第五章图形的轴对称质量检测题2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学“图形的轴对称”单元复习卷，100分钟120分满分，覆盖轴对称图形、等腰三角形等核心知识，融合跨学科情境与实际应用，注重几何直观、空间观念及推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、等腰三角形性质|结合“蝴蝶曲线”等数学文化素材| |填空题|5/15|正六边形对称轴（跨学科生物）、折叠角度计算|网格对称概率问题，体现数据意识| |解答题|8/75|对称作图、垂直平分线应用、综合证明|含“温室花房交易中心定位”实际问题，第23题“探究应用”培养创新意识|

第五章图形的轴对称质量监测卷 (时间:100分钟 满分:120分) 选择题、填空题答案区 1—56—10 12. 13. 14. 15. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.数学中有许多精美的曲线，以下是“蝴蝶曲线”“费马螺线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”。其中不是轴对称图形的是 ( ) 2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠B=32°,则∠CAD的度数为 ( ) A.58° B.56° C.54° D.62° 3.(郑州金水区期末)如图，已知线段AB与线段A'B'关于直线l成轴对称，连接AB'，A'B，相交于点O，则下列结论不一定正确的是( ) A.AB=A'B' B.AB'=A'B C.AB'⊥A'B D. AA'∥BB' 4.如图,在△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C= ( ) A.28° B.25° C.22.5° D.20° 5.(郑州新郑市期末)正方形网格中，网格线的交点称为格点。如图，已知A，B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 6.如图,在△ABC中,∠APC=114°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N。若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为 ( ) A.48° B.52° C.62° D.66° 7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,分别以点A,C为圆心,以适当的长度为半径作弧，过两弧的交点作直线交AB于点D，连接CD；再如图所示作射线BP，交CD于点P。根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是 ( ) A. AD=CD B.∠ABP=∠CBP C.∠PBC=∠A D.∠BPC=115° 8.小明在学习“制作万花筒”后，形成一个可以自由开合的“镜子门”，把一个“万花筒图片”放在“镜子门”中间时，如图，镜子中的图片是完整的，那么此时“镜子门”的张角不可能是 ( ) A.60° B.72° C.120° D.180° 9.(河南省实验中学期中)如图，△ABC的面积为8，AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P，连接PC，则△PBC的面积为 ( ) A.4 B.3.5 C.3 D.4.5 10.(驻马店驿城区期末)如图，直线m是△ABC的BC边上的垂直平分线,点P是直线m上的一动点。若AB=6,AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值是 ( ) A.13 B.10 C.11 D.12 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.跨学科生物蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，正六边形的对称轴有 条。 12.如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE= °。 13.如图，在4×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂灰，再将其余的小正方形涂灰一个，使四个被涂灰的小正方形构成的图案为轴对称图形的概率是 。 14.如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,BE,CD分别为△ABC的角平分线,BE,CD相交于点F,FG平分∠BFC。若BD=3,CE=2,△BFC的面积为2.5,则△BCD的面积为 。 15.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=32°,以AC为斜边作等腰直角三角形ADC，则∠BAD的度数为 。 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16.(8分)如图,在△ABC中,D是AC上一点,且AB=BD=DC,∠C=36°,求∠DBC和∠ABC的度数。 17.(9分)如图，方格图中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点。 (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A₁B₁C₁; (2)直接写出AA₁的长度； (3)点D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使AD+DC最小。(保留作图痕迹) 18.(9分)(河南省实验中学期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC,腰BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,连接CE。 (1)若BC=5,AC=3,求△ACE的周长; (2)若∠B=40°,求∠ACE的度数。 19.(9分)如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房，现要在两条马路OM，ON之间的空地处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等。如何确定交易中心P的位置?在图2中利用尺规作图求作点P(不写作法，保留作图痕迹)。 20.(9分)如图1是一个平分角的仪器,其中OD=OE,FD=FE。 (1)如图2,将仪器放置在△ABC上,使点O与点A重合,D,E分别在边AB,AC上,沿AF画射线交BC于点P,则AP是∠BAC的平分线，说明理由。 (2)如图3,在(1)的条件下,过点P作PQ⊥AB于点Q。若AB+AC=a, 则PQ= 。 21.(10分)如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,连接CE,CE平分∠ACB。 (1)若∠BEC=46°,求∠B的度数; (2)若BC=4,△ABC的周长比△EBC的周长多8,△EBC的面积为6,求△AEC的面积。 22.(10分)如图,在等边三角形ABC中,点D在BC边上,点E在AC的延长线上,DA=DE。 (1)试说明:∠BAD=∠EDC。 (2)作出点E关于直线BC的对称点M,连接DM,AM,猜想DM与AM的数量关系，并说明理由。 23.(11分)【操作实验】如图，把等腰三角形沿顶角的角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称，所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C。 【归纳结论】如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。 根据上述内容，回答下列问题： 【思考验证】如图4,在△ABC中,AB=AC。试说明:∠B=∠C。 【探究应用】如图5,CB⊥AB,垂足为B,DA⊥AB,垂足为A,E为AB的中点,AB=BC,CE⊥BD。 (1)BE与AD是否相等,为什么? (2)小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗?说说你的理由。 (3)∠DBC与∠DCB相等吗?试说明理由。 第五章质量检测题 答案速查 1—5BACAC 6—10ACDAB 11.6 12.20 13. 14.4 15.103°或13° 1. B 2. A 解析:因为AB=AC,∠B=32°,所以∠C=∠B=32°。 因为AD为BC边上的中线,所以AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以∠CAD=90°-∠C=58°。故选A。 3. C 解析：因为线段AB与线段A'B'关于直线l成轴对称，所以AB=A'B',AO=A'O,BO=B'O,AA'∥BB',所以AB'=A'B,由已知条件无法得出AB'⊥A'B。故选C。 4. A 5. C 解析:如图,格点C₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆分别与点A，B构成的三角形是等腰三角形，所以使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是6。故选C。 6. A 解析：因为点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上， 所以AM=PM,CN=PN, 所以∠MAP=∠MPA,∠NCP=∠NPC。 因为∠BMN=180°-∠AMP=180°-(180°-∠MAP-∠MPA)=∠MAP+∠MPA,同理,∠BNM=∠NCP+∠NPC, 所以∠BMN=2∠MPA,∠BNM=2∠NCP。 又因为∠APC=114°, 所以∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°,所以∠ABC=180°-(∠BMN+∠BNM)=48°。故选A。 7. C 解析：由作图可知，点D在边AC的垂直平分线上，所以AD=CD,故A正确。由作图可知,BP平分∠ABC,所以∠ABP=∠CBP,故B正确。因为AB=AC,∠A=40°,所以∠ABC= 所以 又因为AD=CD,所以∠ACD=∠A=40°,所以∠PCB=∠ACB-∠ACD=30°,所以∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=115°,故C错误,D正确。故选C。 8. D 解析:A 所以以60°为张角，绕一圈可以完整的拼接图片，即镜子中的图片是完整的，符合题意； 所以以72°为张角，绕一圈可以完整的拼接图片，即镜子中的图片是完整的，符合题意； 所以以 120°为张角，绕一圈可以完整的拼接图片，即镜子中的图片是完整的，符合题意； 所以当张角为180°时，“镜子门”成一条直线，此时只有两面镜子，所以不能形成像万花筒那样完整的图片效果，不符合题意。故选D。 9. A 解析:如图,延长AP交BC于点E。 因为BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP, 所以∠ABP=∠EBP,∠APB=∠EPB=90°。 在△ABP和△EBP中, 因为∠ABP=∠EBP,BP=BP,∠APB=∠EPB, 所以△ABP≌△EBP,所以 所以 所以 故选A。 10. B 解析:如图,直线m交AB于D,连接BP。 因为直线m垂直平分BC， 所以BP=CP, 所以△APC的周长为AP+CP+AC=AP+BP+AC, 所以当点P和点D重合时， AP+BP的值最小，最小值等于AB的长， 所以△APC周长的最小值是AB+AC=6+4=10。故选B。 11.6解析：如图，正六边形的对称轴有6条。 12.20 解析:因为∠BAD=∠ABC=40°, 所以∠ADB=180°-∠BAD-∠ABC=100°, 所以 由翻折,得∠ADE=∠ADB=100°, 所以∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°。 13. 解析：如图，将小正方形①②③④任意涂灰一个，都能使四个被涂灰的小正方形构成的图案为轴对称图形， 所以使四个被涂灰的小正方形构成的图案为轴对称图形的概率是。 14.4 解析:如图,过点F作FN⊥BC于点N,FM⊥AB于点M。 因为∠BAC=60°,BE,CD为△ABC的角平分线, 所以 所以 所以∠BFC=180°-(∠EBC+∠DCB)=120°, 所以∠BFD=180°-∠BFC=60°。 因为FG平分∠BFC,所以 在△BDF和△BGF中, 因为∠BFD=∠BFG,BF=BF,∠DBF=∠GBF, 所以△BDF≌△BGF,所以BD=BG。 同理可得△CEF≌△CGF,所以CE=CG, 所以BC=BG+CG=BD+CE。 因为BD=3,CE=2,所以BC=5。 因为 所以 所以FN=1, 所以FM=1,所以 所以 15.103°或 13° 解析:因为在△ABC中,∠B=90°,∠C=32°,所以∠BAC=90°-∠ACB=90°-32°=58°。因为△ADC是以AC为斜边的等腰直角三角形， 所以∠ADC=90°,DA=DC, 所以 当△ADC与△ABC在斜边AC的两侧时,∠DAC=45°,则∠BAD=∠BAC+∠DAC=58°+45°=103°; 当△AD'C与△ABC在斜边AC的同侧时,∠D'AC=45°,则∠BAD'=∠BAC-∠D'AC=58°-45°=13°。 综上,∠BAD的度数为103°或13°。 16.解:因为BD=DC,∠C=36°,所以∠DBC=∠C=36°, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠C=108°, 所以∠ADB=180°-∠BDC=72°。 因为AB=BD,所以∠A=∠ADB=72°, 所以∠ABD=180°-∠A-∠ADB=36°, 所以∠ABC=∠ABD+∠DBC=72°。 17.解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求 ()AA2₁的长度为10。 (3)如图，点D即为所求。 18.解:(1)因为ED垂直平分BC,所以CE=BE。 因为AB=BC=5,AC=3, 所以△ACE的周长为AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=8。 (2)因为ED垂直平分BC,所以CE=BE,所以∠ECB=∠B=40°。 因为AB=BC,所以 所以∠ACE=∠ACB-∠ECB=30°。 19.解：如图，点P即为所求。 20.解:(1)理由如下: 在△ADF和△AEF中,因为AD=AE,AF=AF,FD=FE,所以△ADF≌△AEF,所以∠DAF=∠EAF, 所以AP是∠BAC的平分线。 (2 )提示:如图,过点P作PG⊥AC于点G。 因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PG⊥AC, 所以PQ=PG,所以 因为 所以 所以 21.解:(1)因为DE垂直平分AC,所以EA=EC, 所以∠A=∠ACE。 因为∠BEC=46°,所以∠AEC=180°-∠BEC=134°, 所以 因为CE平分∠ACB,所以∠ACB=2∠ACE=46°, 所以∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-23°-46°=111°。 (2)如图,过点E作EF⊥BC,交CB的延长线于点F。 因为DE⊥AC,CE平分∠ACB. 所以EF=DE, 所以 所以DE=EF=3。 因为 所以AC=8, 所以 22.解:(1)因为△ABC是等边三角形, 所以∠BAC=∠ACB=60°,所以∠DCE=180°-∠ACB=120°, 所以∠BAD+∠DAC=60°,∠EDC+∠E=180°-∠DCE=60°, 所以∠BAD+∠DAC=∠EDC+∠E。 因为DA=DE,所以∠DAC=∠E,所以∠BAD=∠EDC。 (2)DM=AM。理由如下: 如图，因为点M，E关于直线BC对称，所以∠MDC=∠EDC,DM=DE。 由(1)得∠BAD=∠EDC, 所以∠MDC=∠BAD。 因为∠BAD+∠B+∠ADB=∠ADB+∠ADM+∠MDC=180°,所以∠ADM=∠B=60°。 又因为DA=DE=DM,所以△ADM是等边三角形,所以DM=AM。 23.解:【思考验证】 如图,取BC的中点D,连接AD,则BD=CD。 在△ABD和△ACD中, 因为AB=AC,AD=AD,BD=CD,所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C。 【探究应用】 (1)BE=AD。理由如下:如图,因为DA⊥AB,CE⊥BD,所以∠1+∠ADB=90°,∠BEC+∠1=90°,所以∠ADB=∠BEC。 在△ADB和△BEC中,因为∠ADB=∠BEC,∠DAB=∠EBC,AB=BC,所以△ADB≌△BEC,所以BE=AD。 (2)小明说的对。理由如下： 如图，DE与AC相交于点F。 因为E是AB中点,所以AE=BE。 因为BE=AD,所以AE=AD。 在△ABC中,因为AB=BC,所以∠BAC=∠BCA。 因为DA⊥AB,CB⊥AB,所以∠DAB=∠CBA=90°, 所以AD∥BC,所以∠DAC=∠BCA,所以∠BAC=∠DAC。 在△ADC和△AEC中,因为AD=AE,∠DAC=∠EAC,AC=AC, 所以△ADC≌△AEC,所以CD=CE,∠DCA=∠ECA, 所以CF⊥DE,DF=EF, 所以AC垂直平分DE，即AC是线段DE的垂直平分线。 (3)∠DBC=∠DCB。理由如下: 由(1)得△ADB≌△BEC,所以BD=CE。 由(2)得,CD=CE,所以BD=CD,所以∠DBC=∠DCB。 学科网（北京）股份有限公司 $