专题01 三角形的证明与应用（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 专题聚焦三角形证明及应用，覆盖10个高频考点，汇编辽宁多地期末真题，含辽河测量实际应用、“倍角三角形”新定义等创新题型，梯度分布基础与综合题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|内角和、三角形分类、多边形内外角|结合三角板摆放等情境，考查基础计算| |填空|约20题|等腰三角形性质、直角三角形应用|设置多结论判断，强化性质综合运用| |解答|约15题|角平分线、线段垂直平分线、尺规作图|含辽河宽度测量实际应用题，“倍角三角形”新定义探究题，突出推理与创新|

专题01 三角形的证明及应用 高频考点概览 考点01利用三角形内角和、外角性质求解 考点02三角形的分类与判断 考点03多边形的内角与外角计算 考点04等腰三角形与等边三角形的判定与性质综合 考点05直角三角形的性质应用 考点06角平分线的性质与判定 考点07线段垂直平分线的性质与判定综合 考点08尺规作图——作垂线、角平分线、线段垂直平分线 考点09三角形多结论判断正误问题 考点10三角形最值与线段/角度之间关系的探究问题 考点01 利用三角形内角和、外角性质求解 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在中，，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，相交于点G，若，，则的大小为_______°． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则_____．    8．（24-25七年级上·辽宁本溪·期末）如图小明将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若与垂直，则的度数为______． 考点02 三角形的分类与判断 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．： 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）下列条件中，可以判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 7．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形两个锐角的和等于 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．全等三角形的对应角相等 8．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）下列命题中是真命题的是（ ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．对角线相等的四边形是平行四边形 考点03 多边形的内角与外角计算 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（   ） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）我县为创建全国文明城市，园林工人要在社区公园铺设一个从上面看（俯视）为正多边形的花坛，为了美观，施工时要求正多边形花坛的每个外角都为，工人设计的正多边形花坛是几边形（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）下列事件中是必然事件的是（   ） A．投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．任意一个多边形的外角和都等于 C．篮球运动员投球一次，投中 D．打开电视机正在播放的是新闻联播节目 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是________边形． 7．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形的内角和是________． 考点04 等腰三角形与等边三角形的判定与性质综合 1．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知，点D在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在等腰三角形中，若，则的度数是___________． 7．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是__________． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为_____． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点，分别是边，边上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为_____． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）辽河是流经盘锦市内的一条河流，两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量辽河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量辽河的宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图1，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得米． 如图2，观测者在河南岸找到一点 B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点 D，使得树、标杆、人在同一直线上，测得长为25米． 测量示意图 根据第一小组，第二小组的测量方案，分别求出该段辽河的宽度． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持且在右侧，连接． (1)求证： ； (2)若，，求的长； (3)若点D是边所在直线上的一动点，请直接写出线段之间的关系，并用尺规在后面备用图中画出相应的图形；（提示：分三种情况讨论） (4)点D在线段上运动的过程中，是否存在一点D，使线段，若存在请直接说明其位置． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，．点，在边上，．作，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)当时，直接写出的度数． 14．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 考点05 直角三角形的性质应用 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（    ） A． B． C．5 D．4 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，于点，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，为边上的高，，，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为____米． 7．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为______． 8．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，是边的中点．连接．若，则的度数为______． 9．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）已知的三个内角度数之比为，若它的最长边为3，则最短边长为______． 10．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，等腰中，，，，则点A到边的距离是__________． 11．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 12．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，于点D，，，则等于____________． 考点06 角平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在中，，平分交于点D，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，平分，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，，平分，点P为线段上的一点，过点P作交直线于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（    ） A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点 B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点 D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在Rt中，的平分线交于点，则点到边的距离是___________． 9．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，的内部有两条射线，，，于点，连接交于点．若，，则的长为______． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，若，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 12．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． (1)观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． (2)探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点．    (1)若是的高，且，则的度数为 ； (2)若是的角平分线，，求的度数． 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 考点07 线段垂直平分线的性质与判定综合 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线分别交于点D，E，连接．若，的周长为13，则的周长为（    ） A．13 B．16 C．19 D．29 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（   ） A．13 B．15 C．19 D．20 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，平分，若，，则______．（用含，的代数式表示） 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是________． 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，于点，垂直平分，垂足为点，交于点，点是上一动点，则周长的最小值为 _______． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则______． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第84页《实验与探究》有这样一段话： 在一个三角形中，等边所对的角等；反过来，等角所对的边等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？ 为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，李老师给出如下问题：（1）如图1，在中，，求证：． ①如图2，小涛认为：作的平分线，因为，所以在上截取，连接，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． ②如图3，小亮认为：因为，所以在边上截取，连接，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． （1）请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． 【类比分析】通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． （2）如图1，在中，．求证：． 【知识应用】（3）如图4，在中，平分交于点．求证：． 考点08 尺规作图——作垂线、角平分线、线段垂直平分线 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，在直线上任取一点，使得，连接，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 4．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点，并连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（　）（用含a的代数式表示）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，以的顶点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，若，，则_______． 7．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为__________． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线m于点E，连接．若，则的度数为_______． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为________． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E．作射线BE交AC于点F，若，则______（用含a的代数式表示）．    11．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，是的角平分线，． (1)尺规作图：作的平分线与相交于点E；（作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） (2)直接写出的度数． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，两点，作直线，点在直线上，连接，，延长至点． 请根据要求完成以下作图与证明． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，求证：． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，． (1)作边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的度数． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 考点09 三角形多结论判断正误问题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中，正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．① 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数 ； ； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，和都是等边三角形，且点，，在同一条直线上，连接，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，则以下结论：①；②；③为等边三角形；④平分，其中一定成立的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有______（将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 考点10 三角形最值与线段/角度之间关系的探究问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在等边三角形中，边上的中线，、分别是线段、上的一个动点，在点，运动的过程中，的最小值是______． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是___________． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，，为的角平分线，点E，F分别为线段，上的动点．当最小时，则的长为_____．（用含的式子表示） 4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在等边中，是的角平分线，且，，分别是，线段上的动点，则的最小值等于______． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，于点，垂直平分，垂足为点，交于点，点是上一动点，则周长的最小值为 _______． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）等边中，是边上的高，且，点E是边的中点，若点P是线段上的动点，则的最小值是__________． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，延长到点，连接，过点作，过点作，连接，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)请说明线段与线段平行吗？并说明理由． (2)请说明与全等吗？并说明理由． (3)请说明线段与线段的关系？并说明理由． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及应用 高频考点概览 考点01利用三角形内角和、外角性质求解 考点02三角形的分类与判断 考点03多边形的内角与外角计算 考点04等腰三角形与等边三角形的判定与性质综合 考点05直角三角形的性质应用 考点06角平分线的性质与判定 考点07线段垂直平分线的性质与判定综合 考点08尺规作图——作垂线、角平分线、线段垂直平分线 考点09三角形多结论判断正误问题 考点10三角形最值与线段/角度之间关系的探究问题 考点01 利用三角形内角和、外角性质求解 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在中，，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据已知条件和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形、三角形内角和、三角形外角的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质；结合题意，根据全等三角形的性质，得，，再通过三角形内角和计算得，最后利用三角形外角性质计算，即可完成求解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质，可得，即可． 【详解】解：如图，根据题意得：， ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：D． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，相交于点G，若，，则的大小为_______°． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，，则_____．    【答案】24 【分析】本题主要考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由三角形外角的性质与，即可求得，进而即可求得的度数． 【详解】解：如图，   ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁本溪·期末）如图小明将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若与垂直，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形内角和定理及外角性质是正确解决本题的关键． 由与垂直可求得，再根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点02 三角形的分类与判断 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．： 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质和判定方法，包括三角形内角和定理、勾股定理及其逆定理的应用．解题的关键在于能够准确地应用这些定理来判断给定条件是否能确定一个三角形为直角三角形．根据直角三角形的判定条件（勾股定理、角的关系）逐一分析各选项． 【详解】解：A. 由及三角形内角和，得，故，能判定为直角三角形； B. 将等式变形为，符合勾股定理，说明，能判定为直角三角形； C. 设三边为，验证得，满足勾股定理，说明为直角三角形； D. 由，计算得各角分别为，无角，故不能判定为直角三角形； 故选：D 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点，掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过计算角度或验证勾股定理逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形即可得答案． 【详解】解：A．∵， ∴最大角为，故不是直角三角形，符合题意， B．∵， ∴设，，，则，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C．∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）下列条件中，可以判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理．利用围成三角形的条件，勾股理定理的逆定理和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴，围不成三角形，故此选项不符合题意； B、∵， 不是直角三角形，故此选项符合题意； C、，， 最大角， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， 是等边三角形，不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 7．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形两个锐角的和等于 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】判断定理是否有逆定理，需验证其逆命题是否为真，若逆命题不成立，则原定理无逆定理． 本题考查了逆定理的判定，熟练掌握逆命题的判定是解题的关键． 【详解】解： A. 逆命题：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”正确，故A有逆定理； B. 逆命题：“两个锐角和为的三角形是直角三角形”由内角和，第三个角必为，故B有逆定理； C. 逆命题：“等边三角形是有一个角为的等腰三角形”正确，因等边三角形必满足，故C有逆定理； D. 逆命题：“对应角相等的两个三角形是全等三角形”错误，对应角相等无法保证全等； 故D无逆定理． 故选：D． 8．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）下列命题中是真命题的是（ ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平行线性质、三角形内角和、外角定理及平行四边形的判定进行判断即可，熟练掌握平行线性质、三角形内角和、外角定理及平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两直线平行时，同旁内角互补（和为），而非相等，原选项是假命题，不符合题意； 、若三角形中有两个角互余（和为），则第三个角为，必为直角三角形，原选项是真命题，符合题意； 、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题，不符合题意； 、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形对角线相等但非平行四边形，原选项是假命题，不符合题意； 故选：． 考点03 多边形的内角与外角计算 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（   ） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）一个正多边形的每个内角都等于，那么它是（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形内角与外角的关系，由正多边形的每个内角求出对应的外角，再利用外角和为计算边数。 【详解】解：∵每个内角为， ∴每个外角为， ∴边数为， 故该正多边形是正十二边形， 故选：． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）我县为创建全国文明城市，园林工人要在社区公园铺设一个从上面看（俯视）为正多边形的花坛，为了美观，施工时要求正多边形花坛的每个外角都为，工人设计的正多边形花坛是几边形（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了正多边形的外角问题，根据正多边形的外角和为，每个外角为，利用外角和公式计算边数． 【详解】正多边形的所有外角之和恒等于，已知每个外角为， 设正多边形的边数为， 根据题意，． 因此，该正多边形是正八边形． 故选：C． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）下列事件中是必然事件的是（   ） A．投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．任意一个多边形的外角和都等于 C．篮球运动员投球一次，投中 D．打开电视机正在播放的是新闻联播节目 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故该选项不符合题意； B、任意一个多边形的外角和都等于是必然事件，故该选项符合题意； C、篮球运动员投球一次，投中是随机事件，故该选项不符合题意； D、打开电视机正在播放的是新闻联播节目是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故选：D． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是________边形． 【答案】/十 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和，熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中n为边数）是解答本题的关键．结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形的内角和是________． 【答案】/1800度 【分析】本题主要考查的是多边形的内角与外角的关系．记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征是解题的关键． 根据每个内角的度数等于和它相邻外角的度数的2倍并结合其外角和为360°得到多边形的内角和． 【详解】解：∵多边形的每个内角都是相邻外角的5倍， ∴多边形内角和的度数是外角和度数的5倍，多边形的外角和为360°， ∴这个多边形的内角和为． 故答案为：． 考点04 等腰三角形与等边三角形的判定与性质综合 1．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．此问题也要分类讨论，只是的角为底角是不成立的，要舍去，所以只有一种情况．根据等腰三角形的及三角形的内角和定理可知：的角必是顶角，根据三角形内角和求出另外两个角即可． 【详解】解：当顶角为时，底角的度数为； 当底角为时，两底角的度数和为：，因此这种情况不成立． 故选B． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，，根据，，用含、的代数式表示、，最后在中，利用三角形内角和定理，代入计算即可． 【详解】∵，， 设，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴ 故选． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知，点D在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等），三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于），等腰三角形的性质定理（等边对等角），解题的关键是掌握并熟练应用相关性质定理．先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴ 故选：C． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在等腰三角形中，若，则的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查等腰是三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等结合求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形中，若， ∴顶角，底角， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论即可得出结论． 【详解】解：在中，设，分情况讨论： 当为底角时，，解得，则；所以，三个分别为；． 当为底角时，，解得，所以，三个分别为；． 当时，，此种情况不存在， 所以，该等腰三角形中最小的内角的度数是或． 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点，分别是边，边上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为_____． 【答案】或或． 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；进而求出．由即可求解，同理可求当时，③当时． 【详解】解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： ①当时， ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， ②当时，如图： ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， ③当时，如图： ∴， ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， 综上所述，为或或． 故答案为：或或． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）辽河是流经盘锦市内的一条河流，两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量辽河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量辽河的宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图1，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得米． 如图2，观测者在河南岸找到一点 B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点 D，使得树、标杆、人在同一直线上，测得长为25米． 测量示意图 根据第一小组，第二小组的测量方案，分别求出该段辽河的宽度． 【答案】该段辽河的宽度为25米． 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识： 第一小组：根据三角形外角性质求出，再根据等角对等边求出米；第二小组：根据证明，得米． 【详解】解：第一小组： ， ， 米， 米， 河宽为25米； 第二小组：由题意得，， 米， 米， 河宽为25米． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持且在右侧，连接． (1)求证： ； (2)若，，求的长； (3)若点D是边所在直线上的一动点，请直接写出线段之间的关系，并用尺规在后面备用图中画出相应的图形；（提示：分三种情况讨论） (4)点D在线段上运动的过程中，是否存在一点D，使线段，若存在请直接说明其位置． 【答案】(1)证明过程详见解答 (2)6 (3)当点D在上时，；当点D在的延长线上时，；当点D在的延长线上时，见解析 (4)点D为中点 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）可得，从而得出，进而得出 ； （2）由 得出，从而得出； （3）当点D在上时，由（）知，，当点D在的延长线上时，由全等得出，当点D在的延长线上时，由全等得出； （4）等腰直角三角形性质及勾股定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， ， ； （3）解：如图， 当点D在上时，由（）知， ， 如图， 当点D在的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ，， ； ， ， 如图， 当点D在的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ，， ； ， ； （4）解：如图4， 当D为中点时，在中，，， ， ， ， ， 故点D为中点时，． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)②③； (2)①见解析；②或或19°或． 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③． （2）①证明：， ， ∵将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”； ②解：由①可得， 如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是“倍角三角形”， 或或或， 当时，， ； 当时，， ； 当时， ∵ ∴， ， ； 当时， ∵ ， ， ． 综上所述：或或19°或． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，．点，在边上，．作，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)当时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； （1）根据，得出，，根据三角形的外角的性质可得，，即可得出； （2）设，则，根据三角形的外角的性质得出，根据等边对等角得出，得出，进而证明可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． （3）过点作交的延长线于点，连接，证明得出，根据三角形内角和定理求得，根据已知，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵，， 又∵，， ∴ ∴ （2）解：设，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 （3）解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ 14．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理， （1）根据等边对等角推出，利用垂直的性质推出，由此证得，得到为等腰三角形； （2）在中，由勾股定理得，代入计算可得答案． 【详解】（1）证明：∵在等腰三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得． 考点05 直角三角形的性质应用 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先求出，连用两次30度角的性质即可求出长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，于点，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形及为中线，可得：，，再根据含直角三角形的性质可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在等边三角形中，为中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在中，为边上的高，，，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 如图，当为钝角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数是或， 故选：． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为____米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为18米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为18米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：6． 7．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为______． 【答案】4 【分析】利用角所对是直角边是斜边的一半求出、的长，再由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理即可解决问题． 本题主要考查了角所对是直角边是斜边的一半，勾股定理，熟记性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵在中，， ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，是边的中点．连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得，然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】∵中，，是边的中点， ∴是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）已知的三个内角度数之比为，若它的最长边为3，则最短边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及直角三角形的性质，设三个内角分别是k，，，根据三角形的内角和定理，即可求得三个角的度数，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意，设三个内角分别是k，，， 则， 解得， ∴这个三角形的三个内角分别是，，， ∴它的最短边与最长边之比为：． ∵最长边为3， ∴最短边的长为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，等腰中，，，，则点A到边的距离是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质， 根据等腰三角形的性质得，过点A作，交的延长线于点D，再根据直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 过点A作，交的延长线于点D， 在中，， ∴． 所以点A到的距离是4． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，角的直角三角形的性质，过点作于点C，根据角的直角三角形的性质求出，然后根据平行四边形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点C， 则， ∴线段所扫过的区域面积是 故答案为：． 12．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，于点D，，，则等于____________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据，可得，从而得到，再由，可得，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 考点06 角平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在中，，平分交于点D，，的面积为，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点D作于E，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，， ，     解得：， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，平分，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形角平分线的定义，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 先根据三角形内角和定理得出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，，平分，点P为线段上的一点，过点P作交直线于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的性质即可求出度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（    ） A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点 B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点 D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 根据集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，则集贸市场为直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点． 【详解】解：∵集贸市场到公路、铁路的距离相等， ∴集贸市场在直线公路和铁路的角平分线上， ∵且到水路和电网的距离相等， ∴集贸市场在水路和电网的夹角平分线上， 故选：C． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 又平分， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在Rt中，的平分线交于点，则点到边的距离是___________． 【答案】6 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得到点到边的距离等于的长即可得出结果． 【详解】解：∵的平分线交于点， ∴点到边的距离为6，点到边的距离等于点到边的距离， 即：点到边的距离是6； 故答案为：6． 9．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，的内部有两条射线，，，于点，连接交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一及角平分线的性质是解题的关键．先根据已知角的关系及，得出是的垂直平分线，得到的长度，再利用角平分线的性质求解． 【详解】解：设 ， ，且 ，， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图， 中，是角平分线，点E，F分别在边，上，，相交于点G，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证 （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，若，，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． (1)观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． (2)探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键 （1）作于点D，根据角平分线的性质结合题意证明，即可得出结论； （2）①同（1）的方法证明即可；②先证明，得到得到，，结合题意利用含30度角的直角三角形性质得到，，进而推出结论 【详解】（1），理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ． ②∵点P在的角平分线上，， ， ， ， ，， ， , ， 又，， ，即 13．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得出，再由证，即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，平分，，， ，． 在和中， ，，， （）． ． （2）解：在和中， ，， ． ． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点．    (1)若是的高，且，则的度数为 ； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，由三角形高的定义得，进而根据三角形外角性质即可求解； （）由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形的角平分线，三角形的高，三角形的外角性质和内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； （3）先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】解：（1），理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； （2）∵， 由（1）知：， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 考点07 线段垂直平分线的性质与判定综合 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线性质是解决问题的关键．由、分别垂直平分、，得到，再由的周长表示出来即可得到答案． 【详解】解： 、分别垂直平分、， ， ， 故选：A 2．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含角的直角三角形的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出，再利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解． 【详解】解： 边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， 的周长为12cm， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线分别交于点D，E，连接．若，的周长为13，则的周长为（    ） A．13 B．16 C．19 D．29 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：根据作图知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（   ） A．13 B．15 C．19 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，，根据的周长为9，求得，即可求出的周长． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：C． 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最短路径问题，在周长最小时找到点和的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决，作点关于的对称点为，点关于的对称点为，当点共线时，的周长为，此时周长最小为，根据判定是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示： 则当点共线时，的周长为，此时周长最小， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是边上的两点，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，多边形内角和． 先根据等边对等角和三线合一得到，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，根据三角形内角和求出，根据四边形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，分别为的中点， ∴，，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 由三角形内角和可知：， ∴， ∴， 由四边形内角和可知：， 即， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得∠且，再利用外角的性质得，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，平分，若，，则______．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，与角平分线有关的三角形内角和定理．根据题意得，，得到，再根据三角形内角和定理得到，进而由角的和差关系得到，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，射线为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，垂直平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，由折叠性质可知，，，则有，，故垂直平分，，所以，然后通过勾股定理，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，于点，垂直平分，垂足为点，交于点，点是上一动点，则周长的最小值为 _______． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、线段的垂直平分线的性质及三角形的面积公式等知识，正确作出辅助线是解题的关键．连接，首先结合三角形的面积公式求得的值，再根据垂直平分线的性质易得，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，于点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴周长为：， 即周长的最小值为：． 故答案为：7． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则______． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第84页《实验与探究》有这样一段话： 在一个三角形中，等边所对的角等；反过来，等角所对的边等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？ 为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，李老师给出如下问题：（1）如图1，在中，，求证：． ①如图2，小涛认为：作的平分线，因为，所以在上截取，连接，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． ②如图3，小亮认为：因为，所以在边上截取，连接，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． （1）请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． 【类比分析】通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． （2）如图1，在中，．求证：． 【知识应用】（3）如图4，在中，平分交于点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据小涛和小亮的思路进行作答即可； （2）方法一：过点作，交于点，根据等角对等边，结合三角形的三边关系即可得证； 方法二：作的垂直平分线，交于点，连接，根据中垂线的性质，结合三角形的三边关系即可得证； （3）方法一：在上取点，使，连接，证明，得到，，根据，推出，进而得到，利用三角形的外角的性质即可得出结论； 方法二：延长至点，使，连接，证明，得到，，推出，进而得到，再根据三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：选择① 在和中 ． ． ， ． 选择② ， ． ， ， ． （2）方法一：， 过点作，交于点， ． ， ． ． 方法二： ， 作的垂直平分线，交于点，连接， ． ， ． ． （3）方法一：在上取点，使，连接． 在和中 ． ，． ， ． ． ． ． ． ； 方法二：延长至点，使，连接， 在和中 ． ，． ， ． ． ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，中垂线的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 考点08 尺规作图——作垂线、角平分线、线段垂直平分线 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，在直线上任取一点，使得，连接，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得．由勾股定理得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 过点G作于点H，由作图过程可知，射线为的平分线，可得，则点G到的距离为6． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图过程可知，射线为的平分线， ∵，， ∴， ∴点G到的距离为6． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．根据作图步骤可得，，点F在的垂直平分线上，得到，的周长，再结合选项分析即可得出答案． 【详解】解：由步骤（1）（2）可得， 由步骤（3）可得， 由步骤（4）可得点F在的垂直平分线上，则， ∴的周长， 由作图步骤无法判断， 结合选项可得，A、B、D选项的结论正确，不符合题意；C选项的结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点，并连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中利用含30度角的直角三角形三边的关系以及勾股定理得到，再由基本作图得到垂直平分，所以，则，接着证明为等边三角形，所以，根据等边三角形的性质得，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理求出的长． 【详解】解：在中，∵， ，即， ， 由尺规作图作法得垂直平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ∵点是的中点， ， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系等知识点． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（　）（用含a的代数式表示）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质和角平分线的定义．利用基本作图得到，平分，接着证明得到，然后利用求解． 【详解】解：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，以的顶点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，若，，则_______． 【答案】45 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，设，则，，利用三角形内角和定理构建方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线m于点E，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，中垂线的性质，三角形的外角和，根据作图得到是的垂直平分线，进而得到，等边对等角，结合三角形的外角，求出，平行线的性质，结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：由题意知，是的垂直平分线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为________． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，证明，根据等腰三角形三线合一性质得，再证明得到，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线， ∴为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的画法和定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，通过作辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E．作射线BE交AC于点F，若，则______（用含a的代数式表示）．    【答案】/ 【分析】本题考查了复杂作图，掌握等腰三角形的性质、内角和定理及直角三角形的性质是解题的关键．先根据等腰三角形的性质和内角和定理求出的值，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设， 由作图可知，， ，于点F， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，是的角平分线，． (1)尺规作图：作的平分线与相交于点E；（作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） (2)直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据角平分线的尺规作图方法，即可作出的角平分线与相交于点； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线定义可得，再由三角形内角和为即可得到的度数． 【详解】（1）解：的平分线，如下所示： ； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的的角平分线， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，两点，作直线，点在直线上，连接，，延长至点． 请根据要求完成以下作图与证明． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，结合平分，可得，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求；                （2）证明：由作图知垂直平分， ． ， ， ． 即， 平分， ， ． ． 【点睛】本题考查角平分线的作法，平行线的判定，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，等边对等角等，难度不大，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，． (1)作边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）按照作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，进而得到，由等边对等角和三角形内角和定理，得到，利用角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：垂直平分， ． ． ， ． ， ． ． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一； (3)． 【分析】（1）根据题目中的步骤画图即可； （2）根据两位同学的证明过程判断所用的依据； （3）结合等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义即可得解． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② 三线合一 ）． 线段是中边上的高． 故答案为：①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一． （3）解：，， ， 线段是中边上的高线， ， 中，． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图—做垂线、垂直平分线的判定、三线合一、等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义，解题关键是理解题意． 考点09 三角形多结论判断正误问题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中，正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，理解直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． ①根据角平分线的性质得，由此可对结论①进行判断； ②依据“”判定在和全等得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③根据，得，，进而得，由此可对结论③进行判断； ④根据和全等得，再根据角平分线的定义可对结论④进行判断； ⑤根据，，得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①平分，，， ， 故结论①正确； ②在和中， ， ， ， ， 故结论②正确； ③，， ，， ， 故结论③正确； ④ ， ， 平分， 故结论④正确； ⑤，，， ， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是 ①②③④⑤． 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，可判断③；得，，通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 在和中， ， ∴，故结论③正确； ∴， 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是4个． 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可得出，可判断①；连接，根据垂直平分线的性质与判定得到，再利用的斜边大于直角边得到，可判断②；利用判定，从而得出，．则，即，可判断③；再利用判定，得出，又因为，所以，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形． ． 故①正确； 连接． 是等腰直角三角形， 又， 垂直平分， ， 在中，是斜边，是直角边， ， ， ．故②错误． 在和中， ，，且， ． 又，， ． ；． ， ；故③正确； 平分， ． 又，， ． ． 又， ；故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数 ； ； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由，，得，由平分得，所以，则，而，所以，可证明，得，可判断正确；由，可判断正确；求得，可证明，可判断错误；由，且，推导出，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，平分， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， 不是等腰直角三角形， ，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，和都是等边三角形，且点，，在同一条直线上，连接，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，则以下结论：①；②；③为等边三角形；④平分，其中一定成立的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据邻补角即可判断②结论；证明，即可判断③结论；由，而，则，根据角平分线的判定即可判断④结论． 【详解】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，①结论正确； ， ， 又 ， ， ∴，故②结论错误； ∵， ， 在和中， ， ， ， 又 ， 是等边三角形，③结论正确； 过点C作于点M，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，结论④正确， 故正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 7．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有______（将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】根据，，可得，可知①正确；利用证明，得，从而说明是等腰直角三角形，可知②正确；过点作于，则，利用可证，可说明③、④正确． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； 过点作于，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，故③、④正确； 故答案为；①②③④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 考点10 三角形最值与线段/角度之间关系的探究问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在等边三角形中，边上的中线，、分别是线段、上的一个动点，在点，运动的过程中，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 连接，由题意可得，将转化为，当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小． 【详解】解：如图：连接， 是等边三角形，是中线， 垂直平分， ， 当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小． 此时：是等边三角形，，， ， 即的最小值是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是___________． 【答案】5 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点．连接交于点Q，连接，根据两点之间线段最短，得出C、P、D在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点Q，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴C、P、D在同一直线上时，最小，即最小， 是的中点，为等边三角形， ∴，， 的最小值， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，，为的角平分线，点E，F分别为线段，上的动点．当最小时，则的长为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先根据等边三角形的性质可得，垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当点共线，且时，的值最小，然后根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵为的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短、垂线段最短可知，当点共线，且时，的值最小， ∴此时， 即当最小时，的长为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在等边中，是的角平分线，且，，分别是，线段上的动点，则的最小值等于______． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，连接，根据等边三角形的性质可得垂直平分，因此，根据“两点之间线段最短”与“垂线段最短”得到当点B，F，E在同一直线上，且时，取得最小值，根据的面积公式可推出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 当点B，F，E在同一直线上，且时，取得最小值， 如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， 即的最小值为4． 故答案为：4． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，于点，垂直平分，垂足为点，交于点，点是上一动点，则周长的最小值为 _______． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、线段的垂直平分线的性质及三角形的面积公式等知识，正确作出辅助线是解题的关键．连接，首先结合三角形的面积公式求得的值，再根据垂直平分线的性质易得，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，于点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴周长为：， 即周长的最小值为：． 故答案为：7． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）等边中，是边上的高，且，点E是边的中点，若点P是线段上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，利用轴对称解决线段和最小问题，连接，三线合一，得到两点关于对称，进而得到，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，为的长，三线合一结合等积法得到即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵等边，是边上的高，点E是边的中点， ∴，， ∴，两点关于对称， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∴的最小值是； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，延长到点，连接，过点作，过点作，连接，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)请说明线段与线段平行吗？并说明理由． (2)请说明与全等吗？并说明理由． (3)请说明线段与线段的关系？并说明理由． 【答案】(1)线段与线段平行，理由见解解析 (2)与全等，理由见解解析 (3)，理由见解解析 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，点D在的延长线上即可得出答案； （2）根据得，根据点F是的中点得，由此可判定； （3）根据得，由等腰直角三角形性质得，进而得，证明，则可依据“”判定得，再由（2）的结论得，由此得． 【详解】（1）线段与线段平行，理由： ∵，点D在的延长线上， ∴； （2）与全等，理由： ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （3）线段与线段的关系是：，理由： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， 综上可知，线段与线段的关系是：． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点，设射线交于，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 学科网（北京）股份有限公司 $