专题03 一元二次方程（期末复习专项训练）八年级数学下学期鲁教版五四制

**基本信息** 聚焦一元二次方程全体系，以概念-解法-应用为逻辑主线，通过18类题型系统覆盖基础概念、多元解法及实际应用，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念类|2题型|新定义理解、根的意义应用|从基础概念到抽象定义，培养抽象能力| |解法类|5题型|配方法、公式法、因式分解法、换元法|按运算复杂度递进，提升运算能力| |应用类|11题型|传播/增长率/图形/营销等问题建模|从实际情境抽象等量关系，发展模型意识|

专题03 一元二次方程 题型1 一元二次方程的概念（常考点） 题型10 增长率问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型2 一元二次方程概念新定义（重点） 题型11 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型3 用配方法求解一元二次方程（重点） 题型12 数字问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型4 公式法解一元二次方程（重点） 题型13 营销问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型5 用因式分解法求解一元二次方程（重点） 题型14 动态几何问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型6 换元法解一元二次方程（重点） 题型15 行程问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型7 一元二次方程的判别式（重点） 题型16 图表信息题(一元二次方程的应用)（重点） 题型8 一元二次方程的根与系数的关系（难点） 题型17 其他问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型9 传播问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型18 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）（重点） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的概念（共12小题） 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 3．（24-25九年级上·广西北海·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 5．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 7．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 8．（24-25九年级上·全国·期末）方程的一次项为 ． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若是一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·全国·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值为 ． 11．（24-25九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有一个解为，求m的值． 12．（25-26九年级上·全国·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 题型二 一元二次方程概念新定义（共3小题） 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 14．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 题型三 用配方法求解一元二次方程（共9小题） 16．（23-24九年级上·江苏·期末）一元二次方程 的根是（    ） A． B．2 C．或 D．2或 17．（25-26九年级上·全国·期末）一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 18．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 19．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程 的根为   ． 20．（24-25九年级上·全国·期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将二次三项式配方成的形式，则b的值是 ． 22．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 23．（23-24九年级上·全国·期末）解方程 (1) (2) 24．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 题型四 公式法解一元二次方程（共3小题） 25．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则 ． 27．（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 题型五 用因式分解法求解一元二次方程（共3小题） 28．（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 29．（25-26九年级上·全国·期末）方程的解为 ． 30．（25-26九年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型六 换元法解一元二次方程（共3小题） 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 32．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）已知方程的解是，，则方程的解 ． 33．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 题型七 一元二次方程的判别式（共6题） 34．（25-26九年级上·河南·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 35．（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 36．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 37．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 38．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 39．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 小明同学在解关于x的一元二次方程时，认定此一元二次方程无论m为何实数．方程总有两个不相等的实数根．请你帮忙判定小明的说法是否正确吗？并说明理由． 题型八 一元二次方程的根与系数的关系（共5小题） 40．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·全国·期末）已知、是方程两个根，则 42．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知是方程的两根，则 ． 43．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，，求，的值． 44．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程的一根为 (1)则的值是 ； (2)求方程的另一根． 题型九 传播问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 45．（23-24九年级上·福建厦门·期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 46．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 47．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 题型十 增长率问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 48．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）“蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 50．（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 题型十一 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（共4小题） 51．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 53．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 54．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 题型十二 数字问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 55．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 57．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型十三 营销问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 58．（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 59．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售．经市场调查，售价每降低1元，日销售量增加10千克，现要使超市每天销售酥梨的利润为120元．若设售价应降低元，则可列方程为 ． 60．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 题型十四 动态几何问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 61．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 62．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 63．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 题型十五 行程问题(一元二次方程的应用)（共2小题） 64．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 65．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 题型十六 图表信息题(一元二次方程的应用)（共2小题） 66．（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 67．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 题型十七 其他问题(一元二次方程的应用)（共4小题） 68．（24-25九年级上·河南郑州·期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 70．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 71．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 题型十八 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用（共4小题） 72．（24-25九年级上·云南红河·期末）为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 73．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 74．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 75．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ $专题03 一元二次方程 题型1 一元二次方程的概念（常考点） 题型10 增长率问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型2 一元二次方程概念新定义（重点） 题型11 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型3 用配方法求解一元二次方程（重点） 题型12 数字问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型4 公式法解一元二次方程（重点） 题型13 营销问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型5 用因式分解法求解一元二次方程（重点） 题型14 动态几何问题(一元二次方程的应用)（难点） 题型6 换元法解一元二次方程（重点） 题型15 行程问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型7 一元二次方程的判别式（重点） 题型16 图表信息题(一元二次方程的应用)（重点） 题型8 一元二次方程的根与系数的关系（难点） 题型17 其他问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型9 传播问题(一元二次方程的应用)（重点） 题型18 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）（重点） 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的概念（共12小题） 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 将方程化为标准形式后，再根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西北海·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将已知根 代入一元二次方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 7．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·全国·期末）方程的一次项为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键． 先整理方程，再找出一次项即可． 【详解】解：， ， ， ∴一次项为． 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了由一元二次方程的定义求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由一元二次方程的定义，列出关于参数的不等式求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的解，已知方程的解时，将方程的解代入方程求出其他参数即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 故答案为1． 11．（24-25九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有一个解为，求m的值． 【答案】0 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解（或根）． 根据一元二次方程的解的意义，把代入原方程得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 12．（25-26九年级上·全国·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，见解析 【知识点】方程组相同解问题、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 题型二 一元二次方程概念新定义（共3小题） 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 14．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 题型三 用配方法求解一元二次方程（共9小题） 16．（23-24九年级上·江苏·期末）一元二次方程 的根是（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查了解一元二次方程—直接开平方法．利用直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故选：D． 17．（25-26九年级上·全国·期末）一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过将配方后的方程展开，与原方程比较常数项，直接求解n的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴展开得， 即， ∵配方后的方程为， ∴得， 故选：A． 18．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】配方法的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，乘方运算，将一元二次方程进行配方变形，即可得到m，n的值，代入即可解答． 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故选：D 19．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程 的根为   ． 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，两边都加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式，继而开方可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，， 故答案为：，． 20．（24-25九年级上·全国·期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ． 【答案】25 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将二次三项式配方成的形式，则b的值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．由题意可得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴b的值是， 故答案为： 22．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用配方法求解即可． 【详解】解：， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 23．（23-24九年级上·全国·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的解法． （1）原方程变形，直接开平方即可得到答案； （2）移项，配方，直接开平方即可得到答案． 【详解】（1）解：方程整理得， 开方得； （2）解：方程整理得， 开方得． 24．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解； （1）按照例题给出的方法计算即可； （2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 的最小值为； （2）， ， ， ， ，， ，， ，； （3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， 四边形的周长为． 题型四 公式法解一元二次方程（共3小题） 25．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 26．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 27．（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择恰当的解法是解题的关键．先求出，再由求根公式，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 故，． 题型五 用因式分解法求解一元二次方程（共3小题） 28．（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 故选：C． 29．（25-26九年级上·全国·期末）方程的解为 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， 则提取公因式得， ∴得或， 解得，； 故答案为：，． 30．（25-26九年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法求解，熟练掌握因式分解（十字相乘法、提取公因式法）的方法是解题的关键． （1）先将方程整理为一般形式，再用因式分解法求解； （2）先对右边式子变形，再通过移项、提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 或 ， 解得 ，， （2）解：， ， ， ∴ 或 ， 解得 ，． 题型六 换元法解一元二次方程（共3小题） 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 32．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）已知方程的解是，，则方程的解 ． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则方程化为，利用方程的解是，得到，，然后分别计算对应的x的值可确定方程的解． 【详解】解：设，则方程化为， ∵方程的解是，， ∴方程为的解是，， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴方程的解是，． 故答案为：，． 33．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即： 解得． ∵， ∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数． (2)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)这四个连续的正整数为，，，； (2)的值为． 【知识点】运用平方差公式进行运算、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”． （1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可； （2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数， 根据题意可得， ∴， 设，，则， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴，，， 答：这四个连续的正整数为，，，． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的值为． 题型七 一元二次方程的判别式（共6题） 34．（25-26九年级上·河南·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 35．（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式 即可求解． 本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = = = 0， ∴ ， ∴ ， 故 的值可以是 ， 故选C． 36．（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】44 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程根的判别式的值是：， 故答案为：44． 37．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（大于等于1的数均可） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先把原方程化为一般式，再由题意可得判别式大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的值可以是1， 故答案为：1（大于等于1的数均可）． 38．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求实数k的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程与根的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：． 39．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 小明同学在解关于x的一元二次方程时，认定此一元二次方程无论m为何实数．方程总有两个不相等的实数根．请你帮忙判定小明的说法是否正确吗？并说明理由． 【答案】正确，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出答案． 【详解】解：正确，理由如下： ∵，，， ∴ ， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 题型八 一元二次方程的根与系数的关系（共5小题） 40．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 41．（25-26九年级上·全国·期末）已知、是方程两个根，则 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式求解． 【详解】解：对于方程， 根据根与系数的关系，有，。 ， 故答案为：． 42．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为 ，，求，的值． 【答案】， 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的两个根是，，那么， ． 【详解】在方程 中，，，． 根据题意，可知 ，． 解得 ，． 44．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程的一根为 (1)则的值是 ； (2)求方程的另一根． 【答案】(1)4 (2)4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程解的定义是解题的关键 （1）把代入方程即可得出答案； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】（1）解：将代入方程得： ， ； （2）解：设方程的另一根为，由根与系数的关系，得，解得， 所以方程的另一根为 题型九 传播问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 45．（23-24九年级上·福建厦门·期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 46．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 47．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 题型十 增长率问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 48．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）“蒙超联赛”期间，1件乌兰察布市球迷队服的售价为80元，回馈球迷，经过两次降价，现在1件的售价为60元．设该衣服的售价每次平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据两次降价且每次平均下降率相同，设每次下降率为x，则第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，等于60元，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始价格为80元，经过两次降价，每次下降率为x， ∴ 第一次降价后价格：， 第二次降价后价格：， 又∵ 最终售价为60元， ∴， 故选A． 49．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意． 设年平均增长率为x， 【详解】设年平均增长率为x，则2019年销量为万辆，2020年销量为万辆， 根据题意，2020年销量为130万辆， 因此可列方程为． 故答案为：． 50．（25-26九年级上·全国·期末）果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设出平均每次下调价格的百分率，根据从4元下调到2.56元，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每次下调价格的百分率是x，由题意得： ， 解得，， 因为降价的百分率不可能大于1， 所以不符合题意，舍去； 答：平均每次下调价格的百分率是． 题型十一 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)（共4小题） 51．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 52．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为12，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，即，根据方程有实数根列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ， ． 又， ， 即的取值范围为：． 53．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【答案】长方形的长取15米，宽取10米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设长方形的长为米，根据木板材料的长度，表示出宽的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米， ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 54．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求（3）见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【详解】解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 题型十二 数字问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 55．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：较小的偶数为，较大的偶数为，根据题意，得 ． 故选：B． 56．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 57．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 题型十三 营销问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 58．（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 59．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售．经市场调查，售价每降低1元，日销售量增加10千克，现要使超市每天销售酥梨的利润为120元．若设售价应降低元，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知每千克酥梨的利润为，销售量为千克，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 60．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 题型十四 动态几何问题(一元二次方程的应用)（共3小题） 61．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 62．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为时，，利用勾股定理，结合，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 63．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 题型十五 行程问题(一元二次方程的应用)（共2小题） 64．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 65．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 题型十六 图表信息题(一元二次方程的应用)（共2小题） 66．（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 67．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十七 其他问题(一元二次方程的应用)（共4小题） 68．（24-25九年级上·河南郑州·期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据场数列式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 69．（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 70．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】7或8 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确求出方程的两个根是解题关键．先利用因式分解法解方程可得或，再根据等腰三角形的定义可得或，然后分两种情况：①和②，利用三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：， ， 或， 解得或， ∵是等腰三角形，一边长，另外两边长，恰好是这个方程的根， ∴或， ①当时，三边长分别为，满足三角形的三边关系， 则此时的周长为； ②当时，三边长分别为，满足三角形的三边关系， 则此时的周长为； 综上，的周长为7或8． 71．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)28；； (2)不能 (3)一共能摆放20排 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 题型十八 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用（共4小题） 72．（24-25九年级上·云南红河·期末）为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 73．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 74．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【答案】参加比赛的球队有7支 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据共比赛21场列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 75．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 【答案】家 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有家公司参加此次商品交易会，根据“每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设共有家公司参加此次商品交易会， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：共有9家公司参加此次商品交易会. $