第一节两个计数原理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两个计数原理”核心考点，依据高考评价体系明确理解原理意义、解决实际问题的考查要求，系统梳理分类加法与分步乘法原理的区别及应用基础，通过教材回顾与微点延伸归纳数字问题、涂色问题等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题改编+分类分步策略+核心素养培养”，如结合2024上海高考集合元素个数问题、椭圆方程计数实例，运用分类讨论和分步分析方法，培养学生的数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。特设易错点辨析与解题模板，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第一节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 两个计数原理 【目标要求】　1.通过实例,理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能够运用两个计数原理解决简单的实际问题. 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=_____________种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=_____________种不同的方法. m+n m×n 3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于:分类加法计数原理针对 “分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终. 1.分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类. 2.分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.(　　) (2)在分类加法计数原理中的每一种办法都可以完成这件事.(　　) 从书架上任取数学书、语文书各1本是分步问题,错误. 解析 (3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成. (　　) (4)在处理较为复杂的计数问题时,一定要先分类再分步.(　　) 有时候也可以先分步再进行分类.错误. 解析 2.(人A选三P11练习T3改编)已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法种数为(　　) A.16 B.13 C.12 D.10 将4个门编号为1,2,3,4,从1号门进入后,有3种出门的方式,共3种走 法,从2,3,4号门进入,同样各有3种走法,则不同的走法种数为4×3=12.故选C. 解析 3.(北师大选一P162习题5-1T1改编)在1,2,3,…,200中,被5除余1的数共有_____________个. 解析 40 4.用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成_____________个三位数. 用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成三位数的个数为4×5×5=100. 解析 100 5.(人A选三P5T1(1))一项工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同选法的种数是_____________. 因为一项工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,所以从中选出1人来完成这项工作,不同选法的种数是5+4=9. 解析 9 (1)(2026·南宁质检)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有(　　) A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 考点一 分类加法计数原理………………自练自悟 分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图),同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6. 解析 (2)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张,一共可以组成的币值有(　　) A.3种 B.6种 C.7种 D.8种 由题意得,三种币值取一张,共有3种取法,币值分别为10元、20元、50元;三种币值取两张,共有3种取法,币值分别为30元、60元、70元;三种币值全取,共有1种取法,币值为80元.故一共可以组成的币值种数是3+3+1=7.故选C. 解析 (3)椭圆+=1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4, 5,6,7},则这样的椭圆的个数为(　　) A.10 B.12 C.20 D.35 因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n,以m的值为标准分类,可分为四类:第一类,当m=5时,使m>n,n有4种选择;第二类,当m=4时,使m>n,n有3种选择;第三类,当m=3时,使m>n,n有2种选择;第四类,当m=2时,使m>n,n有1种选择.故符合条件的椭圆个数为4+3+2+1=10.故选A. 解析 (4)已知函数f(x)=x3-ax2+bx,其中a,b∈{0,1,2,3,4}.则使函数f(x)不存在极值的有序数对(a,b)的对数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 由题设f'(x)=x2-2ax+b,要使函数f(x)不存在极值,只需Δ=4a2-4b≤0,所以b≥a2,满足的有序数对为(0,0),(0,1),(1,1),(0,2),(1,2),(0,3),(1,3), (0,4),(1,4),(2,4),共10对.故选D. 解析 使用分类加法计数原理的关注点 1.根据题目特点恰当选择一个分类标准. 2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一 类, 并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法,不能重复. 3.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏. 【例1】　(多选题)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　) A.共有43种不同的安排方法 B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种 C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种 D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种 考点二 分步乘法计数原理 对于A,A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每个学生有4种选法,则三个学生有4×4×4=43(种)选法,故A正确;对于B,三人到4个工厂,有43=64(种)情况,其中甲工厂没有人去,即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33=27(种),则甲工厂必须有同学去的安排方法有64-27=37(种),故B正确;对于C,若同学A必须去甲工厂,剩下2名同学安排到4个工厂即可,有42=16(种)安排方法,故C错 误;对于D,若三名同学所选工厂各不相同,有4×3×2=24(种)安排方法,故D正确.故选ABD. 解析 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成. 【训练】　(1)灯笼又统称为灯彩,我国灯笼主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,则不同的选购方式共有(　　) A.34种 B.43种 C.3×2×1种 D.4×3×2种 由题可知,每名同学都有3种选购方式,故不同的选购方式共有34种,故选A. 解析 (2)(2026·广州模拟)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主 食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有(　　) A.48种 B.36种 C.24种 D.12种 由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法,根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36种不同的选取方法. 解析 考向❶ 数字问题 【例2】　(2026·成都模拟)(多选题)用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,下列说法正确的有(　　) A.一共可以组成96个数 B.一共可以组成120个数 C.一共可以组成偶数60个 D.一共可以组成72个大于2 000的数 考点三 两个计数原理的综合应用 对于AB,四位数的首位不能为0,有4种选择,在剩下的4个数字中任选3个,排在后面3个数位,可以组成无重复数字的四位数4×4×3× 2=96个,A正确, B错误;对于C,若个位数为0,则有4×3×2=24个,若个位数不为0,则有2×3×3×2=36个,所以可以组成无重复数字的四位偶数24+36=60个,C正确;对于D,四位数的首位有3种选择,在剩下的4个数字中任选3个,排在后面3个数位,可以组成无重复数字且大于 2 000的四位数3×4×3×2=72个,D正确.故选ACD. 解析 数字问题注意 1.数字可不可以重复; 2.特殊数字的占位限制,比如0不能排首位. 考向❷ 涂色问题 【例3】　(2026·太原质检)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法有(　　)   A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 分两种情况:①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2×1=24(种);②A,C同色,先涂A,C有4种,再涂E有3种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48(种).故不同的涂色方法有48+24=72(种). 解析 涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析. 先涂区域1,有4种选择,再涂区域2,有3种选择,再涂区域3,有2种选择.若区域4的颜色和区域2的颜色不同,此时区域4,5,6只有一种选择;若区域4的颜色和区域2的颜色相同,剩下的区域有3种选择.故不同的涂色方案有4×3×2×(1+3)=96(种).故选C. 解析 (2)(2024·上海高考)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为_____________. 由题意可知集合中最多有一个奇数,其余均为偶数.个位为0的无重复数字的三位正整数有=72(个);个位为2,4,6,8的无重复数字的三位正整数有=256(个).所以集合中最多有72+256=328(个)偶数,再加上一个奇数,则集合中元素个数的最大值为328+1=329. 解析 329 根据分类加法计数原理分两类:第一类,末位为1,有1,11,21,…,191,共+1=20个;第二类,末位为6,有6,16,26,…,196,共+1=20个,综上,共20+20=40个. 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❷ ❶ (1)某正方体形木块的六个面分别标有数字1~6,用红、黄、蓝、白4种颜色给这六个面涂色(不一定每种颜色都用上),相邻两个面所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案有(　　) A.48种 B.72种 C.96种 D.144种 $