. （1）若,当时,讨论的单调性; （2）当时,,求a的取值范围. 19．（17分）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，，求证:； (3)已知数列的前n项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数m，使得对任意正整数，均有，求m的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $辽宁省四校联考2023-2024学年高 数学答案 题号 2 3 4 5 选项 D B B 12.答案：15 13.答案：16 15.答案：(1)f(x=x3-x2-x-2 (2)f(x)mn=-3,f(xmx=0 解析：(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c, 所以f'(x)=3x2+2ax+b, 由题意可知，f(0)=-2,f'(0)=-1,∫'(1)=0， f(0)=c=-2 所以{f'(0)=b=-1 f'(1)=3+2a+b=0 解得a=-1,b=-1,c=-2, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-x2-x-2, 经检验适合题意， 所以fx)=x3-x2-x-2; (2)由(1)知f'(x=3x2-2x-1=3x+1)(x-1, 令f'(x)=0,则(3x+1(x-1=0, 解得x=了或x=1, 当x[》时，f到>0： 当x(时，f到<0： 下学期期末考试 8 9 10 11 D BC ABC ACD 14.答案：6 所以在[-1》利2到上单调递增， 在[ 上单调递减， 当号，小国取的极大省为（到-分）写？=号 当x=1时，f(x取得极小值为f(1)=13-12-1-2=-3, 又f(-1=(-13-(-12-（-1-2=-3, f(2)=23-22-2-2=0, 所以f(xn=-3,f(mx=0. 16.答案：(1)an=2×3"- (2)证明见解析 解析：(1)油Sn1=3Sn+2得，Sn=3Sn1+2(n≥2)，两式相减得a1=3an(n≥2)， 若{a,}为等比数列，则公比为3，则4，=3a, 当n=1时，S,=a+a2=3a+2,解得a,=2, 所以{a,}的通项公式为a,=2×3-. (2)由S+1=3Sn+2得Sn1+1=-3(Sn+1),又a=8,所以{Sn+1是首项为9，公比为3 的等比数列， 则S+1=3,则6，=2n 30+1Γ 1,3,,2n-3,2n-1 7.=3+3++ 3” 3n+1Γ) 时京++ 13 3n*1十 30+2, 两式相减得 22 1,22 g3322n272n22n+2 +3-391- 3*2=930*2) 所以7，={n+1 330+11 因为≥1且neN所以g>0故-号智< 1n+1,1 17.答案：(1)表格见解析，有 (2)y与x线性相关性较强 解析：(1)补全2×2列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 则x2= 200×(70×60-30×40)2 100×100×110×90 200≈18.182>10.828， 11 故有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关 公x-到(%-列 (2)r= ②-2y明】 (x- ②-明 又6=4.7，s2=50,s=2, 所以r=4.7× 2=4.7×=0.94>0.9, 1 V50 5 故y与x线性相关性较强 18. 答案：(1)递增区间为 ,递减区间为 π5π 66 (2)a≤2. 解折：当a=分e@)时/)-方+6os-1,求导得f闭-分sm 2 由f(=0,得x=亚或x=5π，当0<x<或5<x<π时，f)>0,当<x<5 6 6 6 6 6 6 时，f'(x)<0, 所以函数四的逢指区为不 ,递减区间为 π5π 6’6 (2)当xe[0,+o)时，f(x)≤e+sinx+cosx-2台e+sinx-ax-1≥0， 令g()=e+sinx-ax-1,x≥0，求导得g'(x)=e+cosx-a, 令h(x)=e*+cosx-a,x≥0，求导得h'(x)=e-sinx,当x>0时，e*>L,sinx<1,而 h'(0)=1, 则h(x)>0,函数g'(x)在[0，+0)上递增，有g'(x)≥g'(0)=2-a, 当2-a≥0，即a≤2时，g'(x)≥0，函数g(x)在[0，+o)上递增，g(x)≥g(0)=0,符合 题意，则a≤2； 当a>2时，g'(0)<0,而 g'(ln(a+2)=a+2+cos(ln(a+2)-a=2+cos(ln(a+2)>0, 于是在(0，ln(a+2)上存在x,使得g'(x)=0,当0<x<x,时，g(x)<g'(x)=0, 因此函数g(x)在(0，x)上单调递减，当x∈(0，x)时，g(x)<g(0)=0,不符合题意， 所以a的取值范围是a≤2 19.答案：(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)5 解折：1对求导有=a“（x>0》 ①当a≤0时，'(x)≤0，故f(x)在(0，+o)单调递减； ②当a>0时，由f>0→x>1；由f川x<0→0<x<1 所以在()单调递诚。在〔日年闲适游 a (2)f=0台a=nx+1,令g)=血x+1,则有gx)=-lhx, 由g'(x)>0→0<x<1;由g'(x)<0→x>1 所以g(x)在(0，上单调递增，在(1，+∞单调递减。 若函数f(x)存在两个零点，则不妨有0<x,<1<x,,且有gx)=gx2), 要证x+x2>2,即证x2>2-x,即证g(x)<g(2-x),即证g(x)<g(2-x), 即证n+1<2-x)+l,等价于2-x)nx-xIh(2-x)+2-2x<0, X 2-X1 令p(x)=(2-x)lnx-xln(2-x)+2-2x（0<x<1), 则有p'(x)=-ln[x(2-x】+ 4 -4, x(2-x) 4 令u=x(2-x),则有0<u<1,则0'(x)=-lnu+4-4>0, 所以p(x)在(0,1)上单调递增，所以p(x)<p(①=0，得证. (3)a,=Sn-Sn1=2nn≥2)，当n=1时，a,=S,=2符合a,所以 an=2n(neN）: 设，}公比为9，则有bn=2g”-1,即2g≤2k≤2g恒成立，则q>0, 对任意ke{1,2,…,m,均有g-≤k≤g, 即血k≤nq≤k- k ≤1nk(k≥2时)恒成立. 分别冷4)-点团- x-1 则A'=1-1血x，所以h(在(0，e)上单调递增，在(e,+o)单调递减， x2 5W=-bx,令s)=-1-xnx,则x)=-ns, x(x-1)2 当x>1时，s'(x)<0,所以s(x在(1，+o)上单调递减。 所以(x)≤s()=0，故h,'()≤0，所以h()在(1，+o)上单调递减。 0当m-s时学shg辉得5595， 3 ②当m≥6时：n3≤ngsn6,解得5≤g≤6 3 5 所以m的最大值为5. (不成立)，