第17讲 机械能守恒定律及其应用 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦机械能守恒定律及其应用，系统梳理重力做功特点、势能概念及守恒条件，按“理解判断—单物体问题—系统问题”逻辑分层构建考点体系，通过知识梳理夯实基础、考点解析突破难点、典例精讲强化应用，助力学生形成完整知识网络。 资料创新采用模型建构与科学推理教学法，针对系统机械能守恒设计轻杆、轻绳、轻弹簧三类模型专题，如典例5通过速度分解建立关联，典例7结合弹簧形变量分析能量转化，培养科学思维。分层设置选择、计算类典例，精准对接高考题型，为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生解题能力。

第17讲 机械能守恒定律及其应用 讲义 知识梳理： 1．重力做功的特点 (1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)表达式Ep＝mgh。 (2)重力势能的特点 ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (3)ΔEp与WG的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量， 即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。 3．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。 4．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。 (2)表达式：＝。 (3)守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。 考点一　机械能守恒的理解与判断 1．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。 2．判断方法 (1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。 (3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 典例1：如图所示，一轻质弹簧，下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　) A．物体B机械能守恒 B．物体A和B组成的系统机械能守恒 C．物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒 [答案]　D[解析]　物体B在下落的过程中，绳子的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，绳子拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统，在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。 典例2：(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　) A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒 D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，小球的机械能守恒 [答案]　BC[解析]　小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误;小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确;小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。 考点二　单物体的机械能守恒问题 1．单物体机械能守恒的常用表达式 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象：选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。 3．注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。 典例3：如图所示，粗糙的水平桌面上有个光滑的小孔O，一轻绳穿过小孔，两端各系着质量分别为m和4m的两个小物体A、B。将物体A拉开偏离竖直方向60°由静止释放，物体A运动过程中物体B始终处于静止状态。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体B与桌面之间的动摩擦因数至少为(　　) A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 [答案]　A[解析]　物体A运动至最低点时绳子的拉力最大，设此时物体A的速度大小为v，OA长为l，物体A运动至最低点的过程中，由机械能守恒定律得mgl(1－cos 60°)＝mv2，设在最低点绳子对物体A的拉力大小为T，在最低点对物体A，由牛顿第二定律有T－mg＝m，由平衡条件得T＝μ·4mg，解得物体B与桌面之间的动摩擦因数至少为μ＝0.5，A正确。 典例4：为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场地。老师和同学们围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧BCD和凸圆弧DEF的半径均为R，且D、F两点处于同一高度，B、E两点处于另一高度，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。在斜面AB上距离水平面BE高度为h(未知量)的地方放置一个质量为m的小球(可视为质点)，让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)当h＝0.6R时，求小球经过最低点C时，路面受到的压力； (2)若小球一定能沿路面运动到F点，求h的取值范围。 [解析]　(1)小球从静止释放到运动至C点过程中， 根据机械能守恒定律有mgh＋mg(R－R sin 37°)＝ 在C点，由牛顿第二定律有FN－mg＝ 联立解得FN＝3mg 由牛顿第三定律得路面受到的压力为F′N＝FN＝3mg，方向竖直向下。 (2)分析可知小球能沿路面到达F点即可通过E点， 刚好到达F点时有mg cos 37°＝ 根据机械能守恒定律有mgh′＋mg(R－R cos 37°)＝ 联立解得h′＝0.2R 故可知h的范围为0<h≤0.2R。 [答案]　(1)3mg，方向竖直向下　(2)0<h≤0.2R 考点三　系统的机械能守恒 1．解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找通过绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEP或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2．常见的三种模型 模型1　轻杆连接系统的机械能守恒 常见情境 三大特点 ①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功时，系统机械能守恒 典例5：如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面体左侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m的两小球(均视为质点)用长为L的轻质硬杆连接，甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为30°，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为(　　) A.mgL B.mgL C.mgL D.mgL [答案]　B[解析]　甲下降的高度为h甲＝＝L，乙下降的高度为h乙＝sin 30°＝，当轻质硬杆与斜面刚好平行时，把甲的速度v甲分别沿着轻质硬杆和垂直轻质硬杆分解，沿着轻质硬杆方向的分速度v∥＝v甲sin 30°，小球乙的速度v乙沿着斜面，轻质硬杆与斜面平行，则v乙沿着轻质硬杆， 有v乙＝v∥，甲、乙两球组成的系统由机械能守恒定律可得 mgh甲＋mgh乙＝mm，乙的动能为Ek乙＝m， 联立解得Ek乙＝mgL，故B正确。 模型2　轻绳连接系统的机械能守恒 常见 情境 　　 三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒 典例6：如图所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮(可视为质点O)的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B(B靠近定滑轮)，滑轮到杆的距离OC＝h，开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，小物块B的速度大小为(　　) A． 　 B． C． 　 D． [答案]　D[解析]　将A、B由静止释放，当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，B下落的高度H＝＝2(－1)h，由A和B组成的系统机械能守恒得mgH＝，A沿细线方向的分速度与B的速度大小相等，则有vB＝vA cos 60°，解得vB＝，故D正确。 模型3　轻弹簧连接系统的机械能守恒 常见 情境 　 　 模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒 两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 典例7：如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳绕过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小； (2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度； (3)物体A的最大速度的大小。 [答案]　(1)30 N　(2)0.2 m　(3)1 m/s [解析]　(1)弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，对B有mg－FT＝ma 对A有FT－mgsin 30°＝ma 解得FT＝30 N。 (2)初态弹簧压缩量x1＝＝0.1 m 当A速度最大时，A的加速度为0 则有mg＝kx2＋mgsin 30° 弹簧伸长量x2＝0.1 m 所以A沿斜面上升x1＋x2＝0.2 m。 (3)因x1＝x2，故弹性势能改变量ΔEp＝0，由系统机械能守恒有： mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2mv2，解得v＝1 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $