精品解析：江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年高二第二学期第一次素质检测数学试题

启东市第一中学2024-2025年度第二学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 审题人：朱海林） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架上有20本内容互不相同的书，其中6本数学书，4本语文书，10本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为（ ） A. 144种 B. 124种 C. 100种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】分类考虑，可能是数学和语文学科，可能是数学和英语学科也可能是语文和英语学科，根据分类加法原理求得答案. 【详解】由题意可得，若是数学和语文学科，则有种不同方案， 若是数学和英语学科，则有种不同方案， 若是英语和语文学科，则有种不同方案， 故根据分类加法原理可得共有种不同学科的方案数， 故选：B 2. 随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得. 【详解】因为， 所以，，，， 则，解得， 所以，， 所以. 故选：A 3. 现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用缩小样本空间法求出条件概率. 【详解】在甲被选中的前提下，再从余下7人中选出2人，有种方法， 其中乙被选中的情况，有种方法， 所以所求概率为. 4. 若能被8整除，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理展开，结合整除即可得解. 【详解】因为， 所以能被整除，故四个选项中只有D符合. 故选：D 5. 某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.86 C. 0.87 D. 0.88 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”， “从车间中随机取出一件产品是合格品”， 则， 所以， 故选：C 6. 展开式中的常数项为（ ） A. 70 B. C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】，该二项式的通项公式为：， 当时，常数项为； 当时，二项式的通项公式为， 令， 当时，，当时，， 所以常数项为； 综上常数项为. 故选：A 7. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值. 【详解】离散型随机变量X服从二项分布， 所以有， ， 所以，即，（，） 所以 ， 当且仅当时取得等号． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 8. 把半圆分成4等份，以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，记这3个三角形中钝角三角形的个数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一共可做出10个三角形，其中钝角三角形有7个，由题意可知，分别求出对应概率，从而可求得数学期望. 【详解】解：以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，一共能作出个三角形， 其中钝角三角形有个， 所以， ， ， ， ， 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 常数项为第三项 B. 展开式的二项式系数和为729 C. 展开式系数最大项为第三项 D. 展开式中系数最大项的系数为240 【答案】CD 【解析】 【分析】写出的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A，求出展开式的二项式系数和可判断B，解出不等式组可判断CD. 【详解】的二项展开式的通项为， 令得，所以常数项为第四项，故A错误； 展开式的二项式系数和为，故B错误； 由可得，所以， 所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为，故C、D正确； 故选：CD. 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对ABD选项根据条件概率公式求解；对C选项根据求解. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，，所以，B错误； 因此，，C正确； 从而．D正确． 故选：ACD 11. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用超几何分布及二项分布的期望公式计算判断A；求出概率判断BCD. 【详解】对于A，分别服从超几何分布和二项分布，而摸到黄球的概率为， 则，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，， ，因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 【答案】0.52## 【解析】 【分析】先根据对称性得到，结合求出答案. 【详解】由对称性可知，，故. 故答案为：0.52 13. 不等式的解集为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据排列数的定义得到且，再根据排列数的性质得到不等式求出解集，得到答案. 【详解】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为： 14. 已知随机事件满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由乘法公式及事件和的概率公式代入数据即可. 【详解】，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中，且的系数是． （1）求a的值； （2）计算：（i）； （ⅱ） （以上结果可保留幂的形式） 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出的二项展开式的通项，令，可求出的系数，列方程可求a的值； （2）（i）令和得两个等式，利用两个等式整体计算可得；（ⅱ）令，则，可得，通过展开式的通项可得各项展开式系数的正负，进而可得的值. 【小问1详解】 的二项展开式的通项为， 令，得， ，又， ； 【小问2详解】 （i）由（1）得， 令得①， 令得②， ①②得，， ①②得，， ; （ⅱ）令，则， ， 的二项展开式的通项为， 为正数，为负数， . 16. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． （1）比20000大的五位偶数共有多少个； （2）从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ （3）能被6整除的五位数有多少个． 【答案】（1）240 （2）352 （3）108 【解析】 【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【小问1详解】 根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； 【小问2详解】 根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； 【小问3详解】 根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 17. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． （1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； （2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率可得； （2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D， 则 ． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是． 【小问2详解】 记事件B为购买的电器合格， 记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，， ，，，，，， ． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为． 18. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品. （1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率； （2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得所求概率. （2）利用二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件， 则；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率， 由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 P . 19. 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. （1）求，，. （2）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式. 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据当小球三次碰撞均向左偏或均向右偏时能落入B袋，分别计算出落入B袋和A袋的概率，进而求得； （2）根据游戏过程中累计得n分的两种情况可得，进而得到为常数列，从而得到与之间的递推关系，根据递推关系即可得到通项公式. 【小问1详解】 小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率， 小球落入袋中的概率. 故，，. 【小问2详解】 游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分， 故 ， 故为常数数列且，故即. ， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 所以的通项公式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024-2025年度第二学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 审题人：朱海林） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架上有20本内容互不相同的书，其中6本数学书，4本语文书，10本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为（ ） A. 144种 B. 124种 C. 100种 D. 84种 2. 随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 3. 现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若能被8整除，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 5. 某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.86 C. 0.87 D. 0.88 6. 展开式中的常数项为（ ） A. 70 B. C. 16 D. 64 7. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 4 8. 把半圆分成4等份，以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，记这3个三角形中钝角三角形的个数为X，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 常数项为第三项 B. 展开式的二项式系数和为729 C. 展开式系数最大项为第三项 D. 展开式中系数最大项的系数为240 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 13. 不等式的解集为________. 14. 已知随机事件满足，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中，且的系数是． （1）求a的值； （2）计算：（i）； （ⅱ） （以上结果可保留幂的形式） 16. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． （1）比20000大的五位偶数共有多少个； （2）从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ （3）能被6整除的五位数有多少个． 17. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． （1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； （2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 18. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品. （1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率； （2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望. 19. 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. （1）求，，. （2）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $