第15章 概率（高效培优单元自测·提升卷）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 高中数学第15章概率单元提升卷，以科技（无人机、航天）、生活（茶叶分类、上楼梯）等真实情境为载体，覆盖概率核心知识，梯度设计合理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|必然事件、互斥对立事件、古典概型|结合摸球、骰子抛掷等基础情境，考查概念辨析与数学抽象| |多选|3/18|事件关系、独立事件|通过产品次品、摸球实验，培养推理意识与批判性思维| |填空|3/15|互斥对立概率、分步概率|以上楼梯、积分赛为背景，体现模型观念与应用意识| |解答|5/77|样本空间、概率计算、统计应用|无人机选款、药物试验、航天竞赛等综合情境，融合数据意识与创新思维，契合真题命题趋势|

第15章 概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（  ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解析】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 2.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【解析】对于A：事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故A不正确； 对于B：事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或” 一定发生，所以 ，故B不正确； 对于C：事件和事件不能同时发生，，故C不正确； 对于D：事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生， 则事件“向上的点数为或”发生，故D正确； 故选:D 3.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数. 【解析】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 4.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 5.国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如：龙井、碧螺春）和发酵茶（如：茉莉花茶、铁观音乌龙茶、普洱茶）两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取若干盒，判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是（  ） A．“取出不发酵茶”和“取出发酵茶” B．“取出发酵茶”和“取出龙井” C．“取出乌龙茶”和“取出铁观音” D．“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶” 【答案】A 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【解析】对A，事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以既是互斥事件又是对立事件．正确． 对B，事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件，因为“取出龙井”时，事件“取出不发酵茶”也发生了．错误； 对C，事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件．错误； 对D，事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件．错误； 故选：A. 6.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（  ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【答案】D 【分析】根据频率和概率的关系分析每个选项. 【解析】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误； BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即， B选项中所估计的概率和频率差别过大， C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误； D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确. 故选：D 7.已知事件A，B，C两两互斥，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解析】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 8.如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【解析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B． C．是必然事件 D． 【答案】AC 【分析】先明确各事件具体含义，再理解集合运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【解析】表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，B不正确； 表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以C正确； 表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确. 故选：AC. 10. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（  ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 【答案】ABD 【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误. 【解析】设2个红球为，白球为，黑球为. 则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况. 对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确； 对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：， 事件D样本空间为：，则，， 则，故B正确； 对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又 则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确. 故选：ABD 11.设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C. 【解析】A，若，则，A错误； B ，因为，则，B正确； C，因为A与B相互独立，则也相互独立， 则，C正确； D，若A与B相互独立，则也相互独立， 则，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【解析】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 13.某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 【答案】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【解析】到达第3台阶的方法有两种： 第一种：  每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种：     只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 14.小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【解析】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】(1)样本空间 (2); (3) 【分析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【解析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则； （3）由已知可得， 则. 16.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【解析】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 17. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解； （2）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解. 【解析】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 18.为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用题设条件列关系式求解； （2）如下三种情况根据相互独立事件的概率公式求解； （3）利用基本不等式计算得解. 【解析】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 19.航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】(1)4； (2)平均数为，中位数为； (3) 【分析】（1）抽取的200名学生中, 分别求出不高于50分的人数，50分到60分的人数， 再利用分层抽样的定义，求出从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数； （2）由各个矩形面积和为1列方程求出的值，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数； （3）利用独立事件的概率公式求解即可. 【解析】（1）因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为（人）， 50分到60分的人数为（人）， 所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）. （2）由，解得， 平均数， 因为成绩不高于70分的频率为， 成绩不高于80分的频率为， 所以中位数位于内，则中位数为. （3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为， . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（  ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 2.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（  ） A． B． C． D． 3.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 4.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（  ） A． B． C． D． 5.国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如：龙井、碧螺春）和发酵茶（如：茉莉花茶、铁观音乌龙茶、普洱茶）两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取若干盒，判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是（  ） A．“取出不发酵茶”和“取出发酵茶” B．“取出发酵茶”和“取出龙井” C．“取出乌龙茶”和“取出铁观音” D．“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶” 6.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（  ） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 7.已知事件A，B，C两两互斥，且，则（  ） A． B． C． D． 8.如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（  ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B． C．是必然事件 D． 10. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（  ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 11.设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 13.某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 14.小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 16.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 17. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 18.为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 19.航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $