1.导学案 04 第9章 9.2.1 第1课时 总体取值规律的估计(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第1课时　总体取值规律的估计 【学习目标】 1.掌握频率分布表与频率分布直方图的画法.(数学抽象) 2.能通过频率分布直方图对数据做出总体统计.(数据分析) 3.结合实例,能用样本的频率分布估计总体的频率分布.(数据分析) 必备知识·自主导学 一、样本数据处理的方法 为了探索一组数据的取值规律,一般先要用表格对数据进行整理,或者用图将数据直观表示出来.因此在一些实际问题的解决中,常常使用频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. 二、频率分布表和频率分布直方图 1.频率分布表 当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映样本的频率分布的表格称为频率分布表. 2.频率分布直方图 (1)绘制步骤 ①求极差:即一组数据中最大值与最小值的差. ②决定组距与组数:一般取等长组距,且组距应力求“取整”. 组数k=,若k∈Z,则组数为k,若k∉Z,则组数为不小于k的最小整数. ③将数据分组:各组均为左闭右开区间,最后一组是闭区间. ④列频率分布表:一般分四列:分组、划记、频数、频率,最后一行是合计,其中频数合计应是样本量,频率合计应是1. ⑤画频率分布直方图:在频率分布直方图中,纵轴表示,实际上就是各小长方形的高度,小长方形的面积=组距×=频率. (2)意义 频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,各小长方形的面积的总和等于1. 【教材深化】 表示频率分布的两种方法的优点与不足 项目 优点 不足 频率分布 表 表示数量较确切 不够直观形象,分析数据分布的总体态势不方便 频率分布 直方图 表示数据分布情况非常直观 原有的具体数据信息被抹掉了 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)频率分布直方图中数据的分组必须是等距的. (×) 提示:频率分布直方图中数据的分组可以是等距的,也可以是不等距的,要根据数据的特点而定,一般情况下按等距分组,或者除第一和最后的两段,其他各段按等距分组. (2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数. (×) 提示:频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率. (3)频率分布直方图中,直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值. (√) 提示:频率分布直方图的高就是该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值. 关键能力·师生共研 类型1频率分布直方图的绘制(数据分析) 【典例1】为了解九年级学生中女生的身高(单位:cm)情况,某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量,所得数据整理后列出频率分布表如表. 分组 频数 频率 [145.5,149.5) 1 0.02 [149.5,153.5) 4 0.08 [153.5,157.5) 20 0.40 [157.5,161.5) 15 0.30 [161.5,165.5) 8 0.16 [165.5,169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m,n,M,N的值; (2)画出频率分布直方图; (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm及以上的频率. 【解析】(1)方法一:N=1.00,n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,=, 解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50. 方法二:M==50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n===0.04. (2)画出频率分布直方图,如图所示. (3)由频率分布直方图可知,样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,且身高在161.5 cm及以上的频率为0.16+0.04=0.20,由此可估计全体女生中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,九年级学生中女生的身高在161.5 cm及以上的频率为0.20. 【总结升华】 绘制频率分布表和频率分布直方图分组技巧 在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系: (1)若为整数,则=组数; (2)若不为整数,则的整数部分+1=组数. 提醒:在画频率分布直方图时,纵轴表示“频率/组距”. 【即学即练】 调查某校初一年级男生的身高,随机抽取40名初一男生,实测身高数据(单位:cm)为: 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图; (3)根据抽取的40名男生的身高情况,用自己的语言描述一下该校初一男生身高的大致分布情况. 【解析】(1)最低身高为151 cm,最高身高为180 cm,它们的差是180-151=29,即极差为29;确定组距为4,组数为8,频率分布表如表所示. 分组 频数 频率 [150.5,154.5) 1 0.025 [154.5,158.5) 5 0.125 [158.5,162.5) 5 0.125 [162.5,166.5) 10 0.250 [166.5,170.5) 13 0.325 [170.5,174.5) 4 0.100 [174.5,178.5) 1 0.025 [178.5,182.5] 1 0.025 合计 40 1.000 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示. (3)从频率分布表中可以看出,将近60%的男生身高在162 cm至170 cm之间,身高在155 cm以下和175 cm以上的男生所占比例相对较小.(合理即可) 类型2频率分布直方图的相关计算与应用(数据分析) 【典例2】(1)某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况,并将所得数据按[200,300),[300,400),…,[700,800]分成六组,画出了样本频率分布直方图,则该工业园区内年收入落在区间[400,700)内的小型民营企业的频率为　　　　.  【解析】因为(0.001+0.002+2a+0.001 5+0.000 5)×100=1,所以a=0.002 5, 则年收入落在区间[400,700)内的小型民营企业的频率为0.25+0.25+0.15=0.65. 答案:0.65 (2)(2025·郴州高一检测)近年来,我国超重和肥胖率呈快速上升趋势,儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关,严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段,早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间,国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”3年行动,旨在通过系统性措施改善青少年健康状况,降低肥胖率.体重指数(BMI)=体重(kg)/身高(m)2,青少年的BMI理想范围参考值为:男生(15-18岁):17.5-23.5;女生(15-18岁):17.5-23.0;某城市对1 000名高中生的体重指数(BMI)进行了调查,BMI的分组区间为[14,16),[16,18),[18,20),[20,22),[22,24),[24,26),[26,28],调查结果的频率分布直方图如图所示. ①求频率分布直方图中x的值及高中生BMI的平均数及中位数; ②在BMI为[20,22),[22,24),[24,26)的三组学生中,用分层随机抽样的方法抽取10名学生,则BMI在[22,24)的学生中应抽取多少名? ③在②的条件下,在BMI为[22,24)和[24,26)的两组学生中任取2名学生,求这2名学生来自同一组的概率. 【解析】①由频率分布直方图面积和为1可得(0.01+0.1+0.115+0.125+x+0.05+0.025)×2=1, 解得x=0.075, 高中生BMI的平均数为 15×0.02+17×0.2+19×0.23+21×0.25+23×0.15+25×0.1+27×0.05=20.62, 因为前三组的频率之和为0.02+0.2+0.23=0.45, 所以中位数在[20,22)组, 设中位数为20+t,则0.45+0.125×2×=0.5,解得t=0.4, 所以中位数为20+0.4=20.4. ②BMI为[20,22),[22,24),[24,26)的频率之比为0.25∶0.15∶0.1=5∶3∶2, 共抽10名,则BMI为[22,24)的学生中应抽取10×=3名. ③由②可知,BMI为[22,24)的学生抽3人,设3人分别为A1,A2,A3, 则BMI为[24,26)的学生抽取10×=2人,设2人分别为B1,B2, 设事件C表示抽取的2名学生来自同一组, 总情况数有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种, 2名学生来自同一组的情况有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共4种, 则P(C)==. 【总结升华】 与频率分布直方图有关计算的关系式 ×组距=频率,=频率, 变形式为=样本量,样本量×频率=频数. 【即学即练】 为了了解某年龄段1 000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部在13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8. (1)请估计该年龄段学生中百米成绩在[16,17)内的人数; (2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩; (3)求抽取的百米成绩在第一、第五组的学生人数. 【解析】(1)百米成绩在[16,17)内的频率为0.32×1=0.32,0.32×1 000=320,所以估计该年龄段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320. (2)设题图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x.依题意,得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1,所以x=0.02. 设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩,则8×0.02=,解得n=50,所以调查中随机抽取了50名学生的百米成绩. (3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×50=3;百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第1课时　总体取值规律的估计 内容概览 【学习目标】 1.掌握频率分布表与频率分布直方图的画法.(数学抽象) 2.能通过频率分布直方图对数据做出总体统计.(数据分析) 3.结合实例,能用样本的频率分布估计总体的频率分布.(数据分析) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、样本数据处理的方法 为了探索一组数据的取值规律,一般先要用_____对数据进行整理,或者用 ___将数据直观表示出来.因此在一些实际问题的解决中,常常使用_______ _____和_______________来整理和表示数据. 二、频率分布表和频率分布直方图 1.频率分布表 当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布. 我们把反映样本的频率分布的表格称为频率分布表. 表格 图 频率分 布表 频率分布直方图 返回 2.频率分布直方图 (1)绘制步骤 ①求极差:即一组数据中最大值与最小值的差. ②决定组距与组数:一般取等长组距,且组距应力求“取整”. 组数k=, 若k∈Z,则组数为k,若k∉Z,则组数为不小于k的最小整数. ③将数据分组:各组均为_________区间,最后一组是闭区间. 左闭右开 返回 ④列频率分布表:一般分四列:分组、划记、频数、频率,最后一行是 _____,其中频数合计应是_______,频率合计应是__. ⑤画频率分布直方图:在频率分布直方图中,纵轴表示,实际上就是各 小长方形的高度,小长方形的面积=组距×=频率. (2)意义 频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的_____,各小长方形 的面积的总和等于__. 合计 样本量 1 频率 1 返回 【教材深化】 表示频率分布的两种方法的优点与不足 项目 优点 不足 频率分布 表 表示数量较确切 不够直观形象,分析数据 分布的总体态势不方便 频率分布 直方图 表示数据分布情况非常 直观 原有的具体数据信息被 抹掉了 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)频率分布直方图中数据的分组必须是等距的.( ) 提示:频率分布直方图中数据的分组可以是等距的,也可以是不等距的,要根据数 据的特点而定,一般情况下按等距分组,或者除第一和最后的两段,其他各段按等 距分组. (2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.( ) 提示:频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率. (3)频率分布直方图中,直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组 距的比值.( ) 提示:频率分布直方图的高就是该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值. × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1频率分布直方图的绘制(数据分析) 【典例1】为了解九年级学生中女生的身高(单位:cm)情况,某中学对九年 级部分女生身高进行了一次测量,所得数据整理后列出频率分布表如表. 分组 频数 频率 [145.5,149.5) 1 0.02 [149.5,153.5) 4 0.08 [153.5,157.5) 20 0.40 [157.5,161.5) 15 0.30 [161.5,165.5) 8 0.16 [165.5,169.5] m n 合计 M N 返回 (1)求出表中m,n,M,N的值; (2)画出频率分布直方图; (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?估计九年级学生中女生的身 高在161.5 cm及以上的频率. 【解析】(1)方法一:N=1.00,n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04, =, 解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50. 方法二:M==50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n===0.04. 返回 (2)画出频率分布直方图,如图所示. (3)由频率分布直方图可知,样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多, 且身高在161.5 cm及以上的频率为0.16+0.04=0.20,由此可估计全体女生中 身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,九年级学生中女生的身高在 161.5 cm及以上的频率为0.20. 返回 【总结升华】 绘制频率分布表和频率分布直方图分组技巧 在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系: (1)若为整数,则=组数; (2)若不为整数,则的整数部分+1=组数. 提醒:在画频率分布直方图时,纵轴表示“频率/组距”. 返回 【即学即练】 调查某校初一年级男生的身高,随机抽取40名初一男生,实测身高数据(单位:cm)为: 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图; (3)根据抽取的40名男生的身高情况,用自己的语言描述一下该校初一男生身高的大 致分布情况. 返回 【解析】(1)最低身高为151 cm,最高身高为180 cm,它们的差是180-151=29, 即极差为29;确定组距为4,组数为8,频率分布表如表所示. 分组 频数 频率 [150.5,154.5) 1 0.025 [154.5,158.5) 5 0.125 [158.5,162.5) 5 0.125 [162.5,166.5) 10 0.250 [166.5,170.5) 13 0.325 [170.5,174.5) 4 0.100 [174.5,178.5) 1 0.025 [178.5,182.5] 1 0.025 合计 40 1.000 返回 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示. (3)从频率分布表中可以看出,将近60%的男生身高在162 cm至170 cm之间, 身高在155 cm以下和175 cm以上的男生所占比例相对较小.(合理即可) 返回 类型2频率分布直方图的相关计算与应用(数据分析) 【典例2】(1)某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况, 并将所得数据按[200,300),[300,400),…,[700,800]分成六组,画出了样本频率 分布直方图,则该工业园区内年收入落在区间[400,700)内的小型民营企业 的频率为　　　　.  返回 【解析】因为(0.001+0.002+2a+0.001 5+0.000 5)×100=1,所以a=0.002 5, 则年收入落在区间[400,700)内的小型民营企业的频率为 0.25+0.25+0.15=0.65. 答案:0.65 返回 (2)(2025·郴州高一检测)近年来,我国超重和肥胖率呈快速上升趋势,儿童和青少年的肥 胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关,严重威胁公共健康.青少年时期 是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段,早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会” 期间,国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”3年行动,旨在通过系统性措施改善 青少年健康状况,降低肥胖率.体重指数(BMI)=体重(kg)/身高(m)2,青少年的BMI理想范 围参考值为:男生(15-18岁):17.5-23.5;女生(15-18岁):17.5-23.0;某城市对1 000名高中生 的体重指数(BMI)进行了调查,BMI的分组区间 为[14,16),[16,18),[18,20),[20,22),[22,24),[24,26), [26,28],调查结果的频率分布直方图如图所示. 返回 ①求频率分布直方图中x的值及高中生BMI的平均数及中位数; ②在BMI为[20,22),[22,24),[24,26)的三组学生中,用分层随机抽样的方法抽 取10名学生,则BMI在[22,24)的学生中应抽取多少名? ③在②的条件下,在BMI为[22,24)和[24,26)的两组学生中任取2名学生,求这 2名学生来自同一组的概率. 返回 【解析】①由频率分布直方图面积和为1可得 (0.01+0.1+0.115+0.125+x+0.05+0.025)×2=1, 解得x=0.075, 高中生BMI的平均数为 15×0.02+17×0.2+19×0.23+21×0.25+23×0.15+25×0.1+27×0.05=20.62, 因为前三组的频率之和为0.02+0.2+0.23=0.45, 所以中位数在[20,22)组, 设中位数为20+t,则0.45+0.125×2×=0.5,解得t=0.4, 所以中位数为20+0.4=20.4. 返回 ②BMI为[20,22),[22,24),[24,26)的频率之比为0.25∶0.15∶0.1=5∶3∶2, 共抽10名,则BMI为[22,24)的学生中应抽取10×=3名. ③由②可知,BMI为[22,24)的学生抽3人,设3人分别为A1,A2,A3, 则BMI为[24,26)的学生抽取10×=2人,设2人分别为B1,B2, 设事件C表示抽取的2名学生来自同一组, 总情况数有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种, 2名学生来自同一组的情况有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共4种, 则P(C)==. 返回 【总结升华】 与频率分布直方图有关计算的关系式 ×组距=频率,=频率, 变形式为=样本量,样本量×频率=频数. 返回 【即学即练】 为了了解某年龄段1 000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百 米成绩,成绩全部在13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组 [13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直 方图如图所示,已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二 组的频数为8. (1)请估计该年龄段学生中百米成绩在[16,17)内的人数; (2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩; (3)求抽取的百米成绩在第一、第五组的学生人数. 返回 【解析】(1)百米成绩在[16,17)内的频率为0.32×1=0.32,0.32×1 000=320, 所以估计该年龄段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320. (2)设题图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x.依题意,得 3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1,所以x=0.02. 设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩,则8×0.02=,解得n=50,所以调查 中随机抽取了50名学生的百米成绩. (3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×50=3;百米成绩在第五组的学生 数有0.08×1×50=4. 返回 $