专题02 不等式与不等式组（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 专题聚焦不等式与不等式组，涵盖9大高频考点，精选辽宁多地期末真题，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富，含选择（约30题）、填空（约15题）、解答（约20题）|覆盖不等式基本性质（考点01）、含参问题（考点06）、实际应用（考点08）等|结合垃圾分类宣传（考点02）、新能源汽车保有量（考点02）等现实情境，含参问题与函数图像结合（考点04），体现地域性真题特点|

专题02 不等式与不等式组 高频考点概览 考点01不等式的基本性质 考点02不等式的定义及列出不等式 考点03解一元一次不等式 考点04一元一次不等式与函数结合 考点05解一元一次不等式组 考点06不等式（组）中字母含参问题 考点07不等式（组）与方程组结合 考点08不等式（组）的实际应用 考点09不等式（组）的其他应用 考点01 不等式的基本性质 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若，则下列不等式变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末） 已知，，是实数，若，，则(    ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，则下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）已知，下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）若，则________． 考点02 不等式的定义及列出不等式 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：）表示汽车的速度，则v应满足（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定价为x元的某商品搞促销活动，若列关系式为，则该商品的促销方案是（    ） A．买6件该商品可减100元，再打7折，最后不超过1400元 B．买6件该商品可减100元，再打3折，最后不足1400元 C．买6件该商品可打7折，再减100元，最后不足1400元 D．买6件该商品可减100元，再打7折，最后不足1400元 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者人，则根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车在高速公路上匀速行驶，时汽车距前方的A地，汽车要在之前驶过A地，设车速为，则车速应满足的条件可用不等式表示为________． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）用适当的符号表示下列关系：“x的三分之一与y的和是负数”__________ 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则______． 考点03 解一元一次不等式 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的解集在数轴上可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）下列各数中，能使不等式成立的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）解答下列问题： (1)计算： (2)解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来： 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）解方程组： （2）解不等式： 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）解方程组： （2）解不等式：，并在数轴上表示解集． 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）x取哪些整数值时，不等式与都成立？ 考点04 一元一次不等式与函数结合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于不等式的解集是______． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是_____． 9．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点，在直线上． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使？如果存在，求点的坐标：如果不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)___________，___________； (2)若一次函数图象与轴交于点，求的面积； (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 考点05 解一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式组在数轴上表示为：，这个不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列四个数中，为不等式组的解的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）（1）计算： （2）解不等式组并写出它的整数解． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解不等式组，并求出它的负整数解． 7．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）（1）解方程组 （2）解不等式组 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）解不等式组：并利用数轴确定不等式组的解集． 9．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）计算：； （2）解下列方程组：； （3）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：． 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解不等式组： 15．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解不等式组： 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解不等式组，并写出它的所有非正整数解． 考点06 不等式（组）中字母含参问题 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）若关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 6．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若不等式的解集为，则m必须满足________． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是______． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是______． 考点07 不等式（组）与方程组结合 1．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）关于x，y的二元一次方程组 的解满足的值不大于5，则k 的取值范围为（   ） A．k<8 B．k>8 C．k≤8 D．k≥8 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知且，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，且，则k的取值范围为_______． 4．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x，y的方程组，方程组的解x与y的和不小于4，则k的取值范围为________． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知下列表格中的每组x，y的值分别是关于x，y的二元一次方程的解，则关于x的不等式的解集为_______． x … 0 1 … y … 0 1 2 3 … 6．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）x，y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值，求α的取值范围______ 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于、的二元一次方程组 (1)若方程组的解、互为相反数，求的值； (2)若时，求的非负整数值． 8．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，且，满足方程组． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，求的取值范围． 考点08 不等式（组）的实际应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）七年级举办数学解题竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分．规定初赛成绩超过100分晋级决赛，小明参加了本次竞赛活动，若小明想晋级决赛，则他至少答对________道题． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于，那么该店最多降价______元出售该商品． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． (1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）某种商品进价20元、标价30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某校七年级438名学生和20位教师准备乘坐客车参加“暑假研学游”活动，客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示． 车型 A B 载客量（人/辆） 30 50 租金（元/辆） 280 400 学校计划租用10辆客车，那么 (1)最多可以租用多少辆A型客车？ (2)共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）蓝莓因富含花青素、膳食纤维等多种营养成分，受广大消费者的喜欢．某超市计划购买并销售大果和小果两种蓝莓共50斤．这两种蓝莓的进价和售价如表如示（单位：元/斤）： 类型 进价 售价 大果 30 40 小果 20 28 (1)如果该商家购进这两种蓝莓所花费成本为1200元，那么购进大果和小果两种蓝莓各多少斤？ (2)为了保证这50斤蓝莓全部售出后（不考虑折损），所得利润不低于448元，那么该商家至少能购进大果蓝莓多少斤？ 9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）为助力“双碳”目标的早日实现，某村预计用30300元村基金购买120棵成年银杏树和松树，以此来中和每年20500千克的二氧化碳排放量．经测算，每棵成年银杏树每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳． (1)求银杏树和松树各购买了多少棵？ (2)若银杏树的单价可以打8折，松树每棵250元，在不超过预计用基金的情况下，银杏树单价最高多少元？ 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）期中考试后，八年一班张老师对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本20个需花费200元；若购买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个则需花费250元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）统计资料表明，到2021年年底，A城市的城市建成区面积达，B城市的城市建成区面积比C城市的城市建成区面积大，且B城市与C城市的城市建成区面积之和比A城市的城市建成区面积还少． (1)求2021年B、C两城市的城市建成区面积分别是多少？ (2)2021年A城市的建成区绿地总面积为，若从2022年年初到2025年年底这四年期间，A城市的城市建成区面积平均每年都增加，建成区绿地面积平均每年都增加，要使到2025年年底，A城市的建城区园林绿地率超过（，简称绿地率），求a应超过多少？ 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，“碳达峰”是指特定区域（国家、地区或行业）的二氧化碳排放量达到历史峰值后进入平台期并逐步下降的转折点．为了实现我国“碳达峰”的目标，我们每个人都应该进行低碳生活．下表统计了一系列排碳计算公式． 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家电动车的二氧化碳排放量公里数 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量’ 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 根据表中信息解决问题： (1)小明家六月份家居用电，私家电动车行驶了，使用天然气，使用自来水，求小明家六月份这四项二氧化碳排放量的总和； (2)小强家六月份家居用电，使用天然气，使用自来水，小强家六月份这四项二氧化碳排放量的总和没有超过小明家，则小强家六月份私家电动车行驶里程没有超过多少（结果精确到1）？ 13．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）为弘扬家乡文化，丰富学生课余生活，瓦房店某中学在“校园文化节”闭幕式上，计划将具有地方特色的工艺品和书籍作为奖品，激励获奖学生．经市场调查，若购买1套“复州皮影戏绘画套装”（含绘制皮影的传统工具和材料）与1本《皮影戏的秘密》书籍的总价为元；用元恰好可以购买3套“复州皮影戏绘画套装”和5本《皮影戏的秘密》书籍． (1)求1套“复州皮影戏绘画套装”和1本《皮影戏的秘密》书籍的价格各是多少元？ (2)学校计划用总费用不超过元的资金，为获奖的名同学颁发奖品（每人一套“复州皮影戏绘画套装”或一本《皮影戏的秘密》书籍），求最多可以购买多少套“复州皮影戏绘画套装”？ 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地，已知长绒棉的进价为万元/，纺织面料的出厂价为万元/，公路运价为元/，铁路运价为元/，且这两次运输共支出公路运费6500元，铁路运费20800元． (1)设购买长绒棉，制成纺织面料． ①根据题中数量关系填写下表 xt长绒棉 yt纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②求x，y的值： (2)为了顺应时代的发展，该纺织厂对纺织面料进行了工艺改良．若长绒棉的进价不变，丝路纺织厂生产的这批纺织面料毛利润不低于万元，那么这批纺织面料的出厂单价至少提高多少万元/（毛利润销售额原料费（只计长绒棉的价格）运输费的和）？ 考点09 不等式（组）的其他应用 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于5”，如果程序操作了两次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于80”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于80，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是______． 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）对于实数x，我们规定：用符号表示不超过x的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是．其中正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）定义新运算：对于任意实数，都有：，其中等式右边是通常的加法，减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为__________． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______； 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知符号表示不大于x的最大整数，例如：，，．若m满足，则m的取值范围是__________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组 高频考点概览 考点01不等式的基本性质 考点02不等式的定义及列出不等式 考点03解一元一次不等式 考点04一元一次不等式与函数结合 考点05解一元一次不等式组 考点06不等式（组）中字母含参问题 考点07不等式（组）与方程组结合 考点08不等式（组）的实际应用 考点09不等式（组）的其他应用 考点01 不等式的基本性质 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质．运用不等式的基本性质“不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此判定即可． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项符合题意； C、若，则，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．不等式性质：①不等式两边同时加上（减去）同一个数，不等号方向不变；②不等式两边同时乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边同时乘以（除以）同一个负数，不等号方向改变；由不等式的基本性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、两边同时加2，不等式方向不变，故成立，符合题意； B、两边乘以得，再加2得，与选项中矛盾，故选项不成立，不符合题意； C、两边乘以正数2，不等式方向不变，为，与选项中矛盾，故选项不成立，不符合题意； D、两边乘以负数，不等式方向改变，为，与选项中矛盾，故选项不成立，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若，则下列不等式变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等号方向改变；而加减同一个数或乘以正数时，不等号方向不变． 【详解】解：A：原不等式两边同时乘以，根据不等式性质，乘以负数需改变不等号方向，正确变形应为，但选项A未改变方向，故变形错误． B：两边乘以正数，不等号方向不变，变形正确． C：两边同时加，不等号方向不变，变形正确． D：由移项可得，变形正确． 综上，选项A的变形不符合不等式性质，为正确答案． 故选：A 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末） 已知，，是实数，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； 若，，则，则，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，则下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：已知，分析各选项： 选项A：两边同时加3，不等式方向不变，即，成立． 选项B：两边同时减3，不等式方向不变，应为，但选项为，不成立． 选项C：两边同时乘以正数3，不等式方向不变，应为，但选项为，不成立． 选项D：两边同时乘以负数，不等式方向改变，应为，但选项为，不成立． 故选A． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值，根据不等式的基本性质及绝对值的意义逐一分析选项． 【详解】解：A、两边同时减5，不等式方向不变，故，成立； B、两边同时除以2（正数），不等式方向不变，故，成立； C、两边同时乘以（负数），不等式方向改变，故，成立； D、绝对值大小与数的正负相关，例如，若，，满足，但，，此时不成立，因此，选项D不一定成立． 故选：D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；③不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项， 选项A符合题意； 故选：A． 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）已知，下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，需根据不等式两边加减同一数或乘除同一正数时不等号方向不变，乘除负数时方向改变来判断各选项的正确性． 【详解】解：A．不等式两边乘以正数3，不等号方向不变，应为，故此选项错误． B．两边乘以正数0.1得，再加5后不等号方向不变，故一定成立，此选项正确． C．当时，；当时，；当时，．因符号不确定，此选项不一定成立． D． 当时，满足，但，故此选项不成立． 故选：B． 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、两边都减1，不等号的方向不变，即，本选项的式子成立，故符合题意； B、两边都除以3，不等号的方向不变，即，本选项的式子不成立，故不符合题意； C、当时，满足，但，不满足，本选项的式子不成立， 故不符合题意； D、，则，本选项的式子不成立，故不符合题意； 故选：A． 10．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式和等式的性质的应用，逐一分析各选项是否符合不等式和等式的基本性质． 【详解】解：A. 若 ，两边同减，由不等式性质1（不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变），得，正确； B. 若 ，当时，；当时，；当时，，因未限定的符号，结论不必然成立，错误； C. 若 且，无法确定与的大小，例如：当，，时，满足且，但，结论不成立，错误； D. 若 ，两边同乘得，与结论矛盾，错误． 故选：A． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A． 不等式两边同时减5，方向不变，故正确； B． 由移项得，故正确； C． 两边同乘负数时，不等号方向应改变，正确结果应为，故错误； D． 化简得，与已知条件一致，正确． 故选：C． 12．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质解答即可． 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∴， 故B不符合题意； ∴， 故C符合题意； ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 13．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．若，无法确定的正负．例如，时，但，故A不一定成立，不符合题意； B．根据不等式性质，两边加3后仍保持原方向，即，故B错误，不符合题意； C．由，两边乘2得，再加1得，故C一定成立，符合题意； D．根据不等式性质，两边乘后方向改变，即，故D错误，不符合题意． 故选：C． 14．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键； 根据不等式的性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数或式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个正数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数（式），不等号方向改变；逐项验证即可得到答案， 【详解】A．由，两边同时减去得，掌握加减消元法是解题的关键．故不等式计算正确，符合题意； B．，两边同时减2得，两边乘以时不等式方向改变，得，与已知矛盾，故不等式计算错误正确，不符合题意； C．，两边乘以正数，不等式方向不变，原式应为，故不等式计算错误正确，不符合题意； D．未给出、的符号或绝对值关系，无法确定与的大小，故不等式计算错误正确，不符合题意； 故选：A． 15．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，注意不等号的方向是否改变．根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等号方向需要改变即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点02 不等式的定义及列出不等式 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速．如果用v（单位：）表示汽车的速度，则v应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定价为x元的某商品搞促销活动，若列关系式为，则该商品的促销方案是（    ） A．买6件该商品可减100元，再打7折，最后不超过1400元 B．买6件该商品可减100元，再打3折，最后不足1400元 C．买6件该商品可打7折，再减100元，最后不足1400元 D．买6件该商品可减100元，再打7折，最后不足1400元 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知最后打7折，再得出不等关系是解题关键．根据，可以理解为买6件减100元，再打7折得出总价小于1400元． 【详解】解：由，得出买6件商品可减100元，由得出买6件减100元后再打7折， 故可以理解为：买6件该商品可减100元，再打7折，最后不足1400元． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者人，则根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式． 设成年志愿者有人，则青少年志愿者为人，根据宣传总人数至少为1200，建立不等式即可． 【详解】解：设成年志愿者有人， ∵成年志愿者和青少年志愿者共80人， ∴青少年志愿者为人， ∵成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识 ∴成年志愿者和青少年志愿者共向位居民宣传垃圾分类知识， ∵保证向1200位居民宣传垃圾分类知识， ∴， 故选B． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车在高速公路上匀速行驶，时汽车距前方的A地，汽车要在之前驶过A地，设车速为，则车速应满足的条件可用不等式表示为________． 【答案】 【分析】本题考查不等关系的表示，根据时间，速度，路程的关系可知，汽车要在前驶过地，即两个小时对应的路程要大于210km． 【详解】解：从至，汽车行驶时间为2小时， 要在前驶过地，行驶路程应大于210km， 速度为km/h，由时间，速度，路程的关系可知， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）用适当的符号表示下列关系：“x的三分之一与y的和是负数”__________ 【答案】 【分析】本题考查了列不等式． x的三分之一即，x的三分之一与y的和即，然后可得不等式． 【详解】解；“x的三分之一与y的和是负数”是． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 考点03 解一元一次不等式 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的解集在数轴上可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的表示，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法及不等式解集的表示方法．依次移项、合并同类项可得不等式的解集，从而得出答案． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 把不等式的解集表示在数轴上： 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）下列各数中，能使不等式成立的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再检验即可． 本题考查了不等式解集的解法，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得； 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 如图， 故选C． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．移项合并同类项，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 解得：． 把解集在数轴上表示为 ． 故选：D 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）解答下列问题： (1)计算： (2)解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来： 【答案】(1)0 (2)，数轴表示见解析 【分析】此题考查了实数的运算、立方根、算术平方根、绝对值、解一元一次不等式、不等式解集在数轴上的表示，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先化简绝对值，立方根，再根据实数的运算进行化简，即可求解； （2）先解一元一次不等式，然后在数轴上进行表示，即可求解． 【详解】（1）解： （2） 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）解方程组： （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集． （1）用代入消元法求解即可； （2）根据解不等式的步骤求出不等式的解集． 【详解】（1） 解：由②得： ， 由③代入①得： ， ∴ 把代入③得： 所以方程组的解为： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不等式的解集是 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）解方程组： （2）解不等式：，并在数轴上表示解集． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握不等式组的解集求法是解题的关键． （1）根据加减消元解二元一次方程组，即可求解； （2）根据去括号，移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，并在数轴上表示解集． 【详解】解：（1） 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 去括号，， 移项合并同类项，， 化系数为1，， 在数轴上表示解集如图所示： 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）x取哪些整数值时，不等式与都成立？ 【答案】（1），见解析；（2）0或1 【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算． （1）先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，并把解集表示在数轴上； （2）先求出两个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 用数轴表示如下： （2）由题意可列出不等式组， 解这个不等式组，得， 为整数， 的植为0或1． 考点04 一元一次不等式与函数结合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数图象，写出直线在x轴的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与象限的关系，解题的关键是通过观察函数图象确定第一象限内点对应的取值范围． 观察一次函数图象，找出图象在第一象限部分对应的的取值区间． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，图象上的点在第一象限内． 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 一次函数与一次函数的图象交于点， 关于的不等式的解集是：． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； 根据图象，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 关于的不等式的解集为：， 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查了两条直线的交点问题.运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项错误，不符合题意； 当时，，则关于的方程的解是，故B选项正错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴由函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， 关于不等式的解集是． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标等知识点，掌握第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0是解题的关键． 解方程组可得直线与直线的交点坐标为，依据交点在第一象限，即可得出，再结合已知条件即可解答． 【详解】解：把直线向下平移m个单位，可得， 解方程组，解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第一象限， ∴，解得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得到直线落在直线的上方对应的的取值即为所求． 【详解】解：把代入，得． 所以， 所以直线与直线相交于点， 所以关于的不等式的解集是， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点，在直线上． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)点 (3) 【分析】本题是两条直线相交问题，考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用方程组即可求得点C的坐标； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：点，在直线上， ， 解答， 直线的解析式为：； （2）解：因为直线与直线相交于点C， 联立方程组， 解得， 点； （3）解：根据图象，关于x的不等式的解集． 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 【答案】（1）；（2），；（3）长度的取值范围为． 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，求不等式组的解集等，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）先求出交点坐标，然后根据函数图象求不等式解集即可； （3）先求出交点坐标，确定，然后求不等式组的解集得出不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为，再由垂线段最短结合图象求取值范围即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过点， ∴由图象得不等式的解集是， 故答案为：； （2）联立两个函数： 解得：， ∴交点坐标为， 由函数图象得：当时，图象在图象的上方， ∴ ∴不等式的解集是， 故答案为：，； （3）联立两个函数：， 解得：， ∴， 当时，，， ∴， 解不等式：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为， 过点E作轴，如图所示：此时EP取得最小值为， 当横坐标取4时，， ∴长度的取值范围为． 12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使？如果存在，求点的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，直线围成图形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由直线求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）观察图象求得即可； （3）由直线求得点B的坐标，由直线求得点C的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的上方， ∴当时，x的取值范围是； （3）解：令，则，解得， ∴， 令，则，解得， ∴， ∴ ∴； ∵点P在x轴上，， ∴，即， ∴， ∵， ∴或． 13．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)___________，___________； (2)若一次函数图象与轴交于点，求的面积； (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分别代入解析式计算解答即可； （2）根据求得点，继而得到计算即可； （3）求得点B的坐标，再利用数形结合思想写出解集即可． 本题考查了待定系数法，坐标轴的交点，一次函数与不等式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得； 把点代入得， 解得， 故答案为：；3． （2）解：根据， 得点， 故， 故． （3）解：由题意可知， 由图象可知，不等式的解集是． 考点05 解一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式组在数轴上表示为：，这个不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式组的解集，根据数轴表示得到两个解集的公共部分解答即可. 【详解】解：不等式组的解集为， 故选：D. 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列四个数中，为不等式组的解的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 因此不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选C． 4．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）（1）计算： （2）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解有，，，，． 【分析】此题考查了算术平方根，绝对值和立方根，解一元一次不等式组， （1）首先计算算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后求出整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解有，，，，． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的求解，解题的关键是掌握解不等式（组）的基本步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，再在数轴上表示解集； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 把不等式和的解集在数轴上表示出来． 所以该不等式组的解集为． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解不等式组，并求出它的负整数解． 【答案】．负整数解为，． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解每一个不等式，再取不等式组的解集，最后确定负整数解． 【详解】解：解不等式①得． 解不等式②得． 所以不等式组的解集为． 所以不等式组的负整数解为，． 7．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）（1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）解不等式组：并利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 根据题意，分别求解两个不等式，根据两不等式的解集可判断不等式组的解集，并表示在数轴上即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 9．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）， 解①得， 解②得， ∴． 10．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据不等式组的解法计算即可． 【详解】解：（1）， ，得： ， ， 解得：， 将代入中，， 解得：， ∴方程组的解为：     ；           （2）解不等式①，得：， ， ，              解不等式②，得：， ， ， ∴不等式组的解集为：． 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）计算：； （2）解下列方程组：； （3）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1）4；（2）；（3），它的所有非负整数解为：0，1， 2，3． 【分析】本题考查实数的加减混合运算，解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及消元法和解不等式的步骤，是解题的关键． （1）将各式化简后再算加减即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，进而写出所有非负整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为：； （3）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 它的所有非负整数解为：0，1， 2，3． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：． 【答案】（1），数轴见解析 （2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示. （1）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可得解； （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：（1）， 去括号得，． 移项得，， 合并同类项得，， 解集在数轴上表示出来，如图所示： （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：． 【答案】（）；（），数轴上表示解集见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． （）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：（）， ， ， ， ； （）， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）分别根据算术平方根、立方根和绝对值的代数意义化简各项后再计算即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得出不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得. 解不等式②，得 不等式组的解集为. 15．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）6；（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握立方根的求法和解不等式的方法是关键． （1）利用乘方、立方根、绝对值进行计算即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式 （2） 解：解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解不等式组，并写出它的所有非正整数解． 【答案】，非正整数的解为0，， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非正整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非正整数解． 【详解】解： 由不等式①得：， 由不等式②得：，， ∴不等式组的解集为：， ∴非正整数的解为0，， 考点06 不等式（组）中字母含参问题 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．首先解关于x的不等式，然后根据x只有2个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解不等式得： ， ∵原不等式有2个正整数解， ∴这2个正整数解为：1、2， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集求参数．表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为2，3，4， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据数轴上表示的不等式组的解集确定的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）若关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出一元一次不等式的解集，然后根据解集来取不等式的个整数解，再根据这个整数解求的取值范围． 【详解】解：， 不等式①的解集是：， 不等式②的解集是：， 原不等式组的解集是：； 当关于的不等式组的整数解共有个时， 的值可以取、、、、， 的取值范围是； 故选：B． 【点睛】求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解是，，，，再得出关于的范围即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集是， 关于的一元一次不等式组恰有个整数解， 整数解为：，，，， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若不等式的解集为，则m必须满足________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的解集可知不等式的两边同时除以时，不等号没改变方向，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号没改变方向， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 因此不等式组的解集为． 由于整数解有且只有2个， 可知整数解为和， 故需满足， 解得． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查根据一元一次不等式组的解集求参数，根据一元一次不等式组解集的确定方法直接解答即可． 【详解】解：由解得 ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴，即m的取值范围是， 故答案为：． 考点07 不等式（组）与方程组结合 1．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）关于x，y的二元一次方程组 的解满足的值不大于5，则k 的取值范围为（   ） A．k<8 B．k>8 C．k≤8 D．k≥8 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得到，再根据的值不大于5的条件建立不等式，求解k的取值范围． 【详解】 ，得 ∵的值不大于5， ∴， ∴， 故选C． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知且，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，方程组两方程相加表示出，根据大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可求出k的范围．将方程组两方程相加表示出是解本题的关键． 【详解】解：， 得：，即， 解得：． 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，且，则k的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查求解二元一次方程组中参数的取值范围，求不等式的解集．通过观察，两式相减便会出现关于的等式，然后与对比，即可确定k的取值范围． 【详解】解： ，得 ． ∵， ∴， ∴． 故答案为；． 4．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x，y的方程组，方程组的解x与y的和不小于4，则k的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式及解二元一次方程组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先用表示出的值，再由x与y的和不小于4得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知下列表格中的每组x，y的值分别是关于x，y的二元一次方程的解，则关于x的不等式的解集为_______． x … 0 1 … y … 0 1 2 3 … 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及一元一次不等式的求解，解题的关键是先求出的值，确定方程的表达式，再解不等式． 先选取两组的值代入二元一次方程，求出，得到的表达式，再解不等式． 【详解】解：选取表格中两组值，比如当时，；当时，， 代入中，得到方程组， 把代入，得，解得， 所以二元一次方程为，即为， 解不等式， 移项可得，即， 综上，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）x，y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值，求α的取值范围______ 【答案】 【分析】令，得：；消去，解出的值；把的值代入，解出的值，得到方程组的解；根据方程组的解为正数且的值小于的值，得，即可求出α的取值范围． 【详解】解： 得： 得：，解得 把，代入式得，解得 ∴方程组的解为： ∵方程组的解为正数且的值小于的值 ∴ ∴ ∴解不等式得： 解不等式得： 解不等式得： ∴α的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式以及不等式的解集． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于、的二元一次方程组 (1)若方程组的解、互为相反数，求的值； (2)若时，求的非负整数值． 【答案】(1)2 (2)0，1，2 【分析】本题考查了二元一次方程组，已知方程组的解求参数，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据相反数的定义，得，再结合，得出，解得的值； （2）先由方程组整理得，，则，结合，则，即可求出的非负整数值． 【详解】（1）解： 方程组的解、互为相反数， ， ∵关于、的二元一次方程组 ， ． （2）解：∵ ∴得， ∴， 再把代入， 得， ， ， ， ． 取非负整数值， 的取值有0，1，2． 8．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，且，满足方程组． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，解二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据代入法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据点在第四象限，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可 【详解】（1）解：， 由①得③， 将③代入②，得， 解得， 将代入③得，， 所以这个方程组的解为， 所以点的坐标为． （2）因为点在第四象限， 所以，可列不等式组， 解得，， 所以的取值范围是． 考点08 不等式（组）的实际应用 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 【详解】收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）七年级举办数学解题竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分．规定初赛成绩超过100分晋级决赛，小明参加了本次竞赛活动，若小明想晋级决赛，则他至少答对________道题． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握解不等式是解题的关键．设答对了x道，答错或不答有道，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设要答对了x道，答错或不答有道， 根据题意，得， 解得 又x是正整数， 故x的最小值为， 答：参赛人员最少需要答对道题才能晋级． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于，那么该店最多降价______元出售该商品． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，找出数量关系，列出不等式是解题的关键． 根据，设降价元，则现在售价为，即可求解． 【详解】解：设降价元，则现在售价为， ∴， 解得，， ∴该店最多降价元出售该商品． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． (1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 【答案】(1)甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元； (2)购买这批树苗的最低费用为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵，设购买这批树苗的费用为元，利用总价单价数量，列出关于的一次函数，结合题意和函数图象，得时，最小，将代入即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元． （2）解：设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵， 设购买这批树苗的费用为元， 根据题意得：， ， 随的减小而减小， 根据题意得：，解得：， 取整数， 最小值为， 当时，最小，最小值为， 答：购买这批树苗的最低费用为元． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）某种商品进价20元、标价30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 【答案】这种商品最多可以按七折销售 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题．设这种商品按折销售，根据“利润率不能少于”列出不等式，求解即可． 【详解】解：设这种商品按折销售， 根据题意得：， 解这个不等式得：， 答：这种商品最多可以按七折销售． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某校七年级438名学生和20位教师准备乘坐客车参加“暑假研学游”活动，客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示． 车型 A B 载客量（人/辆） 30 50 租金（元/辆） 280 400 学校计划租用10辆客车，那么 (1)最多可以租用多少辆A型客车？ (2)共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【答案】(1)最多可以租用2辆A型客车 (2)共有三种租车方案，租用2辆A型客车和8辆B型客车租金最低 【分析】本题主要考查了不等式的应用，有理数混合运算的应用，根据不等关系，列出不等式，是解题的关键． （1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据七年级有438名学生和20位教师，列出不等式，解不等式即可； （2）根据，得出或或，共有3种租车方案，然后求出三种方案的租金，再进行判断即可． 【详解】（1）解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据题意得： ， 解得， ∵x为非负整数， x最大为2， 答：最多可以租用2辆A型客车； （2）解：共有三种租车方案， 方案一：租用2辆A型客车和8辆B型客车，租金为（元）； 方案二：租用1辆A型客车和9辆B型客车，租金为（元）； 方案三：租用10辆B型客车，租金为（元）； ∵， 租用2辆A型客车和8辆B型客车租金最低． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）蓝莓因富含花青素、膳食纤维等多种营养成分，受广大消费者的喜欢．某超市计划购买并销售大果和小果两种蓝莓共50斤．这两种蓝莓的进价和售价如表如示（单位：元/斤）： 类型 进价 售价 大果 30 40 小果 20 28 (1)如果该商家购进这两种蓝莓所花费成本为1200元，那么购进大果和小果两种蓝莓各多少斤？ (2)为了保证这50斤蓝莓全部售出后（不考虑折损），所得利润不低于448元，那么该商家至少能购进大果蓝莓多少斤？ 【答案】(1)购进大果蓝莓20斤，小果蓝莓30斤 (2)该商家至少购进大果蓝莓24斤 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设购进大果蓝莓x斤，则购进小果蓝莓斤，根据该商家购进这两种蓝莓所花费成本为1200元，列出一元一次方程，即可解答； （2）设购进大果蓝莓y斤，则购进小果蓝莓斤，根据这50斤蓝莓全部售出后（不考虑折损），所得利润不低于448元，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设购进大果蓝莓x斤，则购进小果蓝莓斤，由题意列方程得： 解得： ， , 答：购进大果蓝莓20斤，则小果蓝莓30斤． （2）j :设购进大果蓝莓y斤，则购进小果蓝莓斤，由题意列不等式得： ， 解得， 答：该商家至少购进大果蓝莓24斤． 9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）为助力“双碳”目标的早日实现，某村预计用30300元村基金购买120棵成年银杏树和松树，以此来中和每年20500千克的二氧化碳排放量．经测算，每棵成年银杏树每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳． (1)求银杏树和松树各购买了多少棵？ (2)若银杏树的单价可以打8折，松树每棵250元，在不超过预计用基金的情况下，银杏树单价最高多少元？ 【答案】(1)银杏树和松树分别是50棵和70棵 (2)320元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程组，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设银杏树和松树各购买棵、棵，根据每棵成年银杏树每年可吸收200千克二氧化碳，每棵成年松树每年可吸收150千克二氧化碳， （2）设银杏树的单价为元／棵，根据等量关系列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设银杏树和松树各购买棵、棵， 根据题意得：， 解得， 答：银杏树和松树分别是50棵和70棵． （2）解：设银杏树的单价为元／棵， 根据题意得：， 解得：， 答：该银杏树的单价最多320元． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）期中考试后，八年一班张老师对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本20个需花费200元；若购买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个则需花费250元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【答案】(1)购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元； (2)至多需要购买21个甲种笔记本． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解； （2）设需要购买m本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解； 【详解】（1）解：设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元， 根据题意，得， 解得． 答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元； （2）解：设需要购买m本甲种笔记本， 根据题意，得， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大整数解为21， 答：至多需要购买21个甲种笔记本． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）统计资料表明，到2021年年底，A城市的城市建成区面积达，B城市的城市建成区面积比C城市的城市建成区面积大，且B城市与C城市的城市建成区面积之和比A城市的城市建成区面积还少． (1)求2021年B、C两城市的城市建成区面积分别是多少？ (2)2021年A城市的建成区绿地总面积为，若从2022年年初到2025年年底这四年期间，A城市的城市建成区面积平均每年都增加，建成区绿地面积平均每年都增加，要使到2025年年底，A城市的建城区园林绿地率超过（，简称绿地率），求a应超过多少？ 【答案】(1)B市建成区面积为，C市的城市建成区面积为． (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设B市的城市建成区面积为，C市的城市建成区面积为，依题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）平均每年增加城市建成区绿地面积应超过，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设B市的城市建成区面积为，C市的城市建成区面积为， 依题意得：， 解得：． 答：B市建成区面积为，C市的城市建成区面积为． （2）解：依题意得：． 解得：． 答：平均每年增加城市建成区绿地面积应超过． 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，“碳达峰”是指特定区域（国家、地区或行业）的二氧化碳排放量达到历史峰值后进入平台期并逐步下降的转折点．为了实现我国“碳达峰”的目标，我们每个人都应该进行低碳生活．下表统计了一系列排碳计算公式． 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家电动车的二氧化碳排放量公里数 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量’ 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 根据表中信息解决问题： (1)小明家六月份家居用电，私家电动车行驶了，使用天然气，使用自来水，求小明家六月份这四项二氧化碳排放量的总和； (2)小强家六月份家居用电，使用天然气，使用自来水，小强家六月份这四项二氧化碳排放量的总和没有超过小明家，则小强家六月份私家电动车行驶里程没有超过多少（结果精确到1）？ 【答案】(1)小明家六月份这四项二氧化碳排放量的总和为 (2)小强家六月份私家电动车行驶里程没有超过大约 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握问题中的数量关系是解答本题的关键． （1）根据排碳计算公式，将对应项的二氧化碳排放量相加即可； （2）设小强家六月份私家电动车行驶里程为x，根据“六月份这四项二氧化碳排放量的总和没有超过小明家”列不等式求解即可． 【详解】（1）解： 答：小明家六月份这四项二氧化碳排放量的总和为； （2）解：设小强家六月份私家电动车行驶里程为x ， . 解得. 答：小强家六月份私家电动车行驶里程没有超过大约. 13．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）为弘扬家乡文化，丰富学生课余生活，瓦房店某中学在“校园文化节”闭幕式上，计划将具有地方特色的工艺品和书籍作为奖品，激励获奖学生．经市场调查，若购买1套“复州皮影戏绘画套装”（含绘制皮影的传统工具和材料）与1本《皮影戏的秘密》书籍的总价为元；用元恰好可以购买3套“复州皮影戏绘画套装”和5本《皮影戏的秘密》书籍． (1)求1套“复州皮影戏绘画套装”和1本《皮影戏的秘密》书籍的价格各是多少元？ (2)学校计划用总费用不超过元的资金，为获奖的名同学颁发奖品（每人一套“复州皮影戏绘画套装”或一本《皮影戏的秘密》书籍），求最多可以购买多少套“复州皮影戏绘画套装”？ 【答案】(1)1套“复州皮影戏绘画套装”的价格为元，1本《皮影戏的秘密》书籍的价格为元 (2)套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）设1套“复州皮影戏绘画套装”的价格为x元，1本《皮影戏的秘密》书籍的价格为y元，然后根据等量关系列方程组，即可求解； （2）设购买“复州皮影戏绘画套装”n套，然后列出不等式组，然后即可求解； 【详解】（1）解：设1套“复州皮影戏绘画套装”的价格为x元，1本《皮影戏的秘密》书籍的价格为y元， 根据题意，列方程组得：， 解得：， 答：1套“复州皮影戏绘画套装”的价格为元，1本《皮影戏的秘密》书籍的价格为元； （2）解：设购买“复州皮影戏绘画套装”n套， 则， 解得， ∴最多可以购买“复州皮影戏绘画套装” 套． 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地，已知长绒棉的进价为万元/，纺织面料的出厂价为万元/，公路运价为元/，铁路运价为元/，且这两次运输共支出公路运费6500元，铁路运费20800元． (1)设购买长绒棉，制成纺织面料． ①根据题中数量关系填写下表 xt长绒棉 yt纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②求x，y的值： (2)为了顺应时代的发展，该纺织厂对纺织面料进行了工艺改良．若长绒棉的进价不变，丝路纺织厂生产的这批纺织面料毛利润不低于万元，那么这批纺织面料的出厂单价至少提高多少万元/（毛利润销售额原料费（只计长绒棉的价格）运输费的和）？ 【答案】(1)①见解析；② (2)万元/ 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式和代数式是解题的关键． （1）①根据铁路和公路的收费标准计算求解即可；②根据①所求结合公路运费6500元，铁路运费20800元建立方程组求解即可； （2）设提高m万元/，根据毛利润销售额原料费（只计长绒棉的价格）运输费的和建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，长绒棉的公路运费为元，铁路运费为元； 纺织面料的公路运费为元，铁路运费为元； 填表如下： 长绒棉 纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②由题意可列方程组， 解得： 答：x的值为500，y的值为400； （2）解：设提高m万元/， 根据题意可列不等式：， 解得． 答：这批纺织面料的出厂单价至少提高万元/． 考点09 不等式（组）的其他应用 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）若式子有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数必须非负，即，解此不等式即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 即不可以是． 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于5”，如果程序操作了两次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出关于x的一元一次不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解①式得：， 解②式得： 则不等式组的解集为：， 故选D 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于80”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于80，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】解：设输入的为x， 由题意知， 解得：， 故选：B． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：D． 7．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键．根据题意，先计算第一次，得到的结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 第一次计算得：， 第二次计算得：， ∵如果程序操作进行了二次才停止，则有； 解得：， ∴的取值范围是； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）对于实数x，我们规定：用符号表示不超过x的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是．其中正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了一元一次不等式组和有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确表示不超过的最大整数．根据表示不超过的最大整数来进行求解． 【详解】解：①，故此项正确； ②错误，例如：； ③若，则，所以，故此项错误； 综上所述，正确的结论有①． 故答案为：①． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）定义新运算：对于任意实数，都有：，其中等式右边是通常的加法，减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义的实数运算和解一元一次不等式，根据题意列出不等式是关键．根据新定义得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 即为 解得 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______； 【答案】 【分析】本题考估算无理数的大小，不等式的性质，根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间” 【详解】解：∵ ∴， ∴的“雅区间”是， 故答案为： 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知符号表示不大于x的最大整数，例如：，，．若m满足，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，根据新定义可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $