第一节 直线与方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与方程”专题，依据新课标要求梳理了直线的倾斜角与斜率、直线方程的五种形式及综合应用等核心考点，虽近年未单独考查但作为解析几何基础至关重要，归纳了斜率范围求解、直线方程求法、过定点及面积最值等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题改编+方法归纳+素养培养”，如通过直线过定点证明、面积最值的均值不等式应用等典型题，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。学霸笔记总结斜率与倾斜角转化技巧，强调分类讨论（如截距为0与否），帮助学生掌握答题方法，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第一节　直线与方程 1 新课标要求 真题分布 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 近几年未 单独考查 2 知识清单 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，我们规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l的倾斜角的取值范围为______________． 向上的方向 平行或重合 0°≤α＜180° 3 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝__________，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____________． 正切值 tan α 4 剖析　当α＝时，斜率不存在． 当k＝0时，α＝0； 当k＞0时，α为锐角，且α随k的增大而增大； 当k＜0时，α为钝角，且α随k的增大而增大． 5 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ________________ 不含垂直于x轴的直线 两点式   ________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式   ________________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式   ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b ＝(x1≠x2，y1≠y2) ＝1(ab≠0) Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 6 剖析　 (1)截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0，“截距”不是“距离”． (2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直的直线． 7 【常用结论】 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的一个方向向量是a＝(－B，A)，当B≠0时，其斜率为k＝－；直线y＝kx＋b的一个方向向量是a＝(1，k)，即斜率为k；直线l的一个方向向量是a＝(x，y)，其斜率为k＝. 8 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角与斜率.(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)截距就是距离．(　　) × × √ × 9 2．(人教A版选修一P55练习T5改编)经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k＝(　　) A．－2 　 　B．2 C．－　　D． 答案：B 解析：由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为m，则m＝＝2，直线AB的方向向量为(1，2)，所以k＝2. 10 3．(人教A版选修一P57习题T1改编)已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． 答案：45°或135° 解析：由tan α＝±1得α＝45°或135°. 11 4．(人教A版选修一P64T3(1)改编)过点(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为________________. 答案：5x－3y＋15＝0 解析：根据题意要求直线经过点(0，5)，即该直线在y轴的截距为5，又直线在两坐标轴上的截距之和为2，则其在x轴上截距为－3，则所求的方程为＝1，即5x－3y＋15＝0. 12 命题点一　直线的斜率与倾斜角 例1 (1)已知A(2m2，1)，B(m3＋3m，m＋1)(m≠0)两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A． B．[2，＋∞) C． D．(0，2] 答案：C　 13 解析：直线l的斜率k＝＝.因为m2－2m＋3＝(m－1)2＋2≥2，所以0<，即直线l的斜率的取值范围是(0，].故选C. 14 (2)(2026·苏州模拟)设α，β∈[0，π)，且tan α＝－3，tan β＝2，点A(－1，4)，B(3，2)，过点P(1，－2)的直线l与线段AB始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，β]∪[α，π) B．[α，β] C．∪ D．[β，α] 答案：D 15 解析：由点A(－1，4)，B(3，2)过点P(1，－2)的直线l与线段AB始终有交点，如图所示，可得kPA＝＝－3，kPB＝＝2， 设直线l的倾斜角为θ，可得tan θ≥2且tan θ≤－3，又因为α，β∈[0，π)，且tan α＝－3，tan β＝2，所以β≤θ≤或<θ≤α，所以直线l的倾斜角的取值范围是[β，α].故选D. 16 学霸笔记：(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的． (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在． 17 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P58习题T7)过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：C　 解析：根据经过两点的直线的斜率坐标公式及题意，得＝tan 45°＝1，解得m＝－1或m＝－2.当m＝－1时，两点重合；当m＝－2时，满足条件．故m＝－2.故选C. 18 (2)(衔接·人教A版选修一P58T8)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围为____________，斜率k的取值范围为____________． 答案：　[－1，1] 19 解析：根据题意，如图，直线l经过点P(0，－1)与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率必定存在．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0.若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，A，B两点在直线l的两侧或直线l上，则有(k＋1)(2k－2)≤0，解得－1≤k≤1，即直线l的斜率k的取值范围是[－1，1]；设直线l的倾斜角为α，则有－1≤tan α≤1，则其倾斜角的取值范围为，π)． 20 命题点二　直线的方程 例2 (1)过点P(1，2)且直线的方向向量为a＝(－1，2)的直线方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0 答案：A　 解析：由直线的方向向量为a＝(－1，2)，可得直线的斜率为k＝－2，又由直线过点P(1，2)，由点斜式方程得y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A. 21 (2)过点(1，－1)和(－3，1)的直线的一般式方程为(　　) A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＋4＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋2y＋1＝0 答案：D　 解析：根据直线的两点式方程公式可得＝，化简可得x＋2y＋1＝0.故选D. 22 (3)直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线l的方程为______________． 答案：x－y＝0或x－y＋－1＝0 解析：若l过点P(1，)，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线l过原点满足，此时直线l的方程为x－y＝0；设直线l：＝1，将P(1，)代入方程，解得a＝1－，故直线l的方程为x－y＋－1＝0.故直线l的方程为x－y＝0或x－y＋－1＝0. 23 学霸笔记： (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式； (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 24 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P67T4)已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经过两边AB和AC的中点的直线方程为________________. (2)(衔接·人教A版选修一P67T7)经过P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______________________． x＋2y－9＝0 x＋y－5＝0或3x－2y＝0 25 解析：(1)∵A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，∴AB和AC的中点坐标分别为(6，)，(1，4)，∴经过两边AB和AC中点的直线的方程为y－4＝(x－1)，即x＋2y－9＝0. (2)若直线的截距不为0，可设为＝1，把P(2，3)代入得＝1，a＝5，直线方程为x＋y－5＝0；若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P(2，3)代入得3＝2k，k＝，直线方程为3x－2y＝0.∴所求直线方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0. 26 命题点三　直线方程的综合应用 例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点． 答案：证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)． 27 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值． 答案：依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A(－，0)，B(0，1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0. 故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)＝(4k＋＋4)≥(2 ＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时等号成立．故S的最小值为4. 28 学霸笔记： (1)直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点． (2)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求最值． 29 跟踪训练　(1)(2026·杭州模拟)若AB<0，BC<0，则直线Ax－By＋C＝0一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A　 解析：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为y＝x＋，由AB<0，BC<0可得<0，<0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第一象限．故选A. 30 (2)已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y＝ax＋2a将△ABC分割为面积相等的两部分，则实数a的值是________． 答案：　 解析：y＝ax＋2a＝a(x＋2)，∵x＋2＝0，即x＝－2时，y＝0，∴y＝ax＋2a过定点(－2，0)，即点A(－2，0)，又直线y＝ax＋2a将△ABC分割为面积相等的两部分，∴直线y＝ax＋2a必须过BC的中点(1，1)，∴a＋2a＝1，解得a＝. 31 (3)已知直线l：(2k＋3)x－(k－1)y＋3k＋7＝0(k∈R). ①求直线l过定点P的坐标； ②若直线l不经过第四象限，求k的取值范围． 答案：①原式化为k(2x－y＋3)＋3x＋y＋7＝0， 令解得所以直线l过定点P(－2，－1)． ②方法一　当k－1＝0时，即k＝1，得直线l：x＝－2，符合题意； 当k≠1时，y＝x＋，令解得k≤－或k>1， 故k的取值范围为 32 方法二　当k－1＝0时，即k＝1，得直线l：x＝－2，符合题意； 当k≠1时，方程可化为y＝x＋， kOP＝＝，由数形结合可知，解得k≤－或k>1， 故k的取值范围为 33 1．直线 y＋7＝0的倾斜角为(　　) A．0° B．30° C．45° D．60° 答案：D 解析：设直线的倾斜角为θ，根据直线方程y＋7＝0，可得其斜率为，所以tan θ＝，又θ∈[0°，180°)，所以θ＝60°，即直线y＋7＝0的倾斜角为60°.故选D. 34 2．已知直线l的方程为＝1，则直线l在x轴上的截距为(　　) A．－11 B．－5 C．5 D．11 答案：C 解析：根据直线的截距式方程可知，直线l在x轴上的截距为5.故选C. 35 3．若直线2x－3y＋a＝0在y轴上的截距为－4，则a＝(　　) A．8 B．12 C．－8 D．－12 答案：D 解析：因为直线2x－3y＋a＝0在y轴上的截距为－4，所以直线过点(0，－4)，所以2×0－3×(－4)＋a＝0，解得a＝－12.故选D. 36 4．直线l经过点，倾斜角是直线x＝－1的倾斜角的，则直线l的方程为(　　) A．x－＝0 B．x－y＋＝0 C．x－y＋3＝0 D．x＋＝0 答案：A 解析：因为直线x＝－1的倾斜角为90°，所以直线l的方程为y－0＝tan 30°，即x－＝0.故选A. 37 5．已知直线ax＋y＋6＝0的倾斜角为60°，则实数a＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：直线ax＋y＋6＝0可化为y＝－ax－6，可知直线的斜率为－a.所以－a＝tan 60°＝，解得a＝－.故选A. 38 6．若A(1，0)，B(－1，1)，C(a，b)三点共线，则(　　) A．a＋2b－1＝0 B．a＋2b＋1＝0 C．a－2b－1＝0 D．a－2b＋1＝0 答案：A 解析：直线AB的斜率k＝，直线AB的方程为y＝－(x－1)，即x＋2y－1＝0，由点A，B，C共线，得C(a，b)在直线AB上，所以a＋2b－1＝0.故选A. 39 7．直线l经过点A(1，2)，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　) A．－1<k< B．k>1或k< C．k>或k<1 D．k>或k<－1 答案：D 解析：依题意，直线l的方程为y＝k(x－1)＋2，由y＝0，得x＝1－，因此－3<1－<3，即－2<<4，解得k<－1，所以斜率k的取值范围是k<－1或k>.故选D. 40 8．已知直线l过点(1，－2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0或2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y－3＝0或2x＋y＝0 答案：D 41 解析：方法一　当直线过原点时，斜率为k＝＝－2，则直线方程为2x＋y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＝1，代入点(1，－2)，得＝1，解得a＝3，故直线方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程为x－y－3＝0或2x＋y＝0. 方法二　因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线的斜率为1.当直线过原点时，直线斜率为k＝－2，则直线方程为2x＋y＝0；当直线斜率为1时，直线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.综上所述，直线的方程为x－y－3＝0或2x＋y＝0.故选D. 42 9．下列说法正确的有(　　) A．过点(2，4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－2＝0 B．直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限 C．过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 答案：ABC 43 解析：对于A，直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为x－2＝0，故A正确；对于B，直线2x－y＋5＝0的斜率为2，在y轴上的截距为5，可得直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限，故B正确；对于C，过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y－(－1)＝－(x－2)，故C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，故D错误．故选ABC. 44 10．如果AC>0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：ABC 解析：由直线Ax＋By＋C＝0，可得y＝－，因为AC>0，BC<0，所以AB<0，则直线的斜率k＝－>0，且－>0，所以直线经过第一、二、三象限．故选ABC. 45 11．若经过点(2，1)的直线l在x，y轴上的截距之比为2∶1，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 答案：4 解析：依题意，直线l不过原点，设l的方程为＝1，由直线l过点(2，1)，得＝1，解得a＝2，直线l的方程为＝1，则l在x，y轴上的截距分别为4，2，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 46 12．设点A(2，1)，B(－2，3)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为________． 答案：(－1，2) 解析：由ax＋y＋1＝0可知直线的斜率为－a，且经过定点P(0，－1)，由点A(2，1)，B(－2，3)可得直线PA，PB的斜率分别为kPA＝＝－2，作图如下，由图知，要使直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，需使kPB<－a<kPA，解得－1<a<2. 47 13．(13分)已知△ABC的顶点坐标是A(2，0)，B(6，－2)，C(－2，3)，M为AB的中点． (1)求中线CM的方程；(用一般式表示) 答案：因为A(2，0)，B(6，－2)，所以M(4，－1)， 故CM的方程是，即2x＋3y－5＝0. 48 (2)求经过点B且在两坐标轴上截距相等的直线方程．(用一般式表示) 答案：由直线在坐标轴上截距相等，若直线过原点，设直线方程为y＝kx， 代入B(6，－2)，可得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即x＋3y＝0； 若直线不过原点，设直线方程为＝1，代入B(6，－2)，可得a＝4， 所以直线方程为＝1，即x＋y－4＝0. 综上，经过点B且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x＋y－4＝0或x＋3y＝0. 49 14．(15分)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R. (1)证明：直线l过定点A，并求出点A的坐标； 答案：证明：整理直线l的方程得(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0， 所以直线l过直线2x－y＋3＝0与3x＋y＋7＝0的交点， 联立方程组解得 所以直线l过定点A，点A的坐标为(－2，－1)． 50 (2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程． 答案：当截距为0时，直线l′的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当截距不为0时，设直线l′的方程为＝1， 则解得 直线l′的方程为＝1，即12x＋y＋25＝0， 故直线l′的方程为x－2y＝0或12x＋y＋25＝0. 51 15．(5分)已知直线l过点(0，4)，且与直线x－y＋4＝0及x轴围成等腰三角形，则l的方程为(　　) A．x＋y－4＝0或x－3y＋12＝0 B．x－3y＋12＝0或3x－＝0 C．x－y＋3＝0 D．x＋y－3＝0 答案：A 52 解析：如图，设A(0， 4)，直线x－y＋4＝0过A(0，4)和B. 53 ①当直线l为x＝0时，直线l、直线y＋4＝0与x轴围成的三角形是△AOB，不是等腰三角形，所以直线l的斜率存在．②当直线l的斜率为负时，设B关于y轴的对称点为C，当直线l过A，C两点时，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，又∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形，满足题意，因为OA＝4，OC＝，所以此时直线l的方程为x＋y－4＝0. 54 ③当直线l的斜率为正时，设直线l与x轴负半轴相交于点D，则AB＝BD，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得∠ADB＝，所以直线AD，也即直线l的斜率为，对应方程为x－3y＋12＝0.综上，直线l的方程为y－4＝0或x－3y＋12＝0.故选A. 55 $