第一节　集合课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦集合专题，覆盖元素特性、集合关系、基本运算等高考核心考点，依据高考评价体系分析元素互异性、子集关系、交并补运算等高频考点权重，归纳集合相等、参数求解、子集个数等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融合与应试技巧指导，如结合2023新高考Ⅱ卷、2024新高考Ⅰ卷等真题，通过元素互异性检验、空集分类讨论、数轴法运算等方法突破考点，培养学生的数学思维与抽象能力。设“学霸笔记”归纳易错点，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统教学，提升复习效率。

第一节　集合 1 知识清单 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：________、________、________． (2)元素与集合的关系：①属于，记为________；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：________、________、Venn图法． (4)常见数集的记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ________ ________ ______ ________ ________ 确定性 互异性 无序性 ∈ 列举法 描述法 N N*(或N＋) Z Q R 2 2.集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) ________ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 ________ 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ________ 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅ A⊆B或B⊇A A B或B A A＝B 3 3.集合的基本运算 运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法 并集 ________ ________ 交集 ________ ________ 补集 ________ ________ {x|x∈A，或x∈B} A∪B {x|x∈A，且x∈B} A∩B {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 4 【常用结论】 1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 2．A⊆B，A＝A，A＝B，∁UB⊆∁UA以及∁U A∩(∁UB)＝∅两两等价． 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合．(　　) (2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}．(　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　) (4){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) √ × × × 6 2．已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　) A．1∉M B．－1⊆M C．{－1，1}⊆M D．{－1，1}∈M 答案：C 解析：集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，故A错误；－1∈M，元素与集合之间不能用符号⊆，故B错误；根据子集的定义，有{－1，1}⊆M，故C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用符号∈，故D错误．故选C. 7 3．(人教A版必修一P14T4改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A＝________，(∁RA)＝________． 答案：{x|x≤2，或x≥10}　{x|2<x<3，或7≤x<10} 解析：∵A∪B＝{x|2<x<10}，∁RA＝{x|x<3，或x≥7}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 8 4．(人教A版必修一P14T6改编)已知全集U＝＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝________． 答案：{0，2，4，6，8，9，10} 解析：∵全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}， ∴A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}， ∵A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}， ∴集合A中含有元素1，3，5，7，集合B中不含元素1，3，5，7， ∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}． 9 命题点一　集合的含义与表示 例1 (1)(2026·宣城期末)已知集合A＝{0，4，a2}，B＝{0，4，3a－2}，若A＝B，则a的值是(　　) A．1或2 B．－1或0 C．1 D．－1 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________． C 0或1 10 解析：(1)由题设a2＝3a－2⇒(a－1)(a－2)＝0，可得a＝1或a＝2，当a＝1时，a2＝3a－2＝1，满足题设；当a＝2时，a2＝3a－2＝4，不符合集合元素的互异性，所以a＝1.故选C. (2)因为集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则当a＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝，即集合A＝，则a＝0；当a≠0时，由Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1，方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即集合A＝{1}，则a＝1.综上所述，a＝0或a＝1. 11 学霸笔记：集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利地找到解题的切入点；另一方面当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确． 12 　跟踪训练　(1)(2026·沧州模拟)已知集合A＝{x|x3－8<0}，则(　　) A．1∈A B．2∈A C．0∉A D．{0，1，2}⊆A (2)已知集合A＝{1，|a－1|，a＋2}，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－1 B．0 C．3 D．－1或3 答案：A　 答案：C 13 解析：(1)由题可知集合A＝{x|x3－8<0}＝{x|x<2}，所以0∈A，1∈A，2∉A，故A正确，BC错误；集合{0，1，2}不是集合A的子集，故D错误．故选A. (2)因为2∈A，所以分为以下两种情况讨论．①|a－1|＝2⇒a＝3或－1，当a＝3时，集合A＝{1，2，5}，满足题意；当a＝－1时，集合A＝{1，2，1}，不满足集合的互异性，故舍去．②a＋2＝2⇒a＝0，此时集合A＝{1，1，2}，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，a＝3.故选C. 14 命题点二　集合间的基本关系 例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 答案：B 解析：因为A⊆B，则有若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述a＝1. 15 真题探源　(源自人教A版必修一P9T5(2))已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|1<x<2}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 答案：[2，＋∞) 解析：如图，由图可知a≥2. 16 学霸笔记： (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系． (2)根据集合间的关系求参数值(或范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法求解． 易错提醒：在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性． 17 命题点三　集合的基本运算 考向1　集合的运算 例3 (1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 答案：C　 解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，∁UA中的元素个数为5.故选C. 18 (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A＝(　　)  A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 答案：A　 解析：因为A＝{x<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}．故选A. 19 (3)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} 答案：C 解析：由题意得M∪N＝{x|－3<x<4}．故选C. 20 　真题探源　 (1)(源自人教A版必修一P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 ∁UA，∁UB. (2)(源自人教A版必修一P14T1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A 答案：(1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}． (2)因为A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x<4}． 21 学霸笔记：(1)集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可以使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴和Venn图． 22 例4 (2026·新余模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A＝B，则实数a＝(　　) A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1 答案：A 解析：由A∩B＝B，可得B⊆A.若B＝∅，则a＝0成立；若B≠∅，又A＝{1，2}，则＝1或＝2，则a＝2或1.综上可得a＝0或1或2.故选A. 23 学霸笔记：利用结论A⊆B⇔A＝A⇔A＝B对两个集合间的关系进行转化是解题的关键． 24 跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P35T9)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 答案：若A∪B＝A，则B⊆A， ∴a＋2＝3或a＋2＝a2，解得a＝－1或1或2. ∵a＝－1或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去， ∴a＝2，∴存在实数a＝2使得A∪B＝A. 25 1．(2026·蚌埠模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则(∁UA)∩B＝(　　) A．{1} B．{3，5} C．{1，3，5} D．{1，3，4，5} 答案：B 解析：因为集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，所以∁UA＝{3，4，5}，(∁UA)∩B＝{3，5}．故选B. 26 2．已知集合A，B满足A∩B＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3，4}，若4∉A，则必有(　　) A．3∈A B．3∉A C．4∈B D．4∉B 答案：C 解析：因为A∩B＝{1，2}，所以必有1，2∈A，且1，2∈B.又A∪B＝{1，2，3，4}，则3和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素．若4∉A，则必有4∈B.故选C. 27 3．(2026·牡丹江模拟)已知集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a＝(　　) A．－3或－1 B．－3 C．1 D．3 答案：B 解析：因为集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a－2＝－3或a2＋4a＝－3，所以a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，a－2＝a2＋4a不合题意，舍去；当a＝－3时，A＝{－5，－3，12}符合题意．故选B. 28 4．(2026·张家口一模)设集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{y|y＝x3，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0} C．{－1，0，1} D．{0} 答案：C 解析：由题意得B＝{y|y＝x3，x∈A}＝{－8，－1，0，1}，所以A∩B＝{－1，0，1}．故选C. 29 5．(2026·中山模拟)已知集合A＝{x|－3<x≤2}，B＝{x|－2≤x<3}，则A∪B＝(　　) A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|－2<x≤3} D．{x|－3<x<3} 答案：D 解析：集合A＝{x|－3<x≤2}，B＝{x|－2≤x<3}，则A∪B＝{x|－3<x<3}．故选D. 30 6．(2026·潍坊二模)已知集合A＝{x∈N|x3<27}，则A的子集的个数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：B 解析：由x3<27，解得x<3，所以A＝{x∈N|x3<27}＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8(个)．故选B. 31 7．(2026·许昌模拟)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝－x＋1，x<0}，则(　　) A．－2∈A∪B B．{－2，－1}⊆A∪B C．{1}⊆A∩B D．2∈A∩B 答案：D 解析：∵B＝{y|y＝－x＋1，x<0}＝{y|y>1}，又∵A＝{－1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}，A∪B＝{x|x>1}∪{－1，0，1}，则－2∉A∪B，{－2，－1}不包含于A∪B，{1}不包含于A∩B，2∈A∩B.故选D. 32 8．(2026·驻马店模拟)已知集合M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|a<x<4}，若M∪N＝{x|－3<x<4}，则实数a的取值范围为(　　) A．[－3，2) B．(－3，2] C．[－3，2] D．[2，4) 答案：A 解析：因为M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|a<x<4}，M∪N＝{x|－3<x<4}，所以－3≤a<2.故选A. 33 9．若集合A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠∅，则n的值可以是(　　) A．－1　　　B．0 C．1　　　D．2 答案：ABD 解析：因为A∩B≠∅，则n＝2或n＝n2或n2＝1，由元素的互异性，可得n≠1，所以n的值可以是－1，0，2.故选ABD. 34 10．(2026·开封二模)已知集合A＝{x|－3<2x－1<3}，∁RB⊆A，则正确的是(　　) A．－1∉B B．2∈B C．－1∈A∪B D．2∈A∩B 答案：BC 35 解析：A＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1<x<2}，对于A，若－1∉B，则－1∈∁RB，则根据∁RB⊆A有－1∈A，显然矛盾，故A错误；对于B，假设2∉B，则2∈∁RB，根据∁RB⊆A有2∈A，显然矛盾，则2∈B，故B正确；对于C，由A知，－1∈B，则－1∈A∪B，故C正确；对于D，显然2∉A，必有2∉A∩B，故D错误．故选BC. 36 11．(2026·萍乡二模)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3，5}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，4}，则下列说法正确的为(　　) A．4∈A B．6∈A∪B C．集合A可能是{1，3，5，6} D．(∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，4，6} 答案：BCD 37 解析：由题意知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{2，4}，所以A∪B＝{1，3，5，6}，对于A，因为A∪B＝{1，3，5，6}，且4∉A∪B，所以4∉A，故A错误；对于B，由于A∪B＝{1，3，5，6}，所以6∈A∪B，故B正确；对于C，已知A∩B＝{3，5}，这意味着3，5既属于A又属于B，若A＝{1，3，5，6}，当B＝{3，5}时，∁U(A∪B)＝{2，4}，∁UA＝{2，4}，∁UB＝{1，2，4，6}，此时满足所有已知条件，故C正确；对于D，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，又A∩B＝{3，5}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{1，2，4，6}，故D正确．故选BCD. 38 12．已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{－2，0，1，2}，则A∩B＝________． 答案：{0，1} 解析：因为A＝{x|－2<x<2}，B＝{－2，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}． 39 13．(2026·温州模拟)设集合M＝{1，2，3}，则M的非空子集个数为________． 答案：7 解析：集合M＝{1，2，3}，则M的子集个数为23＝8，所以M的非空子集个数为23－1＝7. 40 14．已知a，b∈R，集合A{1，a＋b，a}＝，则a2 024＋b2 025＝________． 答案：2 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，又b＝1，所以a＝－1.故a2 024＋b2 025＝(－1)2 024＋12 025＝1＋1＝2. 41 15．(5分)已知集合A＝{x∈N|(x－2)(x－3)≤0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∪B＝A，则a的取值构成的集合为(　　) A．{0} B．{0，1} C． D． 答案：D 42 解析：由题得A＝{2，3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A.当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得a＝1或a＝.综上a的取值构成的集合为.故选D. 43 16.(5分)(2026·河北多校联考)已知集合A＝{(x，y)|0<x<2，0≤y≤1}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝r2}，若A∩B内有无穷个元素，则r的取值范围是________． 答案：∪ 44 解析：如图所示，注意到集合A为图中的实心矩形，不包含左右两边，集合B为圆周， 45 B表示圆心坐标为(1，2)，半径为|r|的圆或点(1，2)，当r＝0时显然题设不成立，设圆心B到直线y＝1的距离为d1，圆心与O(0，0)的距离为d2，由题意知要使得A∩B内有无穷个元素，则圆必与矩形有无穷个公共点，故应有d1<|r|<d2，易知d1＝1，d2＝，故由d1<∪. 46 $