山东泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末数学重难点复习题

**基本信息** 以函数导数、概率统计为核心，整合排列组合与二项式定理，通过分类讨论、转化化归等方法，构建知识内在逻辑与解题体系，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数导数|5题|导数几何意义应用、极值点条件分析、不等式恒成立转化为最值、分类讨论极值点|导数工具性（几何意义-单调性-极值-不等式）| |概率统计|5题|正态分布分位数计算、独立性检验、二项与超几何分布辨析、期望计算|随机变量分布-数字特征-统计推断| |排列组合|3题|不相邻插空法、有限制条件排列、组合与排列综合|计数原理-排列（限制条件）-组合应用| |二项式定理|3题|通项求常数项、赋值法求系数和|展开式通项-系数计算-赋值法应用|

泰安市泰山区2026年高二下学期期末重难点复习 一、选择题 1．已知函数的部分图象如图所示,其导函数为,则(      ) A. B. C. D. 2．已知函数有极值,则a的取值范围是(      ) A. B. C. D. 3．某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出二十四节气宣传橱窗,其中“雨水”,“惊蛰”,“谷雨”,“芒种”,“白露”,“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里,要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻,且“白露”与“寒露”两块展板不相邻,则不同放置方式的种数为(      ) A.144 B.240 C.336 D.456 4．函数的单调递减区间为,则(      ) A. B.1 C.e D. 5．某市高二数学统考,满分为150分.假设学生考试成绩,如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级,则A等级分数线大概为(      ) （参考数据:若,则） A.134 B.120 C.116 D.110 6．二项式的展开式中常数项为(      ) A.10 B. C.5 D. 7．已知,,则(      ) A. B. C. D. 8．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,运用列联表进行检验,经计算,参考下表,则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过(      ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. B. C. D. 二、多项选择题 9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法正确的有(      ) A.所有可能的方法有种 B.如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有61种 C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种 D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种 10．已知是定义在R上的奇函数,当时,,且,则下列结论正确的是(      ) A. B. C.当时, D.当时, 11．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球的编号为1，2，3，4，5，6，4个白球的编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是(   ) A.若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球的个数X服从二项分布 B.若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球的个数Y服从超几何分布 C.若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D.若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 三、填空题 12．已知函数,,若使不等式成立,a的取值范围是_______________. 13．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为______________. 14．已知,则_______. 四、解答题 15．已知. （1）求的值； （2）求. 16．据教育部统计,2024届全国高校毕业生规模预计达1179万,同比增加21万,岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署,搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道,促进高校毕业生高质量充分就业,某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约,享受对应的薪资待遇,且不去下一家公司应聘,或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试,则不能签约,也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元,小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为,,,通过甲公司的测试后选择签约的概率为,通过乙公司的测试后选择签约的概率为,通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响． (1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率； (2)设小王获得的年薪为X（单位：万元）,求X的分布列及其数学期望． 17．某中学文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛.（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 18．已知函数. (1)当时,求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点,求实数a的取值范围. 19．最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情．调查小组为了解本校学生身体素质情况,决定在全校500名男生和400名女生中,按分层抽样的方法随机抽取45名学生,对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查,将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类(课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时),B类(课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时),C类(课余时间不参加体育锻炼),调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 y (1)求出表中x,y的值； (2)根据表格统计的数据,完成下表,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关． 性别 男生 女生 A类         B类和C类         附：,其中． 参考答案 1．答案：D 解析：由的单调性可知,,而,, 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角,因此, 所以, 故选:D. 2．答案：C 解析：由题可得有变号零点有两个不同的实数根, 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选:C. 3．答案：C 解析：根据题意,第一步,让“雨水”和“谷雨”不相邻,不同放置方式种数为； 第二步,让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻,不同放置方式种数为； 所以不同放置方式种数为. 故选：C. 4．答案：B 解析：, 因为的单调递减区间为,而的定义域为, 所以的一个极值点为1, 所以,解得. 所以,, 令,,解得, 所以的单调递减区间为,符合题意, 综上, 故选：B. 5．答案：D 解析： 6．答案：D 解析：根据题意二项展开式的通项公式为, 当,解得, 所以常数项为. 故选:D. 7．答案：C 解析：由概率的乘法公式可得. 故选:C. 8．答案：B 解析：因为,结合表格可知,所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010. 故选：B. 9．答案：BC 解析：对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动, 每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动, 故有种选择方案,错误； 对于选项B,如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有（种）,正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有（种）,正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区, 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况,则不同的安排方法共有（种）, 错误. 故选：BC. 10．答案：BC 解析：设, 由是定义在R上的奇函数知,则时,为偶函数, 且时,, 故在单调递减, 由偶函数的对称性知,在单调递增, 故,即,故,B选项正确； 当时,,故,C选项正确； 当时,,故,D选项错误； 由B,D选项知,,故,A选项错误. 故选：BC. 11．答案：ABD 解析：对于A，取出白球和取出黑球的概率分别为，，有放回地摸取4个球，则X服从二项分布，故A正确； 对于B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y的分布列为 ，，1，2，3，4，Y服从超几何分布，故B正确； 对于C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率，故C错误； 对于D，取出的白球个数为3和4，故所求概率，故D正确.选ABD. 12．答案：. 解析：因为,使不等式成立, 则,即, 则问题转化为. 设,由, 令,得. 当x在区间内变化时,,随x的变化情况如下表： x ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知,当时,函数有极大值,即最大值为,所以. 故a的取值范围是c. 故答案为： 13．答案： 解析：设从i出发最终从1号口出的概率为,所以,解得. 故答案为：. 14．答案：2 解析： 15．答案：（1） （2）364 解析：（1）令，得. （2）令，得，① 令，得，② ①-②，得，. 16．答案：(1) (2)分布列见解析, 解析：(1)记事件A：小王通过甲公司的测试,但未通过乙公司的测试, 记事件B：小王通过甲、乙公司的测试,但未通过丙公司的测试, 则,, 显然A与B互斥,所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率． (2)依题意X的可能取值为0,10,12,18, 则,, ,, 则X的分布列如下表： X 0 10 12 18 P 故． 17．答案：（1）56； （2）91； （3）720 解析：（1）如果男生甲必须去，从剩下的8人中选3人即可，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）选2男2女，先排2位女生，将2为男生插入其中的3个空中， 则有种排法. 18．答案：(1)单调递增区间为：和,单调递减区间为： (2)或 解析：(1)当时,,定义域为, , 令,得或, 所以的单调递增区间为：和,单调递减区间为：. (2), ①当时,,所以在上单调递减,在上单调递增, 故只有一个极小值点,与条件矛盾,故舍去. ②当时,在和上单调递增,在上单调递减, 故有两个极值点a和,与条件相符. ③当时,在和上单调递增,在上单调递减, 故有两个极值点a和,与条件相符. ④当时,, 故在上单调递增,无极值点,舍去. ⑤当时,,所以在上单调递增,在上单调递减, 故只有一个极大值点,与条件矛盾,故舍去. 综上可得：或. 19．答案：(1) (2)表格见解析,能在犯错误的概率不超过的前提下,认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关 解析：(1),解得； (2)下表 性别 男生 女生 A类 18 8 B类和C类 7 12 ； 故能在犯错误的概率不超过的前提下,认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关． 学科网（北京）股份有限公司 $