9.2.1总体取值规律的估计 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦“总体取值规律的估计”，核心内容包括频率分布表与直方图的制作、用统计图表估计总体。课堂以小吴开支统计图情景引入，通过7个问题链引导学生从数据观察到分组、频率计算，逐步构建知识支架，衔接数据处理与图表应用。 资料以问题驱动探究，结合生活实例与数据问题链培养数学思维，通过直方图、折线图等多样统计图表应用强化数学语言表达，发展数据分析能力。例题与练习覆盖图表制作、参数计算及实际估计，助力学生用数学眼光分析现实问题，提升学习效率与应用意识。

9.2.1总体取值规律的估计 【学习目标】 学习统计图表、培养学生数据分析能力 【学习重难点】 1. 掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法 (重点、难点) 2. 掌握用频率分布直方图估计总体．(重点) 【学习过程】 一、情景引入 小吴一星期的总开支(单位：元)分布如图所示，不同统计图中分别能分析出什么不同的信息？ 二、探究新知 问题1　阅读课本192页问题1中100户居民用户月均用水量的数据，你能直接看出数据有什么规律、集中在哪个范围内吗？ 提示 学生不能看出规律、引导学生说出：需要对数据进行处理，用统计图表表示更直观 问题2 如何确定一个比较合理的标准,以使大部分居民用户的水费支出不受影响? 提示 每户居民月均用水量标准如果定得太低,会影响很多居民的日常生活;如果标准太高,则不利于节水.明确月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例（如何分布）。 问题3 数据的最大值、最小值是什么？怎么分组？ 提示 最大值28.0t，最小值1.3t。数据分组的组数与数据的个数有关,一般数据的个数越多,所分组数也越多.当样本容量不超过100时,常分成5∼12组.为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”。 问题4 如何确定每组数据的频率？ 提示 列频率分布表 问题5　如何直观展示每组数据频率的差异？ 提示　横轴表示月均用水量,纵轴表示这里,实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度,它反映了各组样本观测数据的疏密程度.因为 追问 频率分布直方图与频数分布直方图有什么区别? 频率分布直方图各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.容易知道,在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1. 频数分布直方图各长方形的高表示相应各组的频数。 问题6 观察图表，你能从中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律 提示 从频率分布表9.2-1可以清楚地看出,样本观测数据落在各个小组的比例大小.例如,月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多,在区间[1.2,4.2)内的次之,而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小,等等. 从频率分布直方图9.2-1容易看出,居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的,图形的左边高、右边低,右边有一个较长的“尾巴”.这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域,尤其在区间[1.2,7.2)最为集中,少数居民用户的月均用水量偏多,而且随着月均用水量的增加,居民用户数呈现降低趋势. 问题7 阅读课本198页，体会不同统计图的区别。 提示 条形图能直观显示每组中的具体数据； 扇形图能直观显示各部分所占总体的百分比； 折线图能直观显示数据的变化趋势； 直方图能直观显示数据的分布情况． 结论形成： 1．画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差是一组数据中__最大值__与__最小值__的差． (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成__5～12__组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、__频数累计__、频数、__频率__．其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__． (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示__频率组距__．小长方形的面积＝组距×__频率组距__＝__频率__．各小长方形的面积和等于1. 2．其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随时间的变化趋势 三、 例题解析 例1. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度(单位:),按从小到大排序结果如下: 请你选择合适的组距,作出这个样本的频率分布直方图,分析这批棉花纤维长度分布的特征; 练习1. 为了了解某校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如下(单位：cm)： 分组 [147.5，155．5) [155.5，163．5) [163.5，171．5) [171.5，179．5] 频数 6 21 27 m 频率 a 0.1 (1)求出表中a，m的值； (2)画出频率分布直方图． 解析　(1)由题意得6＋21＋27＋m＝60， 所以m＝6. a＝＝0.45，所以a＝0.45. (2)作出频率分布直方图如图所示： 　 例2. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的值为 (2)在被调查的用户中,用电量落在区间内的户数为 解析　 练习2. 某校高一年级有学生2 000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按[95，105)，[105，115)，[115，125)，[125，135)，[135，145]分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求m的值； (2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上(含125次)成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 解析　(1)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 可得(0.01＋0.02＋m＋m＋0.01)×10＝1， 解得m＝0.03. (2)可知高一学生1分钟跳绳成绩良好包括[125，135)，[135，145]两组， 故高一学生1分钟跳绳成绩良好的频率为(0.03＋0.01)×10＝0.4， 因此该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数约为2 000×0.4＝800(人). 　 例3 (多选题)教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生的睡眠时间，利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有(　　) A．高三年级学生平均学习时间最长 B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到该通知中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准 C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间 D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠 解析 AD根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误；根据图象可知，中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确；学习时间长于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，占比为，睡眠时间长于学习时间的占比为，C选项正确；从高三到大学一年级，学习时间减少了9.65－5.71＝3.94(小时/天)，睡眠时间增加了8.52－7.91＝0.61(小时/天)，D选项错误． 练习3如图是根据某中学为地震灾区捐款(单位：元)的情况而制作的统计图．已知该校在校学生为3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元． 解析　根据统计图，得 高一年级人数为3 000×32%＝960，捐款960×15＝14 400(元)； 高二年级人数为3 000×33%＝990，捐款990×13＝12 870(元)； 高三年级人数为3 000×35%＝1 050，捐款1 050×10＝10 500(元). 所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元). 解析 AC从折线图中能看出世界人口的变化情况，故A正确；从条形图中可得到，2050年非洲人口大约将达到18亿，故B错误；从扇形图中能够明显地得到，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误． 支出(元) 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 25 20 30 22 35 40 28 星期(日) 支出(元) 开支(元) 储蓄 通讯开支 娱乐开支 日常开支 食品开支 其他 60 10 20 40 60 10 类别 开支(元) 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.1总体取值规律的估计 【学习目标】 学习统计图表、培养学生数据分析能力 【学习重难点】 1. 掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法 (重点、难点) 2. 掌握用频率分布直方图估计总体．(重点) 【学习过程】 一、情景引入 小吴一星期的总开支(单位：元)分布如图所示，不同统计图中分别能分析出什么不同的信息？ 二、探究新知 问题1　阅读课本192页问题1中100户居民用户月均用水量的数据，你能直接看出数据有什么规律、集中在哪个范围内吗？ 问题2 如何确定一个比较合理的标准,以使大部分居民用户的水费支出不受影响? 问题3 数据的最大值、最小值是什么？怎么分组？ 问题4 如何确定每组数据的频率？ 问题5　如何直观展示每组数据频率的差异？ 问题6 观察图表，你能从中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律？ 问题7 阅读课本198页，体会不同统计图的区别。 结论形成： 1．画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差是一组数据中 与 的差． (2)定组距与组数：样本容量不超100时，常分成 组，为方便起见，一般 ，且组距力求 ． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列： 、 、 、 ．其中频数合计应是 ，频率合计是 ． (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 ．小长方形的面积＝ × ＝_ ．各小长方形的面积和等于 . 2．其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的 和 折线图 描述数据随 的 三、 例题解析 例1. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度(单位:),按从小到大排序结果如下: 请你选择合适的组距,作出这个样本的频率分布直方图,分析这批棉花纤维长度分布的特征; 练习1. 为了解某校高一年级学生的身高情况，选取一个容量为60的样本，分组情况如下(单位：cm)： 分组 [147.5，155．5) [155.5，163．5) [163.5，171．5) [171.5，179．5] 频数 6 21 27 m 频率 a 0.1 (1)求出表中a，m的值；(2)画出频率分布直方图． 例2. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的值为 (2)被调查用户中,用电量落在内的户数为 练习2. 某校高一年级有学生2000名，为了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按[95，105)，[105，115)，[115，125)，[125，135)，[135，145]分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求m的值；(2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上(含125次)成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 　 例3 (多选题)教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生的睡眠时间，利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有(　　) A．高三年级学生平均学习时间最长 B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到该通知中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准 C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间 D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠 练习3如图是根据某中学为地震灾区捐款(单位：元)的情况而制作的统计图．已知该校在校学生为3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元． 支出(元) 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 25 20 30 22 35 40 28 星期(日) 支出(元) 开支(元) 储蓄 通讯开支 娱乐开支 日常开支 食品开支 其他 60 10 20 40 60 10 类别 开支(元) 第 4 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $