2026年中考数学终极冲刺04：反比例函数k值几何模型（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“反比例函数k值几何模型”专题，覆盖中考5%-9%分值的填空、选择压轴及解答小综合题型，系统梳理定值三角形与矩形、双点同支、异支两点、同竖线双点四大核心模型，通过“考情分析-模型解构-典例精析-变式训练-真题链接”教学流程，帮助学生建立知识网络，突破坐标运算与面积转化难点。 亮点在于“模型识别+公式速用+分层突破”策略，如双点同支模型通过坐标乘积为k的特性推导线段关系，培养学生几何直观与推理能力。典例搭配变式训练，真题涵盖近三年全国考情，设基础巩固与能力提升练习，5分钟模型应用检测即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习进度，提升备考针对性。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺04 反比例函数k值几何模型 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 本专题是反比例函数重难点题型，分值占比 5%-9%，多以填空、选择压轴及解答小综合形式出现。题型命题规律性强，常结合坐标系内各类几何图形出题，难度中等偏上，具备明显区分度。考题围绕 k 值几何意义展开，融合线段、面积、坐标换算等考点，常与一次函数、三角形、四边形结合设问。侧重考查数形结合思想、模型识别与坐标运算能力，熟练掌握固定解题模型，可快速突破此类高频失分题型。 2、核心考查内容： 定值三角形与定值矩形模型、双点同支模型、异支两点模型、同竖线双点模型。 （1）定值三角形与定值矩形模型：依托反比例函数上的点构造图形，利用坐标推导固定面积数值。直接套用 k 值公式计算面积，快速求解边长与面积相关问题。 （2）双点同支模型：两点落在反比例函数同一分支，分析线段、夹角与图形特征。结合坐标关系换算线段长度，判定图形形状并计算相关量。 （3）异支两点模型：两点分别处于函数两个分支，坐标正负属性存在明显差异。结合象限特点构图，借助 k 的几何性质求解面积与线段最值。 （4）同竖线双点模型：两点横坐标一致，竖直连线形成固定线段结构。利用纵向坐标差求线段长，搭配水平距离计算图形面积。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】定值三角形与定值矩形模型 一、定值三角形 1. 过反比例函数上任意一点，分别向 x 轴、y 轴作垂线段，连接原点构成直角三角形。 2. 套用固定公式：S=|k|，已知k直接算面积；已知面积反向求出k数值。 二、定值矩形 1. 函数上一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴合围形成矩形图形。 2. 直接用公式：S=|k|，依据面积求参数，结合象限判断k正负取值。 通用解题步骤 1. 识别图形结构，确认顶点在反比例函数图像上。 2. 分清三角形或矩形，代入对应面积公式计算。 3. 根据图像所在象限，确定k的正负符号。 【典例1】（2026·湖南邵阳·二模）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ． 【变式1】（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过两点，若的面积等于，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点作交于点，根据，推出，结合题意设，结合轴求出的坐标，求出的值，再根据即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵双曲线的图象经过，设， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵双曲线的图象经过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【题型二】双点同支模型 1、两点同在反比例函数单一象限分支，设两点坐标，代入解析式建立等量关系。 2、利用坐标算线段长、水平竖直距离，结合面积公式列式求解。 3、结合 k 的几何意义，对比函数值大小，求解交点、角度与图形面积问题。 双点同支模型 k 的几何意义： （1）同分支两点横纵坐标乘积均等于定值k，坐标变化不改变乘积大小。 （2）两点分别向坐标轴作垂线，所构图形面积均可借助|k|快速推导计算。 【典例2】（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】求出点E的坐标为，点F的坐标为，根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴，， 则点E的坐标为，点F的坐标为， ∴ ， 解得，， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴． 【变式2】（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，可求出，进而解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴的长为． 【题型三】异支两点模型 1、两点分属反比例函数两个分支，坐标横纵坐标正负相反，乘积仍都等于k。 2、结合坐标差值求线段、周长，依托分割法、补形法计算图形面积。 3、利用两点与原点连线构图，结合|k|几何性质，求解角度、面积与参数值。 k 的几何意义： 两点横纵坐标乘积恒定为k，跨象限构图面积计算依旧以|k|为核心定值。 【典例3】（2026·陕西西安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，与轴交于点且，已知平行四边形面积为24，则的值为____________ 【答案】 【分析】连接，过点B和C分别作y轴的垂线段和，先证明，求出，，的值，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可求出答案． 【详解】解：连接，过点B和C分别作y轴的垂线段和，垂足为E，D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵点B在双曲线上， ∴． ∴ ∴， ∴ ∵点C在双曲线上，且由图象可知， ∴， ∴． 解得， ∴． 【变式3】（2026·广东东莞·一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 【题型四】同竖线双点模型 1、两点横坐标相同，在同一条竖直线上，分别位于反比例函数图象上。 2、用纵坐标差值求出两点间距，结合水平距离，割补计算图形面积。 3、结合坐标满足xy=k的关系，列式求解参数、线段与面积问题。 【典例4】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．若的面积为10，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为，则，根据的面积为10，得，故，结合点在第四象限，故． 【详解】解：依题意，， ∵的面积，的面积为10， ∴， ∴， ∵点在第四象限， 故． 【变式4】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，设点A的坐标为 ，根据轴，轴，分别求出点和点的坐标，进而表示出线段和的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，设点A的坐标为 ， ∵轴，轴，且点B、C在反比例函数的图象上， ∴，，且， ∴，， ∴． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确计算的前提．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，在轴上， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 4．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 6．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 7．（2023·黑龙江·中考真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：由题意，设， ∵过原点， ∴， 过点A作于E， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，点D的横坐标为， ∵底边轴，轴， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C．    8．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 9．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 10．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，先求出点的坐标为，再根据可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，从而可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，    设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，， ， ， ，， ∴，， ，解得， ， ， ， 的面积为3， ，即， 整理得：， 将点代入得：， 整理得：， 将代入得：，解得， 则， 故选：B． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 12．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，由的几何意义可知，为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，且， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 14．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 15．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________．    【答案】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________． 【答案】 （，0） 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC=∠BOD，BC=OD， ∴OI=BI， ∴DI=CI， ∴， ∵∠CID=∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI=∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=， ∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD=S△BOD=， ∴ (+)•（a-b）=， ∴2a2-3ab-2b2=0， ∴（a-2b）•（2a+b）=0， ∴a=2b，a=-（舍去）， ∴D（2b，），即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2=OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2， ∴b=， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y=2x， ∴直线DF的解析式为：y=2x-3， 当y=0时，2x-3=0， ∴x=， ∴F（，0）， ∵OE=，OF=， ∴EF=OF-OE=， ∴， 故答案为：，（，0）． 17．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据四边形是边长为的正方形求出点的坐标，代入求出k； （2）设，过点D作轴，根据面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线的函数表达式． 【详解】（1）解：四边形是边长为的正方形， ， ； 即反比例函数的表达式为． （2）解：设，过点D作轴，   点，，， ∴ ， ， 解得：，，经检验，是符合题意的根， 即点， 设直线的函数解析式为，得∶ ，解得：， 即：直线的函数解析式为． 19．（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE． （1）求点B的坐标． （2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式． 【答案】（1）B（，2）；（2）直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3． 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出，由题意可知B的横坐标为，代入即可求得B的坐标； （2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式． 【详解】（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上， ∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上， ∴S矩形ODEA＝2 ∴S矩形OCBE＝×2＝3， ∴k＝3， ∴y2＝， ∵OE＝AD＝， ∴B的横坐标为， 代入y2＝得，y＝＝2， ∴B（，2）； （2）设P（a，0）， ∵S△BPE＝PE•BE＝， 解得a＝﹣或， ∴点P（﹣，0）或（，0）， 设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0）， ①若直线过（，2），（﹣，0）， 则 ，解得， ∴直线BP的解析式为y＝x+1； ②若直线过（，2），（，0）， 则 ，解得， ∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3； 综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3． 20．（2014·江苏镇江·中考真题）六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米）．OG=GH=HI． （1）求S1和S3的值； （2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式； （3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？ 【答案】（1）；（2）；（3）17. 【分析】（1）矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等列方程组求解即可. （2）由道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积相等列式可得. （3）把区域MPOQN内满足条件的点一一列出即可求解. 【详解】解：（1）∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，且OG=GH=HI， ∴. 又∵S2=6， ∴， 解得. （2）∵点T是弯道MN上的任一点， ∴根据弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积相等得. ∴y关于x的函数关系式为. （3）∵MP=2，NQ=3， ∴当x=2时，y=18； ∵横坐标、纵坐标都是偶数， ∴当x=4，6，8，10时， y=9，6，. ∴区域MPOQN内满足条件的点为（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，14），（2，16），（4，2），（4，4），（4，6），（4，8），（6，2），（6，4），（8，2），（8，4），（10，2），计17个. 考点：1.反比例函数综合题；2.由实际问题列函数关系式；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.点的坐标；5.分类思想和方程思想的应用. 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺04 反比例函数k值几何模型 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 本专题是反比例函数重难点题型，分值占比 5%-9%，多以填空、选择压轴及解答小综合形式出现。题型命题规律性强，常结合坐标系内各类几何图形出题，难度中等偏上，具备明显区分度。考题围绕 k 值几何意义展开，融合线段、面积、坐标换算等考点，常与一次函数、三角形、四边形结合设问。侧重考查数形结合思想、模型识别与坐标运算能力，熟练掌握固定解题模型，可快速突破此类高频失分题型。 2、核心考查内容： 定值三角形与定值矩形模型、双点同支模型、异支两点模型、同竖线双点模型。 （1）定值三角形与定值矩形模型：依托反比例函数上的点构造图形，利用坐标推导固定面积数值。直接套用 k 值公式计算面积，快速求解边长与面积相关问题。 （2）双点同支模型：两点落在反比例函数同一分支，分析线段、夹角与图形特征。结合坐标关系换算线段长度，判定图形形状并计算相关量。 （3）异支两点模型：两点分别处于函数两个分支，坐标正负属性存在明显差异。结合象限特点构图，借助 k 的几何性质求解面积与线段最值。 （4）同竖线双点模型：两点横坐标一致，竖直连线形成固定线段结构。利用纵向坐标差求线段长，搭配水平距离计算图形面积。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】定值三角形与定值矩形模型 一、定值三角形 1. 过反比例函数上任意一点，分别向 x 轴、y 轴作垂线段，连接原点构成直角三角形。 2. 套用固定公式：S=|k|，已知k直接算面积；已知面积反向求出k数值。 二、定值矩形 1. 函数上一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴合围形成矩形图形。 2. 直接用公式：S=|k|，依据面积求参数，结合象限判断k正负取值。 通用解题步骤 1. 识别图形结构，确认顶点在反比例函数图像上。 2. 分清三角形或矩形，代入对应面积公式计算。 3. 根据图像所在象限，确定k的正负符号。 【典例1】（2026·湖南邵阳·二模）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过两点，若的面积等于，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【题型二】双点同支模型 1、两点同在反比例函数单一象限分支，设两点坐标，代入解析式建立等量关系。 2、利用坐标算线段长、水平竖直距离，结合面积公式列式求解。 3、结合 k 的几何意义，对比函数值大小，求解交点、角度与图形面积问题。 双点同支模型 k 的几何意义： （1）同分支两点横纵坐标乘积均等于定值k，坐标变化不改变乘积大小。 （2）两点分别向坐标轴作垂线，所构图形面积均可借助|k|快速推导计算。 【典例2】（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 【题型三】异支两点模型 1、两点分属反比例函数两个分支，坐标横纵坐标正负相反，乘积仍都等于k。 2、结合坐标差值求线段、周长，依托分割法、补形法计算图形面积。 3、利用两点与原点连线构图，结合|k|几何性质，求解角度、面积与参数值。 k 的几何意义： 两点横纵坐标乘积恒定为k，跨象限构图面积计算依旧以|k|为核心定值。 【典例3】（2026·陕西西安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，与轴交于点且，已知平行四边形面积为24，则的值为____________ 【变式3】（2026·广东东莞·一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【题型四】同竖线双点模型 1、两点横坐标相同，在同一条竖直线上，分别位于反比例函数图象上。 2、用纵坐标差值求出两点间距，结合水平距离，割补计算图形面积。 3、结合坐标满足xy=k的关系，列式求解参数、线段与面积问题。 【典例4】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．若的面积为10，则的值为__________． 【变式4】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023·黑龙江·中考真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 10．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 12．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 13．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是____． 14．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 15．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________．    16．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________． 17．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 18．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 19．（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE． （1）求点B的坐标． （2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式． 20．（2014·江苏镇江·中考真题）六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米）．OG=GH=HI． （1）求S1和S3的值； （2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式； （3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $