考点23 事件的相互独立性&频率与概率（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统构建相互独立事件概率计算与频率概率关系的解题体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相互独立事件|4题型（例1-8，变式1-4）|定义判断→公式选用→实际建模→综合应用，对立事件简化运算|定义→性质→概率公式→与互斥事件辨析→实际问题解决| |频率与概率|3题型（例9-14，变式5-7）|频率估计概率，随机模拟法（蒙特卡洛法）|频率稳定性→概率估计→随机数应用，体现数据观念|

考点23 事件的相互独立性&频率与概率 考点一：相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 考点二：频率的稳定性 大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率 考点三：随机模拟 1.随机数与伪随机数 像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称为伪随机数. 2.产生随机数的常用方法：①用计算器产生;②用计算机产生;③抽签法. 3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 题型一：求独立事件的概率 求解独立事件概率时，首先严格依据定义判断事件是否满足，确认独立后再选用对应公式。要准确区分“同时发生、同时不发生、至少一个发生、恰有一个发生”等表述，分别套用乘积、对立、加法等公式计算，步骤清晰不混用符号。 计算时先拆解事件逻辑，将复杂事件转化为简单独立事件的组合，再分步代入概率计算。注意对立事件的灵活使用，遇到“至少”“至多”等表述优先用简化运算，保证计算准确、结果规范。 【例1】若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 由独立事件性质得， 则，而， 可得，故C正确. 【例2】已知，，当事件，相互独立时，________，________． 【答案】 0.15/ 0.65/ 【详解】由于事件，相互独立，所以, . 【变式1-1】已知是相互独立事件，且，则__________. 【答案】/ 【详解】由是相互独立事件，可得， 因为， 所以. 【变式1-2】事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】/ 【详解】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 【变式1-3】如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 【答案】/ 【详解】对三个元件进行标号，如下图所示： 设事件表示“元件a接通”，事件表示“元件b接通”，事件表示“元件c接通”，且. 电路接通需要a接通，且b或c接通，即，其中，所以. 故电路接通的概率为. 题型二：独立事件的实际应用 解决独立事件实际应用题，第一步要把生活语言转化为数学事件，明确每个事件的含义及相互独立性。再提取题目中的概率数据，按“发生、不发生、同时、至少、恰有”等关键词匹配对应独立事件公式。 解题时遵循“建模→列式→计算→作答”流程，注意实际情境中的先后顺序与并列关系，准确区分独立事件与互斥事件的适用场景。结合题意检验结果合理性，确保模型与实际问题一致，答案符合现实逻辑。 【例3】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 【例4】某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】(1) (2)选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【分析】 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则． （2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 ． 所以； 所以， 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【变式2-1】在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 【答案】D 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 【变式2-2】甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.648 【分析】 【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. （2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 【变式2-3】某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 题型三：事件独立性的判断 判断事件独立性优先使用定义法，验证是否成立，等式成立则独立，不成立则不独立。也可从实际意义判断：一个事件发生不影响另一个事件发生的概率，通常可视为独立。 判断时注意区分独立与互斥，互斥是不能同时发生，独立是互不影响概率，二者无必然推出关系。涉及多个事件时逐一验证，不凭主观经验判断，严格用公式或实际意义严谨推导，保证判断准确。 【例5】（多选）从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互不独立 【答案】ACD 【详解】对于A，3和6满足条件，故，答案A正确； 对于B，所有可能出现的样本点有，，…， ，共个， 其中的有， 共10个，故，答案B错误； 对于C，，易得， 满足事件的有共6个，故， 则，答案C正确； 对于D，， 满足事件D的有共9个， 故，，则，故答案D正确． 【例6】第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不独立，理由见详解 【分析】 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为，组距为， 因此：，解得， “青年人”年龄落在，对应的频率为： ， 总人数为，因此“青年人”的人数为. （2）中年人（）总人数：， 老年人（）总人数：， 分层抽样抽取人，抽样比为， 因此抽取得到：青年人人，中年人人，老年人人，总选法：， 事件为“人均为中年人”，，因此， 事件为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”， ，因此， 为“人均为中年人，且至少人为男性”， ，因此， ， 显然，因此事件与事件不独立. 【变式3-1】（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【详解】对于选项A，可知事件“第一次为反面朝上，且第二次为正面朝上”， 可知， 所以，所以相互独立，选项A正确； 对于选项B，可知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 第一次没有摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 可知第一次的结果对第二次摸球有影响，所以事件不相互独立，选项B错误； 对于选项C，可知事件“出现点数为2”， 可知， 所以，所以相互独立，选项C正确； 对于选项D，可知事件互斥，即，所以事件不相互独立，选项D错误； 【变式3-2】（多选）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】AC 【详解】根据题意得，，， ，. 选项A.，，满足，A正确. 选项B.，，B错误. 选项C.，，满足，C正确. 选项D.，，D错误. 【变式3-3】申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)由，得事件与事件相互独立 【分析】 【详解】（1）解：将24名学生的成绩按从小到大的顺序排序，可得： 其中低于70分的有：，共有10个，即， 因为，所以第25百分位数为第6个和第7个数据的平均数， 所以第25分位数为. （2）解：事件与事件相互独立. 理由：在统计数据中，成绩不小于80分的有：，共有8个， 学生数学成绩为偶数的有：，共有12个， 由事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数， 可得其概率分别为， 又由事件表示成绩不小于80分且为偶数，有，共有4个， 所以其概率为， 因为，所以， 所以事件与事件相互独立. 题型四：相互独立事件与互斥事件的综合应用 处理综合题时，先明确独立与互斥的核心差异：独立是，互斥是且。先判定每对事件是独立还是互斥，再分别选用对应公式。 复杂题目可分步拆解，先处理独立事件的概率，再结合互斥事件的加法法则计算。遇到“至少一个”“恰好一个”等表述时，合理使用对立事件转化，避免重复或遗漏，确保逻辑清晰、公式使用正确。 【例7】已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 【例8】已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 【变式4-1】已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 【变式4-2】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】/ 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 【变式4-3】已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 题型五：频率与概率的关系 频率与概率的核心关系是：频率具有随机性，概率是固定常数；试验次数越多，频率越稳定在概率附近。频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值，二者不可混淆但可相互近似。 解题时要明确：频率由试验结果计算得出，概率是理论值；大量重复试验下频率可用来估计概率。区分“计算频率”和“求概率”两类问题，按定义判断所求对象，不将频率直接等同于概率。 【例9】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 【例10】（多选）给出下列四个命题错误的是（   ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 【答案】ABC 【详解】对A，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，故A错误； 对B，是频率不是概率，B错误； 对C，当试验次数逐渐增加时，随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率，但频率不一定等于概率，C错误； 对D，随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数，D正确. 故选：ABC 【变式5-1】（多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 【变式5-2】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．随机试验的频率与概率相等 B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C．只有不确定事件有概率 D．若事件发生的概率为，则 【答案】ABC 【详解】A：随机试验多次重复发生时，频率越来越稳定于概率，但不一定相等，错； B：如果事件发生的概率为99.9999%，说明此事件发生的概率非常大，但不是必然发生，错； C：确定事件也有概率，错； D：根据概率的性质知，对. 故选：ABC 【变式5-3】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 题型六：利用频率与概率的关系求概率 【例11】地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 【例12】某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取B品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【答案】(1)3； (2)；. 【分析】 【详解】（1）采取分层抽样的方法抽取，分别抽取三种苹果树的数量比为 ， 则抽取品种的数量占比为， ，即应抽取品种苹果树3棵. （2）先将这10个数从小到大排列：20，25，25，26，26，28，30，30，31，32， ，则这10个数的第80百分位数为 ， 根据频率接近于概率的性质，果树产量不小于的概率约为. 【变式6-1】某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 【变式6-2】对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【分析】 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 【变式6-3】随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】(1) (2) (3)青年人 【分析】 【详解】（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以． （2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率． （3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 题型七：随机模拟法估计概率 【例13】已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 【例14】在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 【变式7-1】某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【详解】由10组随机数知，4~9中恰有三个的随机数有569，989两组， 故所求的概率为． 故选：A 【变式7-2】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 【变式7-3】在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______． 【答案】/ 【详解】20组随机数中，表示恰有两只被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组， 故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为． 故答案为： 一、单选题 1．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 2．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 3．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，， 又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次， 则只有一个人投中的概率是. 4．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 5．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】A 【详解】从罐子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 所以回答问题A的人数是人 回答问题B的人数是人， 回答问题A的人中答 “是” 的人数是， 所以回答问题B的人中答 “是” 的人数是， 则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为， 故选：A 6．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 7．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】D 【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 8．已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【详解】因为，是相互独立事件，所以，和，均相互独立， 因为两两互斥， 所以， 因为，所以， 则，得． 故选：A 二、多选题 9．教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，因为甲乙的成绩都是3分多，所以只需要根据秒数计算即可. 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差， 说明甲比乙稳定，所以派甲更好.故D错误. 故选：AC. 10．中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可知，，故A，B正确； 事件为事件的对立事件，且事件两两互斥， ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 11．已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 【答案】BCD 【详解】由概率的性质知， 由，互斥，则，A错，故， 由， 而且， 所以，则，B对， 由，，则， 当且仅当时取等号，则， 当，则，当且仅当时取等号，即的最大值为，C对， 当，则，结合概率的性质知，则，D对. 三、填空题 12．已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，那么至少需要大炮的门数是____________．（参考数据：，） 【答案】5 【详解】由每门大炮射击一次击中目标的概率是0.4，得此大炮没有击中目标的概率为， 由n门大炮射击是相互独立事件，得n门大炮都没有击中目标的概率为， 而“目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都没有被击中”，则“目标至少被击中一次”的概率为 由目标至少被击中一次的概率超过92%，得不等式，即， 两边同时取常用对数，得，而， ， 不等式，又为正整数， 所以n的最小值为5，即至少需要大炮的门数是5． 13．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 【答案】②③ 【详解】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 四、解答题 14．为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值. (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人， 其中近视的学生有人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为． （2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”． 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为， 从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为． 则． 15．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 16．某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在第2年首次达标，意味着第1年未达标，第2年达标． 第1年达标的概率为，未达标的概率为， 第2年达标的概率为． 故所求概率为． （2）当时，． 当时，， ， 令，即，化简得，因为，所以， 即时，，当时，，所以当时，最大． 17．某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”， 由于与相互独立，与，与，与都相互独立， 由题意可得，，，，， 分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 ， 故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325. （2）系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一次提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确. 系统第一次输出正确答案的概率为：， 由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为： ， 系统第二次输出正确答案的概率为：， 设系统最终输出正确答案的概率为，则， 于是，解得，又由，于是， 则的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点23 事件的相互独立性&频率与概率 考点一：相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 考点二：频率的稳定性 大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率 考点三：随机模拟 1.随机数与伪随机数 像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称为伪随机数. 2.产生随机数的常用方法：①用计算器产生;②用计算机产生;③抽签法. 3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 题型一：求独立事件的概率 求解独立事件概率时，首先严格依据定义判断事件是否满足，确认独立后再选用对应公式。要准确区分“同时发生、同时不发生、至少一个发生、恰有一个发生”等表述，分别套用乘积、对立、加法等公式计算，步骤清晰不混用符号。 计算时先拆解事件逻辑，将复杂事件转化为简单独立事件的组合，再分步代入概率计算。注意对立事件的灵活使用，遇到“至少”“至多”等表述优先用简化运算，保证计算准确、结果规范。 【例1】若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，，当事件，相互独立时，________，________． 【变式1-1】已知是相互独立事件，且，则__________. 【变式1-2】事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【变式1-3】如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 题型二：独立事件的实际应用 解决独立事件实际应用题，第一步要把生活语言转化为数学事件，明确每个事件的含义及相互独立性。再提取题目中的概率数据，按“发生、不发生、同时、至少、恰有”等关键词匹配对应独立事件公式。 解题时遵循“建模→列式→计算→作答”流程，注意实际情境中的先后顺序与并列关系，准确区分独立事件与互斥事件的适用场景。结合题意检验结果合理性，确保模型与实际问题一致，答案符合现实逻辑。 【例3】如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【例4】某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【变式2-1】在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 【变式2-2】甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 【变式2-3】某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 题型三：事件独立性的判断 判断事件独立性优先使用定义法，验证是否成立，等式成立则独立，不成立则不独立。也可从实际意义判断：一个事件发生不影响另一个事件发生的概率，通常可视为独立。 判断时注意区分独立与互斥，互斥是不能同时发生，独立是互不影响概率，二者无必然推出关系。涉及多个事件时逐一验证，不凭主观经验判断，严格用公式或实际意义严谨推导，保证判断准确。 【例5】（多选）从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互不独立 【例6】第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 【变式3-1】（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【变式3-2】（多选）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式3-3】申辉中学高二（1）班共有24名学生，在近期一次数学测验中，这24名学生数学成绩的茎叶图如下，其中成绩的十位为“茎”，个位为“叶”． (1)在这24名学生的成绩中，设成绩低于70的人数为x，这24名学生成绩的第25百分位数为y．直接写出x和y的值； (2)从该班随机抽取1名学生，记录其数学成绩．记事件A：该学生的数学成绩不小于80，事件B：该学生的数学成绩为偶数．判断A与B是否相互独立，并说明理由． 题型四：相互独立事件与互斥事件的综合应用 处理综合题时，先明确独立与互斥的核心差异：独立是，互斥是且。先判定每对事件是独立还是互斥，再分别选用对应公式。 复杂题目可分步拆解，先处理独立事件的概率，再结合互斥事件的加法法则计算。遇到“至少一个”“恰好一个”等表述时，合理使用对立事件转化，避免重复或遗漏，确保逻辑清晰、公式使用正确。 【例7】已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【例8】已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【变式4-1】已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【变式4-2】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【变式4-3】已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 题型五：频率与概率的关系 频率与概率的核心关系是：频率具有随机性，概率是固定常数；试验次数越多，频率越稳定在概率附近。频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值，二者不可混淆但可相互近似。 解题时要明确：频率由试验结果计算得出，概率是理论值；大量重复试验下频率可用来估计概率。区分“计算频率”和“求概率”两类问题，按定义判断所求对象，不将频率直接等同于概率。 【例9】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【例10】（多选）给出下列四个命题错误的是（   ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 【变式5-1】（多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【变式5-2】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．随机试验的频率与概率相等 B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C．只有不确定事件有概率 D．若事件发生的概率为，则 【变式5-3】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 题型六：利用频率与概率的关系求概率 【例11】地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例12】某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取B品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【变式6-1】某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【变式6-2】对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【变式6-3】随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 题型七：随机模拟法估计概率 【例13】已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例14】在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【变式7-1】某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式7-2】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【变式7-3】在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______． 一、单选题 1．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 2．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 3．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 4．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 5．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球． 问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B：你是否有早恋现象？ 已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（    ）（精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 6．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 7．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 8．已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 二、多选题 9．教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 10．中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 11．已知随机事件，满足，，记，，若，互斥，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．若，则 三、填空题 12．已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，那么至少需要大炮的门数是____________．（参考数据：，） 13．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 四、解答题 14．为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值. (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； 15．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 16．某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 17．某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $