专题04 图形的相似（期末复习专项训练）八年级数学下学期鲁教版五四制

**基本信息** 以“概念-判定-性质-应用-模型”为逻辑主线，系统覆盖图形相似全考点，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |成比例线段与黄金分割|12题|比例性质应用、黄金分割计算|比例基础，为相似判定铺垫| |平行线分线段成比例|6题|平行线分线段计算与证明|连接比例与相似的桥梁| |相似多边形|7题|相似多边形性质与判定|从多边形到三角形的过渡| |相似三角形判定|12题|判定条件探究、网格相似|相似三角形核心能力| |相似实际应用|7题|测量问题、影子问题|体现应用意识，联系现实| |性质判定综合及动点|16题|综合证明、动态相似|深化性质与判定的综合运用| |图形的位似|18题|位似作图、坐标变换|相似的特殊形式，结合坐标| |相似常考模型|12题|一线三直角、旋转相似|提炼模型，提升解题效率|

专题04 图形的相似 题型1 成比例线段与黄金分割（常考） 题型5 相似三角形实际应用（难点） 题型2 平行线分线段成比例（常考） 题型6 相似三角形的性质与判定综合及动点问题（难点） 题型3 相似多边形（常考） 题型7 图形的位似（常考） 题型4 探索三角形相似的条件（难点） 题型8 相似三角形常考模型（难点） 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段与黄金分割（共12小题） 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如果线段，那么的值为（　　） A． B． C． D．2 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ． 7．（24-25九年级上·全国·期末）已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 11．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 题型二 平行线分线段成比例（共6小题） 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 15．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．    18．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 题型三 相似多边形（共7小题） 19．（22-23九年级上·山东济宁·期末）下列说法不正确的是（     ） A．所有的正五边形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似 20．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列各选项中的两个图形不一定相似的是（　　） A．两个斜边不等的等腰直角三角形 B．两个边长不等的菱形 C．两个边长不等的等边三角形 D．两个边长不等的正方形 21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 22．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 ． 23．（24-25九年级上·广西北海·期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为 ． 24．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．    25．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 题型四 探索三角形相似的条件（共12小题） 26．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 29．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 31．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    32．（24-25九年级上·河南濮阳·期末）如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 33．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 34．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 35．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 37．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶． 题型五 相似三角形实际应用（共7小题） 38．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题．其大意为：如图，已知古井的直径为5尺，不知古井的深度，在井口边沿处立木杆，且尺，从木杆顶部点观测古井底部对岸点，视线与井口直径交于点尺（寸），问古井的深度为多少尺．若设古井的深度为尺，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ． 40．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 41．（22-23九年级上·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 42.（23-24九年级上·辽宁大连·期末）2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．    43．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 44．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 题型六 相似三角形的性质与判定综合及动点问题（共16小题） 45．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 49．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 51．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，分别是的边上的点，，，且，则的长为 ． 52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    53．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 54．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么 ． 55．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？ 56．（24-25九年级上·河南焦作·期末）某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 57．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 58．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知：． (1)尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ． 59．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形． (1)在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）． (2)在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）． 60．（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 题型七 图形的位似（共18小题） 61．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 62．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 63．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 64．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 65．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 66．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 67．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 68．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 69．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是(   ) A． B．或 C．或 D． 70．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是 ． 71．（24-25九年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 ． 72．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则 ． 73．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 74．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 75．（24-25九年级上·全国·期末）已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到两倍，B，C两点的对应点分别为画出图形； (2)直接写出的坐标是 ． 76．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动．当以，，为顶点的三角形和相似时，求点坐标． 77．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图所示，点为方格纸上一格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)画出向左平移3个单位后的△A1B1C1 (3)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 78．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 题型八 相似三角形常考模型（共12小题） 79．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接， 求证：． 80．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值； 81．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 82．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D． (1)如图1，求证：． (2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 83．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图1，中，，，．延长到D，使，过D做交延长线于E． (1)  小明发现，不但存在，而且还能够得出：的长为________，的长为________； (2)将图1中的绕点A旋转到图2位置，连接，，当时，求的长度； (3)在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出的长度． 84．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． 85．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 86．（24-25九年级上·陕西西安·期末）   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 87．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 88．（23-24九年级上·山西长治·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． (1)【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； (2)【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； (3)【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 89．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，旋转角为 【初步感知】 （1）如图1，连接，将三角形纸片绕点B旋转，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 向阳小组的小明同学首先推导出的大小，接着小亮同学通过延长交于点H并连接，得到四边形的形状，然后小颖又推导出…你受到了什么启发？请写出完整的解答过程； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 90．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点． (1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为________； ②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长． $专题04 图形的相似 题型1 成比例线段与黄金分割（常考） 题型5 相似三角形实际应用（难点） 题型2 平行线分线段成比例（常考） 题型6 相似三角形的性质与判定综合及动点问题（难点） 题型3 相似多边形（常考） 题型7 图形的位似（常考） 题型4 探索三角形相似的条件（难点） 题型8 相似三角形常考模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段与黄金分割（共12小题） 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段．根据成比例线段，可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵2，6，7，x成比例，∴， 得， 解得， 故选：D． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形不正确，故本选项符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如果线段，那么的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】比例线段 【分析】根据线段的比的定义，按照题中条件直接求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查线段的比，熟记线段的比的定义是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可得，再把代入所求表达式中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为： 7．（24-25九年级上·全国·期末）已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ． 【答案】24 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段．根据比例线段的概念，列出比例式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故线段d的长是． 故答案为：24． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】60 【知识点】比例线段 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：60． 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 11．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【知识点】黄金分割、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 题型二 平行线分线段成比例（共6小题） 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 14．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活应用定理，找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：． 故选：A． 15．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理，可知，则的长可求． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．    【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得： 18．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型三 相似多边形（共7小题） 19．（22-23九年级上·山东济宁·期末）下列说法不正确的是（     ） A．所有的正五边形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似 【答案】D 【知识点】相似多边形 【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断． 【详解】解：A．所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意； B．所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意； C．所有的正三角形都相似，正确，故此选项不符合题意； D．所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，但对应角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备． 20．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列各选项中的两个图形不一定相似的是（　　） A．两个斜边不等的等腰直角三角形 B．两个边长不等的菱形 C．两个边长不等的等边三角形 D．两个边长不等的正方形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形的判定，如果两个图形的对应角相等且对应边的比例相等，那么这两个图形就是相似图形，据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A，两个斜边不等的等腰直角三角形，对应角相等且对应边的比例相等，一定相似； B，两个边长不等的菱形，对应边的比例相等但对应角不一定相等，不一定相似； C，两个边长不等的等边三角形，对应角相等且对应边的比例相等，一定相似； D，两个边长不等的正方形，对应角相等且对应边的比例相等，一定相似； 故选B． 21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】相似多边形的性质 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 22．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比． 根据相似多边形周长的比等于相似比计算即可得到答案． 【详解】解：设较大四边形的周长为， 由题意得：， 解得：， 较大四边形的周长为， 故答案为： ． 23．（24-25九年级上·广西北海·期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为 ． 【答案】 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ， 解得：． 故答案为：． 24．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．    【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据得到，即可求解． 【详解】解：， ， ． ，， ， 则． 25．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 【答案】米 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等是解题的关键； 根据多边形的性质之列出比例式，计算即可． 【详解】矩形矩形 ，即， 设的长为x米 ， 解得： ，或（负数不合题意舍去）， 的长为米。 题型四 探索三角形相似的条件（共12小题） 26．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 27．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 28．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由两个角对应相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； B.因为，，即，根据两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； C. 由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； D.该选项条件中，相等的角不是对应成比例两边的夹角，故不能证明三角形相似，该选项错误，符合题意． 故选：D． 29．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 30．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 31．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·河南濮阳·期末）如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 【答案】② 【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 33．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【详解】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 34．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据互余可得，再由角平分线得到，即可证明． 【详解】证明：∵是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 35．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【答案】；见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 【详解】证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 【答案】证明见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 37．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了作图—作已知角的角平分线，相似三角形的判定，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用角平分线定义结合已知可得，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）由（1）可得：， ， ， 又， ． 题型五 相似三角形实际应用（共7小题） 38．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题．其大意为：如图，已知古井的直径为5尺，不知古井的深度，在井口边沿处立木杆，且尺，从木杆顶部点观测古井底部对岸点，视线与井口直径交于点尺（寸），问古井的深度为多少尺．若设古井的深度为尺，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据题意得到，得到，进而得到，列出方程即可． 【详解】解：由图和题意可知：， ∴， ∴，即：； 故选A． 39．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可． 【详解】解：设小明爸爸的影子长为， 由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 40．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，过点F作，交于G，交于H，根据相似三角形的判定可以得到； 根据相似三角形的对应边成比例，可以求出的长度，结合人的身高，可以得到电视塔的高度. 【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图， 由题意可知：， ∴， ∴，即， 解得：. 所以(米). 故答案为：. 41．（22-23九年级上·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 【答案】10米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 米． 42.（23-24九年级上·辽宁大连·期末）2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．    【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ， ， 根据题意得，，，， ， 答：的大致距离为． 43．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，光的反射定律，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由光的反射定律即可得到答案； （2）证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 44．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】相似三角形实际应用、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六 相似三角形的性质与判定综合及动点问题（共16小题） 45．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 46．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用网格求三角形面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和三角形的面积，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 先将图中标记字母，证明，利用相似三角形得到，则，，接着证明，则，根据比例的性质得到，然后推出面积之比为，代入计算即可． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为， 故选：C． 47．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 48．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 49．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 50．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 【答案】或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”是解题关键．根据面积比，可得相似比为，周长比也为，然后分为较小三角形的周长和为较大三角形的周长两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设相似比为，则面积比为， 解得（负值舍去），即周长比也为， 若为较小三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 若为较大三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 综上所述，另一个三角形的周长是或． 51．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，分别是的边上的点，，，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】利用相似求坐标 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 53．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．设再经过t秒与相似，分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 54．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么 ． 【答案】6 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了三角形的重心及平行线分线段成比例，熟知三角形重心的性质及平行线分线段成比例是解题的关键． 根据三角形重心的性质得出，再结合平行线分线段成比例及的长，可求出的长，据此求出的长即可． 【详解】∵点是的重心， 又 故答案为：6． 55．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？ 【答案】3或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 先表示，，，再分和两种情况求解． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 综上所述：经过3或秒时，与相似． 56．（24-25九年级上·河南焦作·期末）某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【知识点】证明三角形的对应线段成比例、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键． 由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意可证四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 57．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【知识点】等边对等角、利用两角对应相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 58．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知：． (1)尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】重心的有关性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得． 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ， ②作的垂直平分线交于点， ③连接、相交于点， ④标出点 ，点 即为所求； （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴． 59．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形． (1)在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）． (2)在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定，正多边形与圆，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （2）根据相似三角形的判定画出三角形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，，即为所求（答案不唯一）． 60．（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】（1），，（2）①   ②见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明可推出结论； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；②由①知，得出．再结合（1），即可推出结论． 【详解】【观察发现】（1）解：嘉嘉得出，理由如下： ， ． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：，，； 【探究应用】（2）①解：，， ， ； ②证明：由①知， ， ． 由（1）得， ， ． 题型七 图形的位似（共18小题） 61．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 62．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】判断位似中心 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 63．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．18 D．32 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得，再由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为32， 故选：D． 64．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、坐标与图形综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，熟练掌握位似的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由图可得，，根据位似的性质可得点的坐标是或． 【详解】解：由图可得，， ∵矩形与矩形关于点O位似，且相似比为， ∴点的坐标是或，即或． 故选：B． 65．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 66．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 67．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 68．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 69．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是(   ) A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可． 【详解】解：以坐标原点O为位似中心，将放大为原来的2倍， 则：点E的对应点的坐标是或，即：或； 故选C． 70．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质，利用如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可得出答案． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与位似的，使得与的相似比为2， ∴点的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 71．（24-25九年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 ． 【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查的是位似图形的概念．由位似图形的概念可知、位似中心是直线与直线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图， 由图形可知，位似中心的坐标为． 故答案为：． 72．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则 ． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先求出，再根据位似图形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即， 故答案为：． 73．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 74．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似图形、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）由（1）知：与的相似比为：， ∴与的面积比为：， ∵面积为m， ∴的面积为； 故答案为：． 75．（24-25九年级上·全国·期末）已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为． (1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到两倍，B，C两点的对应点分别为画出图形； (2)直接写出的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)的坐标是 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查的是作位似图形， （1）延长到，使，则就是B的对应点，同样可以作出C的对应点，则对应的三角形即可得到； （2）根据（1）的作图即可得到的坐标． 【详解】（1）解：是所求的三角形； （2）的坐标是． 76．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动．当以，，为顶点的三角形和相似时，求点坐标． 【答案】或或 【知识点】坐标与图形综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，坐标与图形性质，分类讨论是解题的关键．根据已知条件得到，，，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，，， ，，，， ， 当以，，为顶点的三角形和相似时， 或 或 解得：或或， 或或． 77．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图所示，点为方格纸上一格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)画出向左平移3个单位后的△A1B1C1 (3)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，，或，， 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查作图——建立平面直角坐标系、平移变换、位似变换，熟练掌握平移的性质、位似的性质是解答本题的关键． （1）以为原点建立平面直角坐标系，再写出、、三点坐标即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据位似的性质作图即可，注意在的同侧、异侧各有一个． 【详解】（1）解：如图所示，，，． （2）如图所示． （3）如图所示． ，，或，， 78．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用勾股定理的逆定理求解、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 题型八 相似三角形常考模型（共12小题） 79．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接， 求证：． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定，由勾股定理可得，结合，得出，再由，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，，， ，， ， ， ． 80．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值； 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到，再利用两角相等的三角形相似求解． （2）由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：三角形是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：是等边三角形，点是中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 81．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作的延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在上截取，使，连接． ，， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或，． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 82．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D． (1)如图1，求证：． (2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得，可证，由此即可求解； ②根据平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点C作，与延长线交于点H，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解：①∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则， 由（1）知，， 则， ∵， ∴， 解得， 过点C作，与延长线交于点H，如图， 则， ∴， 又点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 83．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图1，中，，，．延长到D，使，过D做交延长线于E． (1)  小明发现，不但存在，而且还能够得出：的长为________，的长为________； (2)将图1中的绕点A旋转到图2位置，连接，，当时，求的长度； (3)在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出的长度． 【答案】(1)3，4 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得、，再证明，由相似三角形的性质可得，进而求得的长； （2）由勾股定理可得，再由可得，即，解得：，进而得到，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答； （3）分点E在线段的延长线上和的延长线上两种情况，分别根据相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：∵延长到D，使， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：3，6． （2）解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（2）可知：在旋转过程始终有， ∴， 如图：当点E在线段的延长线上时，设交点是O，则， ∴， 设，则，， 在中，，解得：（已舍弃负值）， ∴； 如图，当点E在线段的上时， 在旋转过程中始终有， ∴， 设交点是O，则， ∴∠EBD=∠DAE=90° 设，则，， 在中，，解得：（已舍弃负值）， ∴． 综上，当B、C、E共线时，的长度是或． 84．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）阅读并回答问题． 数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课． 【初步感知，发现相似】 （1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说． 展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________． 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：． 【迁移拓展，解决问题】 （3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，，从而求，，即可得出结论； （2）连接．先证明，得到，从而可证明，得到，即可得出结论． （3）过点A作交的延长线于点M．由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明，得到，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接． ∵四边形是正方形． ， 是等腰直角三角形 又 ； （3）过点A作交的延长线于点M． 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形，且 在中， 解得：（负值舍去） ， ． 85．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【答案】（），理由见解析；（）①；② 【知识点】三线合一、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由矩形的性质可证，得到，由旋转的性质可得，即得，即得到，即可得四边形是平行四边形，得到，即可求证； （）①连接，由勾股定理得，由旋转得，，进而可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解；②过点作于，于，设与相交于点，由三角形的面积可得，进而由勾股定理得，得，再由旋转和等腰三角形的性质可得，即得，得到，即得到，，即可得，得，得到，由三线合一得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （）①如图，连接， ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； ②如图，过点作于，于，设与相交于点，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 86．（24-25九年级上·陕西西安·期末）   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，得到，等量代换得到，连接交于，根据菱形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），， ， ， ，的长为21， ， ； （2）， 理由：， 四边形是菱形， 连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接交于， ，， ， ， ， ．    87．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）延长相交于点M，证明，则，解得，，由勾股定理得到，，，得到，证明，则，进一步得到，则； （3）分两种情况：当点P在C的左边和当点P在B的右边，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长相交于点M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由勾股定理得到，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当点P在C的左边时，如图， 过点P作于点G， ∵， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得， 由勾股定理可得，， ∴ 解得， ∴ 当点P在B的右边时，如图，过点O作于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或． 88．（23-24九年级上·山西长治·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． (1)【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； (2)【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； (3)【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证，运用“边角边”证明即可求解； （2）根据题意证明，得到，，再证明，由相似三角形对应角相等即可求解； （3）根据正方形的性质，可证，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，则， ∴， 同理，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，是对角线， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 89．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，旋转角为 【初步感知】 （1）如图1，连接，将三角形纸片绕点B旋转，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 向阳小组的小明同学首先推导出的大小，接着小亮同学通过延长交于点H并连接，得到四边形的形状，然后小颖又推导出…你受到了什么启发？请写出完整的解答过程； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；线段的长度为或． 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，可得，，可得出，再证得，可得出； （2）分别延长交于点，连接交于点，先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，再由，可得出四边形矩形，再证明，设，由勾股定理得：，列出方程，再求解即可； （3）运用分类思想，分为当时及当时两种情况，解答即可． 【详解】解：（1）． 在和中， ， ， ，， ， 即， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ； （2）分别延长交于点，连接交于点， 根据（1）得， ， 是中线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形矩形， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 设，，则， 在和中， ， ， ， 由直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得； ， ； （3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；理由如下： 如图，当时，此时是直角三角形， 过点作于点， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点， ， ， 设， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 综上，，，三点能构成以为直角边的直角三角形；线段的长度为或． 90．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点． (1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为________； ②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明四边形是正方形，然后证明，可得到和的关系； （2）过点作于点，先证明四边形是矩形，再证明，得到，当时，可以得到； （3）①取的中点，取的中点，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，当最小时，最小，由，得到、、三点共线时，最小，接着证明，得到，利用勾股定理和（2）中结论，可以求得和，利用，，不防设，，那么，，代入可求得，最后利用勾股定理分别求得和，最后算得答案．②延长使，连接，，先证明四边形是矩形，利用（2）中结论，时，，从而算得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，又 四边形是正方形 ，， ， 又 故答案为：． （2）解：如图，过点作于点 ， 四边形是矩形 ，， 四边形是矩形 又 （3）解：①取的中点，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， ， 当最小时，最小 、、三点共线时，最小 如下图所示： ， ， 又 由（2）可知，时， ，，， ， ， ， 不防设， 那么， ，， ， ②延长使，连接， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 由（2）可知，时， ， ， $