精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估数学试卷

江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求每一个同学报名的方法数，再求5个同学不同的报名总数. 【详解】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学， 则有种报名方法. 故选：D. 2. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【详解】得，所以， 所以，所以. 3. 已知，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 4. 二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 672 B. 84 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 6. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 7. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出，其中，令，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由可得，其中， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，， 所以存在，使得，即， 且当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为，则，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得，所以，可得， 故， 因此实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知m，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为m，且， 对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确； 对于选项B：因为， 整理得，解得或（舍去），故B正确； 对于选项C：因为 ， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可知，故D错误； 故选：ABC. 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到的可能取值为，结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得，结合选项，即可求解. 【详解】由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1， 且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立， 对于A，若，即各位数字都是，所以，所以A不正确； 对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以，所以B正确； 对于C，由随机变量，可得的可能取值为， 则，，， ，， 可得随机变量服从二项分布，所以，所以C正确； 对于D，由随机变量服从二项分布，可得， 设，可得，即，所以D正确. 11. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为 C. 当二面角的余弦值为时， D. 若二面角的大小为，且时，直线PB与AC所成角的余弦值最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用线面垂直的判断判断A；确定三棱锥体积最大时图形位置，并求出球半径计算判断B；利用空间向量数量积判断C；求出异面直线夹角余弦的函数关系求解判断D作答. 【详解】在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形， 取的中点，连接，如图，则， 又平面，则平面，又平面，所以，A正确； 平面，则有平面平面，又平面平面， 于是点在平面上的射影在直线上，点到平面的距离， 当且仅当时取等号，而面积为定值，即最大时三棱锥的体积最大， 此时平面平面，且平面，平面，令的中心分别为， 三棱锥外接球球心为，则平面，平面，于是， 四边形是矩形，，， 因此三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的体积，B错误； 由选项A知，为二面角的平面角，即， 因为，所以 ，因此，C正确； 二面角的大小为，即，于是 ，记直线与所成角的大小为， 则，当 时, ，， 因此，则，所以的最大值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下图所示：若关于的线性回归方程为，则__________． 2 3 5 6 20 35 50 55 【答案】6 【解析】 【详解】由题意得，， 代入回归直线方程得，解得. 13. 已知盒子中有除颜色外完全相同的6个乒乓球，其中有2个白色的，4个橙色的．若每次随机抽取1个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第2次取球后恰好停止的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得每次取到白球和橙球的概率，结合独立重复试验的概率公式和对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意知，每次取到白球的概率为，取到橙球的概率为，且每次取球是相互对立的， 所以所求概率为． 故答案为： 14. 函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，将问题化为在上恒成立，构造函数，得到，结合导数求满足条件的参数范围即可. 【详解】，在上恒成立， 由，则， 所以在上恒成立， 令，则， 所以，可得， 令，则，即在递增， 而， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据区间单调性，将问题转化为在上恒成立为关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为：. 乙机床生产的产品中一级品的频率为：. （2）依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 【解析】 【分析】（1）直接计算频率即可. （2）先计算，再与给出的数据进行比较，即可得出结论. 【小问1详解】 甲机床生产的产品中一级品的频率为：. 乙机床生产的产品中一级品的频率为：. 【小问2详解】 由题意：. 因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 16. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求二项展开式中各项二项式系数和； （2）求二项展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题目条件得到方程，求出，从而得到各项二项式系数和； （2）求出展开式的通项公式，从而得到不等式组，求出，得到系数最大的项. 【小问1详解】 由题意得，即，解得或0（舍去）； 故二项展开式中各项二项式系数和为， 【小问2详解】 展开式的通项公式为， 设展开式中系数的绝对值最大的项为， 则，解得， 又，∴， ∴展开式中系数的最大的项为． 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）分布列见解析，期望1.125 （2）分布列见解析，期望1.125 【解析】 【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0,1,2,3.则的分布列和数学期望易求： (2)由题意可知服从二项分布，且，则机变量的分布列和数学期望.可求 【小问1详解】 由题意知， 的值为0,1,2,3. ， ， ， . ∴的分布列为: 0 1 2 3 ． 【小问2详解】 由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为P=，=0,1,2,3. 且. . 的分布列为： 0 1 2 3 ． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【小问1详解】 ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 【小问2详解】 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 【小问3详解】 由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19. 已知函数为函数的导函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）二次求导，得到当时，，故，得到，从而得到在上的单调性； （2）求导得到，时，结合函数单调性得到在不存在极大值，舍去，当时，令，得，与比较，分类讨论，结合函数单调性和极值情况，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 设， 则． 当时，， 当时，． 当时，令，则． 当时，，则即单调递增； 当时，，则即单调递减； 当时，，则即单调递增． 综上，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由（1）知， ， ． （ｉ）当时，在内，恒成立， 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，在内有唯一的极小值点，不存在极大值，不符合题意． （ⅱ）当时，令，得， 当时，；当时，． ①当，即时，若，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 故在处取得内的唯一极大值，符合题意． 若，即， 则当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故在处取得内的唯一极大值，符合题意． ②当，即时， 若，则单调递减， 若，则单调递减， 故在内无极值，不符合题意． ③当，即时，在内单调递减， 在内单调递增，在内单调递减， 故在处取得内的唯一极大值，符合题意． ④当，即时，在内单调递减，在内单调递增， 故在处取得内的唯一极小值，不存在极大值，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】导函数处理零点或极值点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是利用函数的单调性判断函数的走势，从而判断极值点或零点个数，较为复杂和综合的函数极值点或零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 3. 已知，则为（ ） A. B. C. D. 4. 二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 672 B. 84 C. D. 5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 6. 若事件满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知m，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. 若，则 C. D. 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 11. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为 C. 当二面角的余弦值为时， D. 若二面角的大小为，且时，直线PB与AC所成角的余弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下图所示：若关于的线性回归方程为，则__________． 2 3 5 6 20 35 50 55 13. 已知盒子中有除颜色外完全相同的6个乒乓球，其中有2个白色的，4个橙色的．若每次随机抽取1个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第2次取球后恰好停止的概率为______． 14. 函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求二项展开式中各项二项式系数和； （2）求二项展开式中系数最大的项． 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19. 已知函数为函数的导函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $