第二节　常用逻辑用语课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“常用逻辑用语”专题，覆盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题等核心考点，通过表格化知识清单梳理逻辑关系，结合集合观点剖析条件转化，融入2025天津卷等真题及改编题，归纳判定、求参数、命题否定三大常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养落地”，如2025天津卷“x=0是sin2x=0的条件”题，用定义法结合反例分析，学霸笔记总结集合法判断技巧，培养学生逻辑思维，助力掌握得分关键，为教师提供系统复习框架与精准训练素材。

第二节　常用逻辑用语 1 知识清单 1.充分条件、必要条件与充要条件 p是q的________________条件 p⇒q且qD⇒/p p是q的________________条件 pD⇒/q且q⇒p p是q的________________条件 p⇔q p是q的____________________条件 pD⇒/q且qD⇒/p 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 返回导航 2 剖析　若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|x满足条件p}， B＝{x|x满足条件q}， ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的必要条件，则B⊆A； ③若p是q的充分不必要条件，则AB； ④若p是q的必要不充分条件，则BA； ⑤若p是q的充要条件，则A＝B. 返回导航 3 2．全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，用符号“________”表示． (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，用符号“________”表示． 全称量词 ∀ 存在量词 ∃ 返回导航 4 3．全称量词命题与存在量词命题及其否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ________________ ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ________________ ∀x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 注：M为变量X的取值范围 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　) √ √ √ × 返回导航 6 2．(人教A版必修一P31习题T1，2改编)下列命题为假命题的是(　　) A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数n，使n2＋1是4的倍数 D．对任意负数x，x2的平方是正数 答案：C 返回导航 7 解析：对于A，实数包含有理数和无理数，其中无理数包含无限不循环小数，故A为真命题；B为真命题；对于C，假设有一个整数n，使n2＋1是4的倍数，则n2＋1能被4整除，故n2＋1为偶数，所以n2为奇数，即n为奇数，设n＝2k＋1，k∈N，则n2＋1＝4k2＋4k＋2，故n2＋1除以4的余数为2，与题设矛盾，因此不存在整数n，使n2＋1是4的倍数，故该命题为假命题；D为真命题.故选C. 返回导航 8 3．(多选)(人教A版必修一P18例1改编)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若x2＝1，则x＝1 C．若a＝b，则ac＝bc D．若x，y为无理数，则xy为无理数 答案：AC 返回导航 9 解析：A中p⇒q，所以p是q 的充分条件；B中由于(－1)2＝1，但－1≠1，所以pD q，所以p不是q 的充分条件；C中由等式的性质知，p⇒q，所以p是q 的充分条件；D中为无理数，但＝2为有理数，pD q，所以p不是q 的充分条件． 返回导航 10 4．(人教A版必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________________． 答案：任意一个偶数都不是素数 返回导航 11 命题点一　充分条件与必要条件 考向1　充分条件、必要条件的判定 例1 (1)(2025·天津卷) 设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A　 返回导航 12 解析：由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0D x＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件，综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. 返回导航 13 (2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 返回导航 14 解析：若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立，所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A. 返回导航 15 学霸笔记：充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p两种情况是否成立进行判断，此时应明确以下三点：一要分清条件与结论分别是什么；二要从充分性、必要性两个方面进行判断；三直接判断有困难时，可举反例判断． (2)集合法：如果条件p和结论q都以集合的形式出现，即A={x| x满足条件p}B={x| x满足条件q}，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件． 返回导航 16 　跟踪训练　(1)(2026·六安毛坦厂中学模拟)“a>b”是“lg a>lg b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B　 解析：由y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以lg a>lg b⇒a>b>0，当0>a>b时，lg a，lg b没有意义，所以a>b不能推出lg a>lg b，所以“a>b”是“lg a>lg b”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 17 (2)(2026·泉州模拟)设A＝{x|1≤2x≤4}，B＝{x|x2≤4x}，则x∈A是x∈B的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由A＝{x|1≤2x≤4}＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2≤4x}＝{x|0≤x≤4}，所以A B，即x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选A. 返回导航 18 考向2　充分条件、必要条件的探求与应用 例2 (1)已知a，b∈R，则以下选项中为“a>b”的充分条件的是(　　) A．3a>4b B．a2>b2 C．a>|b| D．2a>3b (2)(2026·包头模拟)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－a|<1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，4] B．(－∞，1] C．[4，＋∞) D．(1，4) 答案：C　 答案：A 返回导航 19 解析：(1)若a＝－4，b＝－3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不符合题意；当a＝－2，b＝1满足a2>b2，不满足a>b，∴B不符合题意；若a>|b|，又∵|b|≥b，∴a>b，∴C符合题意；a＝－3，b＝－2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不符合题意．故选C. (2)∵x2－5x<0，∴0<x<5，∵|x-a|<1，∴a-1<x<a+1，∴0<x<5是a-1<x<a+1的必要不充分条件，则 或得a∈[1，4].故选A. 返回导航 20 学霸笔记：(1)充分不必要条件的探求是选择推出结论的条件(选择题中是由选项推出结论)；必要不充分条件的探求是判断由结论能够得到什么条件(选择题中是由结论推出选项)． (2)在利用集合关系列不等式时，不等式是否能够取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 返回导航 21 　跟踪训练　(1)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根”的充要条件是____________________； (2)“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件可以是_________________； (3)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________． (－∞，－2]∪[2，＋∞) {a<a<0}(不唯一) {a|a<－2} 返回导航 22 解析：(1)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根，应满足Δ＝a2－4≥0， 解得a≤－2或a≥2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0的两个根为a，a＋1， ∵有一个正实数根和一个负实数根，∴∴－1<a<0. ∵(－1，0)，∴“一元二次方程有（x-a）(x-a-1)=0一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是(不唯一)． 返回导航 23 (3)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根， 则Δ＝a2－4>0，∴a>2或a<－2， 又两个根的和－a>0，∴a<0， ∴a<－2， ∴“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是{a|a<－2}． 返回导航 24 命题点二　全称量词与存在量词 考向1　含量词命题的否定及真假判断 例3 (1)(2026·哈尔滨二模)命题“∀x>0，ex＋1≤3x”的否定是(　　) A．∃x≤0，ex＋1>3x B．∃x>0，ex＋1≤3x C．∃x>0，ex＋1>3x D．∀x>0，ex＋1>3x 答案：C　 解析：命题“∀x>0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，其否定为∃x>0，ex＋1>3x.故选C. 返回导航 25 (2)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B. 返回导航 26 真题探源　(源自人教A版必修一P35T7改编)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C．∃m∈N, ∈N D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360° 答案：D 返回导航 27 解析：对于A，因为Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0恒成立，故此方程对于任意的实数a都有实根，故命题的否定为假命题；对于B，因为所有的正方形都是平行四边形，所以不存在一个正方形不是平行四边形，故命题的否定为假命题；对于C，取m＝0∈N，有＝1∈N，故命题的否定是假命题；对于D，任意四边形ABCD的内角和都等于360°，故命题的否定是真命题．故选D. 返回导航 28 学霸笔记： (1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x使p(x)成立即可． 返回导航 29 考向2　由含量词命题的真假求参数 例4 (2026·南阳模拟)已知a∈R，若“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 答案：C 解析：命题“∃x∈R，a＝2x＋1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，其否定为∀x∈R，a≠2x＋1，而函数y＝2x＋1的值域为(1，＋∞)，由“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，得“∀x∈R，a≠2x＋1”为真命题，则a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1].故选C. 返回导航 30 学霸笔记：由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成由¬p的真假求参数的范围． 返回导航 31 　跟踪训练　若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤3} B．{a|－1<a<3} C．{a|a≤－1，或a≥3} D．{a|a<－1，或a>3} 答案：A 返回导航 32 解析：由题意得，∵“存在x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，∴x2＋(a－1)x＋1＝0没有实根或有重根，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.故选A. 返回导航 33 1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x－1≥0 B．∃x∈N，2x＋1为奇数 C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 解析：对于A，因为∀x∈R，x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意；对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意；对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 2．(2026·太原模拟)已知命题p：∀x>0，x3>x2＋1，则¬p是(　　) A．∀x>0，x3≤x2＋1 B．∀x<0，x3>x2＋1 C．∃x>0，x3≤x2＋1 D．∃x>0，x3>x2＋1 答案：C 解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，即把任意改为存在，并否定原结论，所以¬p是∃x>0，x3≤x2＋1.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 3．已知命题p：∃x∈R，7x＋3＝0，则(　　) A．p为假命题，p的否定为“∀x∈R，7x＋3≠0” B．p为假命题，p的否定为“∃x∈R，7x＋3≠0” C．p为真命题，p的否定为“∀x∈R，7x＋3≠0” D．p为真命题，p的否定为“∃x∈R，7x＋3≠0” 答案：C 解析：当x＝－时，7x＋3＝0，所以p为真命题，由存在量词命题的否定是全称量词命题，则p的否定为“∀x∈R，7x＋3≠0”．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 4．已知P为角α终边上一点，“m＝”是“sin α＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：当m＝时，P，则sin α＝，充分性成立，当sin α＝时，则，可得m＝±，必要性不成立，所以“m＝”是“sin α＝”的充分不必要条件．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 5．(2026·齐齐哈尔模拟)已知a，b∈R，则“a>b”是“2a>2b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由y＝2x在R上单调递增，得a>b⇔2a>2b，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 6．(2026·重庆模拟)已知集合A＝{a，0，1}，B＝{x∈R|x2≤1}，则“a＝－1”是“A⊆B”的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：已知B＝{x∈R|x2≤1}，解不等式x2≤1，即－1≤x≤1，所以B＝{x|－1≤x≤1}．判断充分性：当a＝－1时，集合A＝{－1，0，1}，此时集合A中的所有元素都在集合B中，满足A⊆B，所以由“a＝－1”可以推出“A⊆B”，充分性成立．判断必要性：若A⊆B，因为集合A＝{a，0，1}，集合B＝{x|－1≤x≤1}，所以a的值可以为－1，也可以是其他值如a＝－，即由“A⊆B”不能推出“a＝－1”，必要性不成立．所以“a＝－1”是“A⊆B”的充分不必要条件．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 7．(2026·深圳模拟)某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格．则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：根据该申报条件：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生，但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生，所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 8．(2026·安阳模拟)已知命题p：∀x∈R，>1，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：对于命题p，不妨取x＝－，则<1，则命题p为假命题，p为真命题，对于命题q，不妨取x＝＝2>1，显然∃x>0，>1，则命题q为真命题．因此，¬q是假命题，¬p和q都是真命题．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 9．已知命题p：∃x∈N*，x3－4x＝0，命题q：所有能被4整除的数都是偶数，则(　　) A．p是存在量词命题，是真命题 B．p是存在量词命题，是假命题 C．q是全称量词命题，是真命题 D．q是全称量词命题，是假命题 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)＝0，又x∈N*，故当x＝2时，等式成立，故命题p是存在量词命题，是真命题；能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题q是全称量词命题，是真命题．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 10．下列命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋1≥2x B．∃x∈R，2x>x3 C．若a∈R，则“a>1”是“<1”的充要条件 D．若a∈R，则“a－2是无理数”是“a是无理数”的充要条件 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：因为x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以∀x∈R，x2＋1≥2x，故A正确；取x＝1，则2x>x3，所以∃x∈R，2x>x3，故B正确；当a<0时，<1显然成立，故C错误；因为2是有理数，所以“a－2是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 11．(2026·延边模拟)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x2＝1，则x＝1 B．若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若mn为无理数，则m，n均为无理数 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 解析：对于A，若x＝1，则x2＝1，所以A符合题意；对于B，若方程x2－2x＋a＝0有实根，则需满足Δ＝4－4a≥0，即a≤1，可推出a<2，故B符合题意；对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意；对于D，若m＝n＝，则mn为有理数，故D不符合题意．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 12．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”) 答案：充分不必要 解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以由m<推出一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，故充分性成立，由一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解推不出m<，故必要性不成立；所以“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 13．(2026·广安模拟)若“∃x∈<a”为假命题，则实数a的最大值为________． 答案：1 解析：若“∃x∈<a”为假命题，则“∀x∈≥a”为真命题，又∈[1，2]，所以1≥a，即a≤1，a的最大值为1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 14．已知集合A＝{x|x>3}，集合B＝{x|x>a}，若“x∈A”是 “x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，3] 解析：因为“x∈A”是 “x∈B”的充分条件，所以A⊆B，所以a≤3. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 15．(5分)(2026·衡阳模拟)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a>4 D．a<4 答案：C 解析：由x2－a≤0可得a≥x2，当x∈[1，2]时，(x2)max＝4，所以a≥4，则a的取值范围为A＝{a|a≥4}，满足其一个充分不必要条件的集合为B，则B为A的真子集，故其一个充分不必要条件是a>4.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 16.(5分)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________． 答案：(－∞，－2] 解析：因为命题p为真命题，所以a≤0；因为命题q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.因为命题p，q均为真命题，所以a≤－2.即实数a的取值范围为(－∞，－2]. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 $