考点22 随机事件与概率（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以“概念-关系-模型-性质”为逻辑链，通过7类题型系统构建随机事件与概率的解题方法体系，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件判断|2例+3变式|定义法分类（必然/不可能/随机）|从试验结果分析事件本质| |样本空间|2例+3变式|列举法（列表/树状图）|样本点→样本空间→事件子集| |事件关系运算|2例+3变式|集合语言转化（交/并/互斥/对立）|概念关系→符号表示→图形直观| |古典概型|2例+3变式|计数法（公式P(A)=n(A)/n(Ω)）|有限等可能→样本点计数→概率计算| |互斥对立辨析|2例+3变式|定义辨析（互斥不同时发生，对立必居其一）|概念差异→集合关系→性质应用| |概率计算|2例+3变式|加法公式（互斥）/对立转化（正难则反）|性质应用→复杂问题简化| |概率统计结合|2例+3变式|分层抽样+古典概型综合|统计数据→事件定义→概率求解|

考点22 随机事件与概率 考点一：有限样本空间与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 考点二：事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 考点三：古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 考点四：概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么. 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有. 题型01：必然事件、不可能事件与随机事件的判断 判断事件类型时，先明确试验条件与所有可能结果，再依据定义区分。一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。解题时先锁定样本空间，再看事件是否包含全部样本点、为空集，或为部分子集。注意区分日常语言与数学定义，不凭主观感觉判断，严格按“一定发生、一定不发生、不确定”三个标准归类，确保判断准确无误。 【例1】在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【例2】下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【变式1-1】下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 【变式1-2】下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 【变式1-3】给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】①②④ 【详解】①，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，故①正确； ②，对任意实数x，有，故②正确； ③，下雨是随机事件，故③错误； ④，从100个灯泡中取出5个，5个可能全部是次品，也可能不全是次品，是随机事件，故④正确. 题型02：样本空间及用随机事件的表示 书写样本空间时，先列出试验所有基本结果，做到不重不漏，再用集合形式表示。表示随机事件时，先确定事件包含的样本点，再写成样本空间的子集。复杂试验可分步列举，如两步试验用列表或树状图辅助。书写时规范使用集合符号，明确基本事件构成，确保样本点清晰、事件表示准确，为后续概率计算打好基础。 【例3】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【答案】 【详解】根据题意得：两个骰子点数之和为10的样本点为：， 所以事件. 【例4】如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 【答案】(1)样本空间 (2)①；②；③ 【分析】 【详解】（1）分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示， 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，得集合. “电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，得集合. “电路是断路”等价于，，或，得集合. 【变式2-1】在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是______． 【答案】取到1件次品和2件正品或取到3件正品 【详解】表示次品的件数为1,0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 故答案为：取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 【变式2-2】投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【答案】 【详解】事件空间： . 故答案为：. 【变式2-3】一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 【答案】(1)个 (2)分别记白球为、、号，黑球为、号，则答案为. 【分析】 【详解】（1）分别记白球为、、号，黑球为、号， 则这个试验的样本点为、、、、、、、、 、，共个. （2）记表示“个球都是白球”这一事件，则． 题型03：事件的关系和运算 处理事件关系与运算，先理解符号含义：包含是一发生则另一发生，并是至少一个发生，交是同时发生，互斥是不同时发生，对立是有且仅有一个发生。解题时先翻译文字语言为集合语言，再用图形辅助判断。按“先定关系、再写运算、后结合性质”步骤进行，区分交、并、互斥、对立的差异，避免混淆概念，保证转化与推理正确。 【例5】设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. 【例6】打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【答案】 (或A1＋A2＋A3) 【详解】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次， 这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3). 【变式3-1】在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【答案】 【详解】当事件发生时，必然发生，故；同理，，而事件与相等，即. 故答案为：，，， 【变式3-2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 【变式3-3】生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 【答案】产品不合格 【详解】事件表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格， 所以事件D表示“产品不合格”． 题型04：古典概型 古典概型先验证两个条件：样本点有限、等可能。计算时先求总样本点数，再求事件包含样本点数，代入公式古典概率公式。列举常用列表、树状图、分类计数，确保不重不漏。注意等可能性，不遗漏或重复计数，结果化为最简分数。步骤规范：定试验→写样本空间→计数→代入公式→作答，保证思路清晰、计算准确。 【例7】把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则______. 【答案】/0.25 【详解】把1、2、3、4四个数字随机排成一行，有24种可能，其中“新高”的个数为2的有：2134，2314，2341，1243，1324，1342共6个， 所以 【例8】二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】已知破译器每秒能随机生成个不重复的二维码， 一分钟能生成的二维码总数为， 一个二维码共有种情况， 要确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于， 则，即， 即， 因为，且为整数， 所以， 解得，即， 所以的最小值为. 【变式4-1】将四位数2024的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将2024的各个数字重新排列，包括自身可以得到9个四位数： 2204、2240、4220、4022、2024、2420、2042、2402、4202， 其中两个2不相邻的有5个：2024、2420、2042、2402、4202， 所以所求概率为． 【变式4-2】从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________． 【答案】 【详解】由题意知11个零件的平均数为， 第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50， 由题可知众数为45， 所以当从11中取出3个零件共种情况， 则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45，共有种情况， 所以其概率为． 【变式4-3】早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 则个位上的算筹比十位多的概率为. 题型05：互斥事件与对立事件的辨析 辨析时抓住核心：对立一定互斥，互斥不一定对立。互斥是不同时发生，可都不发生；对立是有且仅有一个发生，二者必居其一。判断先看能否同时发生，再看是否必有一个发生。用集合理解：互斥交集为空，对立交集为空且并集为样本空间。解题先区分概念，再按定义判断，不凭直观，避免把互斥当成对立。 【例9】掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 【例10】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 【变式5-1】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【答案】C 【详解】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，， 则表示共中靶0次，表示共中靶1次， 所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次. 故选：C. 【变式5-2】（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 【变式5-3】（多选）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 【答案】ACD 【详解】对A、B，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故，故A正确，B不正确. 对C，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确. 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故，故D正确. 故选：ACD. 题型06：互斥事件、对立事件概率的计算 计算时先判断事件关系：互斥用加法P(A∪B)=P(A)+P(B)，对立用P(A)=1−P(A)。多个事件两两互斥可直接相加。正面复杂时用对立事件转化，简化计算。步骤：判关系→选公式→代入计算→检验。注意区分互斥与一般事件，不混用加法公式，合理使用正难则反，提高解题效率与正确率。 【例11】已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 【例12】黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【答案】(1)0.64 (2)0.36 【详解】（1）对任意一人，其血型为的事件分别记为，，，，由已知得，，，， 因为型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． （2）由于型血不能输给型血的人， 则“任找一人，其血不能输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． 【变式6-1】已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 【变式6-2】已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 【变式6-3】一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，， 【详解】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 题型07：概率统计的结合 【例13】某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】(1)，平均年龄为31.75；中位数为31 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意有：，解得，                  设这n人的平均年龄为， 则， 由于前2组的频率为， 前3组的频率为， 则中位数在，设中位数为， 则，解得，则中位数为31. （2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点， 所以. 即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.. 【例14】某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1) (2)（或）， (3) 【分析】 【详解】（1）； （2）；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 【变式7-1】某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； (2)估计这800名学生的成绩的第60百分位数 (3)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查求至少有1名学生成绩不低于90分的概率． 【答案】(1)频率分布直方图见解析； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）成绩落在的频率为， 补全的频率分布直方图如图： 这800名学生的平均成绩约为： . （2）五组数据的频率分别为， ，而， 所以这800名学生的成绩的第60百分位数位于， 所以， 所以这800名学生的成绩的第60百分位数为. （3）抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为， 成绩在内的有（人），分别记为， 从这6人中随机抽取2人的样本空间为： ， 共15个样本点， 记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”， 则， 事件包含的样本点为个， 故， 所以至少有1名学生成绩不低于90分的概率为. 【变式7-2】从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； (2)对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 【答案】(1)，84 (2)答案见解析，． 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得．又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前4组的频率为， 前5组的频率为， 故第80百分位数在区间上，因此第80百分位数为． （2）采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为： ，共有10个样本点， 设事件“这2份测试卷成绩都在”， 则，故，从而． 因此，这2份测试卷成绩都在的概率是． 【变式7-3】近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由已知得，解得； （2）由已知可估计平均数为 ； （3）由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 一、单选题 1．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 2．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 3．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 4．从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于当同时取出时，与同时发生，所以它们不是互斥事件，故A错误； 对于B，由于当同时取出时，与都不发生，所以它们不是对立事件，故B错误； 对于C，由于当同时取出时，发生，不发生，所以它们不相等，故C错误； 对于D，由于发生当且仅当取出的卡片至少有一张是非正数，即至少有一个发生，故，故D正确. 故选：D. 5．“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 【答案】A 【详解】一个数的首位数字是的概率为， 一个数的首位数字是3的概率为， 首位数字是5的概率为 ， 一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为 ， 故选项A正确. 6．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 7．某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从三个组中各随机选1人参加文艺汇演,则共有种可能， 设事件:和不全被选中,则事件的对立事件共有三种可能, 所以，所以， 故选：D 8．在的正因数中任取1个数，这个数是完全平方数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分解质因数：， 正因数的形式为，其中，，，个数为 . 完全平方数的质因数的指数必为偶数： 可以取： 可以取： 可以取：0 个数为：. 所以概率为. 故选：B. 二、多选题 9．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（   ） A．与不互斥 B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据题意，抛掷两次，则样本空间 ， ，共有36个样本点. 事件的样本空间 ； 事件的样本空间； 事件的样本空间； 因为事件的样本空间， 事件与事件能同时发生，所以与不互斥，故A正确： 事件有11个样本点，所以，故B错误； 事件有6个样本点，所以，故C错误； 因为事件的样本空间，有2个样本点，所以，故D正确. 三、填空题 11．给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 【答案】①②③④ 【详解】恒成立，∴①正确； 对于奇函数，若其定义域含0（如），则； 若其定义域不含0（如），则不成立，故该事件为随机事件，∴②正确； 由对数函数定义域可知，成立的前提是，即. 故若事件发生，则事件必然发生，∴③正确； ∵对顶角相等，∴对顶角不相等是不可能事件，∴④正确． 故答案为：①②③④ 12．设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则____. 【答案】 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上1至9中不重复的整数，小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为__________. 【答案】/ 【详解】根据题意，小王需要再9个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字， 且这5个数字未知，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有12种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 故答案为：. 四、解答题 14．写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）记投掷两次骰子所得结果为，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果，事件：“数字之和大于8”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为； （2）抛掷枚硬币，若正面朝上，则记为，反之，则记为，所得结果表示为，事件：“抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为. 15．已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 16．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点22 随机事件与概率 考点一：有限样本空间与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 考点二：事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 考点三：古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 考点四：概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么. 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有. 题型01：必然事件、不可能事件与随机事件的判断 判断事件类型时，先明确试验条件与所有可能结果，再依据定义区分。一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。解题时先锁定样本空间，再看事件是否包含全部样本点、为空集，或为部分子集。注意区分日常语言与数学定义，不凭主观感觉判断，严格按“一定发生、一定不发生、不确定”三个标准归类，确保判断准确无误。 【例1】在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【例2】下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【变式1-1】下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【变式1-3】给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 题型02：样本空间及用随机事件的表示 书写样本空间时，先列出试验所有基本结果，做到不重不漏，再用集合形式表示。表示随机事件时，先确定事件包含的样本点，再写成样本空间的子集。复杂试验可分步列举，如两步试验用列表或树状图辅助。书写时规范使用集合符号，明确基本事件构成，确保样本点清晰、事件表示准确，为后续概率计算打好基础。 【例3】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【例4】如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 【变式2-1】在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是______． 【变式2-2】投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【变式2-3】一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 题型03：事件的关系和运算 处理事件关系与运算，先理解符号含义：包含是一发生则另一发生，并是至少一个发生，交是同时发生，互斥是不同时发生，对立是有且仅有一个发生。解题时先翻译文字语言为集合语言，再用图形辅助判断。按“先定关系、再写运算、后结合性质”步骤进行，区分交、并、互斥、对立的差异，避免混淆概念，保证转化与推理正确。 【例5】设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【例6】打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【变式3-1】在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【变式3-2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 题型04：古典概型 古典概型先验证两个条件：样本点有限、等可能。计算时先求总样本点数，再求事件包含样本点数，代入公式古典概率公式。列举常用列表、树状图、分类计数，确保不重不漏。注意等可能性，不遗漏或重复计数，结果化为最简分数。步骤规范：定试验→写样本空间→计数→代入公式→作答，保证思路清晰、计算准确。 【例7】把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则______. 【例8】二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-1】将四位数2024的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________． 【变式4-3】早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（   ） A． B． C． D． 题型05：互斥事件与对立事件的辨析 辨析时抓住核心：对立一定互斥，互斥不一定对立。互斥是不同时发生，可都不发生；对立是有且仅有一个发生，二者必居其一。判断先看能否同时发生，再看是否必有一个发生。用集合理解：互斥交集为空，对立交集为空且并集为样本空间。解题先区分概念，再按定义判断，不凭直观，避免把互斥当成对立。 【例9】掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【例10】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【变式5-1】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【变式5-2】（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【变式5-3】（多选）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 题型06：互斥事件、对立事件概率的计算 计算时先判断事件关系：互斥用加法P(A∪B)=P(A)+P(B)，对立用P(A)=1−P(A)。多个事件两两互斥可直接相加。正面复杂时用对立事件转化，简化计算。步骤：判关系→选公式→代入计算→检验。注意区分互斥与一般事件，不混用加法公式，合理使用正难则反，提高解题效率与正确率。 【例11】已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【例12】黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【变式6-1】已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【变式6-2】已知A、B为互斥事件，且，则______． 【变式6-3】一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 题型07：概率统计的结合 【例13】某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【例14】某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【变式7-1】某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； (2)估计这800名学生的成绩的第60百分位数 (3)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查求至少有1名学生成绩不低于90分的概率． 【变式7-2】从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； (2)对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 【变式7-3】近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 一、单选题 1．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 3．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 5．“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 6．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在的正因数中任取1个数，这个数是完全平方数的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（   ） A．与不互斥 B． C． D． 三、填空题 11．给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 12．设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则____. 13．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上1至9中不重复的整数，小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为__________. 四、解答题 14．写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 15．已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 16．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $