精品解析：江苏省宝应中学、高邮中学2025-2026学年第二学期4月学情检测高二数学试题

2025～2026学年第二学期4月学情检测 高二数学试题 分值：150分　时间：120分钟 一、 选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 若，则（    ） A. B. 6 C. 3 D. 2. 已知向量与共线，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 或2 D. 或1 3. 函数为自然对数的底数在上（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D. 是减函数 4. 在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 5. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 7. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、 选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则有最小值 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象过定点 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，恒成立 D. 存在，使得与轴相切 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 13. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 14. 已知函数有两个极值点，，且，为函数的导函数，则的所有零点和为______. 四、 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； 16. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 17. 如图，在长方体ABCD-中，点E为AD的中点，点P为中点，且， （1）求点P到平面的距离； （2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 19. 已知 （1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期4月学情检测 高二数学试题 分值：150分　时间：120分钟 一、 选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 若，则（    ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义可得. 【详解】由，得， 即，即， 所以. 2. 已知向量与共线，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的性质求得结论即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得或， 故选：D. 3. 函数为自然对数的底数在上（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D. 是减函数 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而得解； 【详解】解：依题意，当时，，故函数在上单调递增，故没有极值点. 故选：C. 4. 在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果． 【详解】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 5. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 6. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 7. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】， 则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数的图象如下图所示： 所以当时， 即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故选：D. 8. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果. 二、 选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断. 【详解】A：在上的投影向量为，对； B：在中，故P，A，B，C四点共面，对； C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错； D：由，即，故，对. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则有最小值 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，研究函数单调得有最大值，无最小值判断A；对于B，结合A选项的单调区间得时的单调区间，即可判定；对于C，根据函数单调性判断即可；对于D，结合A选项得，再构造函数证明即可. 【详解】函数的定义域为， 对于A，当时，得， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有最大值，无最小值，故A选项不正确； 对于B，当时，由A选项知，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值，故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由A选项知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象过定点 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，恒成立 D. 存在，使得与轴相切 【答案】AC 【解析】 【分析】A计算即可；B求导研究其单调性即可；C根据单调性求其最小值即可；D假设存在，列出方程组，，通过构造函数，来得出矛盾. 【详解】，故A正确； 当时，，， 因在上单调递增，且，， 故存在使得，即，， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时等号成立，因，故而恒成立，故B错误，C正确； 假设存在使得与轴相切，设切点为， 因，则切线斜率为， 故方程组，有解， 化简得， 令，则，则在上单调递减， 因，，故， 令，则，故在上单调递增， 因且，则，与矛盾， 故不存在，使得与轴相切，故D错误. 故选：AC 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 13. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围． 【详解】由，可得， 当，，所以在单调递减， ， ，在上单调递增， ， 对任意的，都有成立， ， ， 故答案为：． 14. 已知函数有两个极值点，，且，为函数的导函数，则的所有零点和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，是方程的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性求出，进而求解即可. 【详解】已知，则. 因为函数有两个极值点，，所以，是的两个实根，即的两个实数根. 易知，，，所以，是的两个不等实数根. 令，则. 当或时，；当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，. 所以，，，，所以， 由，得，所以，，则. 故的所有零点和为. 四、 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，又因为， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以． 16. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值是，最大值是； （2）． 【解析】 【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值. （2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 的定义域为，，，则， 解得， 故，令，即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 【小问2详解】 在区间上恒成立，故， 设，当时，是增函数，其最小值为， 故，即实数的取值范围为． 17. 如图，在长方体ABCD-中，点E为AD的中点，点P为中点，且， （1）求点P到平面的距离； （2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， ，，，设平面的法向量为，则有 ，令，则，点到平面的距离为. 【小问2详解】 由（1）可知：，，，设平面的法向量为，则有，令，则， 设直线BP与平面PEC所成角为，则. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 19. 已知 （1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答. （2）（i）求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可. （ii）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 因为函数在区间单调递减，所以. 则，化简得. 解得. 【小问2详解】 （i）由题意，的定义域为，， 因为有两个极值点， 所以方程即在上有两不等实根， 即函数在上有两不同零点， 因此只需，解得，即实数的取值范围是； （ii）由（i）知，，，， 所以 ， 因此要证，即证， 即证， 构造函数，， 则， 又在上为减函数，所以在上单调递减， 又，， 由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即； 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又在上显然单调递增， 所以， 所以，即， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $