第二节排列与组合课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“排列与组合”专题，依据高考评价体系梳理了概念、公式、性质及实际应用三大考查维度，通过近五年真题分析明确有限制条件排列、分组分配等高频考点占比，归纳相邻/不相邻问题、至少/至多问题等常考题型，构建完整知识与解题体系。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，如结合2023年全国乙卷“选读课外读物”题，示范“先选后排+分类讨论”突破综合应用，培养学生数学思维与模型意识。通过“十种解题技巧”和“易错点辨析”，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此精准规划复习，提升备考效率。

第二节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 排列与组合 【目标要求】　1.通过实例,理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题. 1.两个概念 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照_______________________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_____________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. [微点清]　元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合. 一定的顺序排成一列 作为一组 2.两个公式 (1)排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=.规定0!=_______________.(这里m,n∈N*,并且m≤n) (2)组合数公式 ===.规定=_____________.(这里m,n∈N*,并且m≤n) 1 1 [微点清]　①排列数与组合数之间的联系为=(n,m∈N*,m≤ n).②两种形式分别为连乘积形式和阶乘形式,前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证. 3.排列数与组合数的性质 (1)=;(2)=; (3)=+;(4)=n. 1.排列数、组合数常用公式 (1)=(n-m+1). (2)=n. (3)(n+1)!-n!=n·n!. (4)k=n. (5)++…++=. 2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反,等价转化. 小|题|快|练 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.(　　) (2)若组合数公式=,则x=m成立.(　　) 由于两个数相除与顺序有关,所以是排列问题,故错误. 解析 若组合数公式=,则x=m或x+m=n. 解析 (3)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题. (　　) (4)=n(n-1)(n-2)…(n-m).(　　) 由于从三个元素中取两个元素与顺序无关,所以是组合问题,故正确. 解析 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1),故错误. 解析 2.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.3×4×5= B.+= C.若=,则x=3 D.+++=64 3×4×5=,故A正确;+=2=2×=20,==15,故+≠,故B错误;=,则x=2x-2或x+2x-2=10,解得x=2或x=4,故C错误;+++=+++=1+++7=64,故D正确.故选AD. 解析 3.(人A选三P27T13改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女生都有的选法种数是(　　) A.18 B.24 C.30 D.36 解析 4.现有6位同学排成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有_____________种. 先把甲、乙二人捆绑在一起,再把甲、乙看成一个整体和其他4人进行全排列,故有=240种排法. 解析 240 5.(人A选三P37T1(3))安排6名歌手演出顺序时,要求某歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,不同排法的种数是_____________. 先考虑某歌手的位置不是第一个出场,也不是最后一个出场,则该歌手有4个位置可以选,共有=4种结果,剩下5人在5个不同位置,共有=120种结果,所以不同安排方法有=4×120=480(种). 解析 480 【例1】　(1)(2026·广州模拟)3个男同学和3个女同学排成一列,进行远足拉练.要求排头和排尾必须是男同学,则不同的排法种数为(　　) A.36 B.108 C.120 D.144 考点一 排列问题 总共有3个男同学,排头必须是男同学,所以排头的选择有=3种,所以排尾只能从剩余2个男同学选取,有=2种,最后剩余4人安排在中间4个位置,有=4!=24种,所以一共有3×2×24=144种.故选D. 解析 (2)某学校在读书节活动中,甲、乙、丙3个班各有2名同学获奖,现将这6人站成一排拍照,其中甲班的2名同学相邻,且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有(　　) A.36种 B.72种 C.144种 D.288种 第一步,将甲班的2人捆绑,连同丙班的2人作全排列,有=12种站法;第二步,将乙班的2人插入前后4个空档,有=12种站法.根据分步乘法计数原理,不同的站法共有12×12=144种.故选C. 解析 (3)现将2本相同的数学书、3本相同的物理书、1本化学书摆放成一排放在一个单层的书架上,则不同的放法有_____________种. 将6本书全排列有6!=720种情况,因2本数学书,3本物理书相同,则每种情况重复了2!3!=2×1×3×2×1=12次,则满足题意的放法有: ==60. 解析 60 对于有限制条件的排列问题,分析问题时,有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时,一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. 【训练1】　(2026·石家庄模拟)(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是(　　) A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则不同的排法有12种 B.若甲、乙不相邻,则不同的排法有72种 C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,则不同的排法有72种 D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,则不同的排法有24种 对于A,因为甲、乙、丙有序排列,所以不同的排法共有=20(种),故A不正确.对于B,因为甲、乙不相邻,所以先排丙、丁、戊,有种排法,再将甲、乙插入丙丁戊之间的4个空隙中,有种排法.所以不同的排法共有=72(种),故B正确.对于C,甲、乙都不在两端,则 甲、乙有种排法,剩余三人有种排法,共=36(种)排法;甲在 解析 最右端,乙在最左端,有=6(种)排法;甲在最右端,乙不在最左端,有=18(种)排法;甲不在最右端,乙在最左端,有=18(种)排法.所以不同的排法共有36+6+18+18=78(种),故C不正确.对于D,因为 甲、乙捆绑且甲、乙有序,所以不同的排法有=24(种),故D正确.综上,选BD. 解析 【例2】　(1)集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为(　　) A.12 B.11 C.8 D.6 考点二 组合问题 个位数取自集合A,十位数取自集合B,共有2×3=6个,个位数取自集合B,十位数取自集合A,共有3×2=6个,这两类中重复的有数字22,故所有样本点的个数为6+6-1=11.故选B. 解析 (2)甲盒子中有大小材质完全相同的5个红球和3个蓝球;乙盒子中有大小材质完全相同的6个红球和2个蓝球.若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球,则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有(　　) A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 4个球中恰有3个红球,可分为两种情况:第一种:甲盒取出1红1蓝、乙盒取出2红,此时有=225;第二种:甲盒取出2红、乙盒取出1红1蓝,此时有=120;故共有225+120=345种不同的取法.故选D. 解析 (3)从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球,则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为_____________.(用数字作答) 一次性摸取3个球,至少有2个黄球分为两种情况:情况一:两个黄球,一个红球,有=12种不同方法;情况二:三个黄球,=1;共有13种方法. 解析 13 组合问题常有以下两类题型 1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. 2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与遗漏,用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 【训练2】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×=40(名),高中部共抽取60×=20(名),根据组合数公式和分步乘法计数原理得,不同的抽样结果共有种.故选D. 解析 (2)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工,从该部门选3人组成一个项目组,要求该项目组男、女员工都有,则不同的选法种数为 (　　) A.84 B.90 C.96 D.100 解法一:直接法:选取的员工中可以有:1男2女,2男1女两类情况,所以不同的选法种数为:×+×=6×6+15×4=36+60=96. 解法二:间接法:从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为--=120-20-4=96.故选C. 解析 考向❶ 先选后排问题 【例3】　某班班会准备从含甲、乙的7人中选4人发言,要求甲、乙两人至少有一人发言,且若甲、乙都发言,则他们发言顺序不能相邻,那么不同的发言顺序有(　　) A.720种 B.520种 C.360种 D.600种 考点三 排列与组合的综合应用 分两种情况:①若甲、乙只有一人参加,再从剩余的5个人中选出3 人,将选出的4人进行全排列,则共有××=480种发言顺序;②若甲、乙都参加,再从剩余的5个人中选出2人,选出的4人在排列时,因为甲、乙不相邻,所以先将另外两人排列,再将甲、乙插空,则共有××=120种发言顺序.根据分类加法计数原理可得,共有480+120=600种发言顺序.故选D. 解析 求解此类问题一般采用先选后排的方法,选人时需分两种情况,即甲、乙只有一人发言或甲、乙都发言.若甲、乙都发言,将选出的4人进行排列时,需将甲、乙插空. 考向❷ 分组、分配问题 【例4】　(1)甲、乙、丙三位教师指导六名学生a,b,c,d,e,f参加全国高中数学联赛,若每位教师至少指导一名学生,其中甲指导三名学生,则分配方案的种数为(　　) A.90 B.120 C.150 D.240 第一步,从六名学生中选3名,分配给甲指导,有=20种不同的方法,第二步,将剩余3名学生分成两组,分配给乙、丙指导,有()·=3×2=6种不同的方法,根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有20×6=120种.故选B. 解析 (2)某市开展医疗下乡活动,有甲、乙、丙等六名医生被随机地分到A,B,C,D四个不同的乡镇医院,且每个乡镇医院至少分到一名医生,共有多少种不同分法(　　) A.1 080 B.1 560 C.2 640 D.3 960 依题意,可分为两类情况:第一类,将六名医生按照3∶1∶1∶1分配到A,B,C,D四个不同的乡镇医院,有×=480种分法;第二类,将六名医生按照2∶2∶1∶1分配到A,B,C,D四个不同的乡镇医院,有×=1 080种分法.故由分类加法计数原理,共有480+ 1 080=1 560种不同分法.故选B. 解析 (3)学校开展班级轮值活动,高二某班有A,B,C,D四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务,每个小组负责一个地点,每个地点至少有一个小组负责,且A小组不去甲地点,则不同的任务分配方法种数为_____________.(用数字作答) 24 若甲地点去一个小组,从B,C,D组选一组去甲地点,有=3种,再将剩下的3个小组分配到剩下的2个地点,且每个地点至少有1个小组,有=6种,此时共有3×6=18种;若甲地点去两个小组,从B,C,D组选两个小组去甲地点,有=3种,将剩下的2个小组分配到剩下的2个地点有=2种,此时共有3×2=6种.综上,不同的任务分配方法种数为18+6=24种. 解析 解决分组、分配问题的策略 1.对于整体均分,分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数. 2.对于部分均分,若有m组元素个数相等,且地位相同,则分组时应除以. A公司只有甲去,不同的安排方法有种;A公司除了甲还有1个人去,不同的安排方法有种,故不同的安排方法有+=30种.故选B. 解析 (2)(2026·邯郸模拟)某校大一新生A,B,C,D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社.已知这4名大一新生每人只加入了1个社团,则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有(　　) A.21种 B.30种 C.42种 D.60种 4名大一新生分成2个组,一组1人另一组3人或2个组各2人,有种情况.3个社团中选择2个社团,有种情况.把2个组分配给2个社团,有种情况.由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有××=42种.故选C. 解析 相同元素的分配问题解决方法——隔板法 将所有相同元素视为小球,紧挨着成一行放置,在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此方法称之为隔板法. 【典例】　(2026·南京模拟)20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的放法共有(　　) A.120种　　　　B.240种 C.360种　　 D.720种 先在编号为2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可,共有=120(种)放法. 解析 【微练】　从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿者服务,若每个班级至少有一名志愿者,则共有_____________种不同的选法.(用数字作答) 20 由题意,从4个班级的学生中选出7名志愿者,每个班级至少有一名志愿者,相当于7个球排成一排,中间有6个空隙,然后插3块隔板把它们分成4份,共有=20(种)不同的选法. 解析 1.(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 因为每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,所以甲场馆从6人中挑一人有=6种结果;乙场馆从余下的5人中挑2人有=10种结果;余下的3人去丙场馆.故共有6×10=60种安排方法.故选C. 解析 2.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解法一(直接法):第一种情况:甲站在最中间,丙丁站在甲的左边或右边有2种选择,然后丙丁两个内部全排,乙戊在剩下的两个位置全排列,有2=8种站法.第二种情况:甲站在左二或右二有2种选择,以甲站左二位置为例,丙丁在甲的右侧三个位置中相邻有2种选择,然后丙丁两个内部全排列,乙戊在剩下的两个位置全排列,有2×2=16种站法.所以甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式共有8+16=24种.故选B. 解析 解法二:丙和丁相邻共有种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有-=24种站法,故选B. 解析 3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 B. 60种 C.120种 D. 240种 第一步:甲、乙两位同学从6种课外读物中选出1种相同的有=6种选法;第二步:从剩下的5种课外读物中选2种分给甲、乙有=20种选法.所以符合要求的选法共有6×20=120种,故选C. 解析 4.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有_____________种(用数字作答). 选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有=16种选课方案;选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有+=48种选课方案.因此不同的选课方案共有16+48=64种. 解析 64 选出的3人中有2名男同学、1名女同学的方法有=18(种),选出的3人中有1名男同学、2名女同学的方法有=12(种),故3名学生中男、女生都有的选法有18+12=30(种). 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❶ ❷ (1)某校5名同学到A、B、C三家公司实习,每名同学只能去1家公司,每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司,则不同的安排方法共有(　　) A.18种 B.30种 C.42种 D.60种 $