第九章-第10章阶段训练（9.1-10.5）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 本卷聚焦分式与因式分解，通过新定义题型（如和谐分式、假分式）、几何代数融合题（如正方形面积计算）及分层设计，考查运算能力与推理意识，适配初中月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|分式意义、分式变形、因式分解、几何面积|第5题结合图形面积构建方程，考查模型意识| |填空题|6|分式方程解的讨论、代数式求值、因式分解应用|第14题通过幂的运算规律探究，培养抽象能力| |解答题|10|因式分解、分式方程、新定义探究、几何证明|25-26题以“和谐分式”“假分式”新定义为载体，考查知识迁移与推理能力，贴合核心素养要求|

第九章-第10章阶段训练（9.1-10.5） 一、单选题 1．代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的 3．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 6．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 8．已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．已知，求的值为________． 12．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 13．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 14．已知（、为正整数），__________．满足的正整数的值为__________． 15．若，则的值是______． 16．若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 三、解答题 17．因式分解 (1) (2) 18．解方程： (1)； (2)． 19．已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若中a的长度为18，求的周长． 20．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 21．已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 22．如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题． 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果． 题目：已知，求的值． 方法1：由，得，所以． 代入所求分式： 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以…… (1)“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是________________________． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若，（、都不为）请直接写出的值． 23．阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 24．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； (3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 26．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B B A D D D 4．A 【详解】解：原式 . 5．B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 6．B 【分析】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 7．A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 8．D 【分析】先利用两个已知等式相等，推导a与b的关系，再代入原式求出c的值，最后代入计算判别式，判断各选项的正误． 【详解】∵ ， ∴ 整理得 ， 因式分解得 ∵ 互不相等， ∴ ， ∴，故选项A正确，故本选项不符合题意； 由得 ，代入得： ，即 ，得 ， ∴ ，故选项B正确，故本选项不符合题意； 将，代入得： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项C正确，故本选项不符合题意； ∵ 恒大于0，不可能等于0， ∴ 的结论不正确，故选项D错误，故本选项符合题意； 9．D 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 10．D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 11．2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 12．且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 13． 【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：，即 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵是正整数且 ∴且， ∴． 14． 8 12 【分析】第一空对等式变形，提取公因式，结合的质因数分解，利用的幂的性质确定的值，计算，第二空根据幂的增长特征，代入正整数验证得到的值． 【详解】解：对 移项得 提取公因式得 将分解质因数得 ． 因为是的正整数次幂，是奇数， 因此可得， ． 解得， 由得， 因此． 所以． 因为， 所以，即 对 ，代入正整数验证： 当时，， ， ，不成立． 当时，， ，等式成立． 当时，的增长速度远快于， 恒成立，因此只有符合要求． 15． 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 16． 【分析】先由原方程组解得，，再根据方程组的解为整数求出a的值即可． 【详解】解：由原方程组解得，． ∵关于x，y的方程组的解为整数， ∴为整数， ∴是偶数， ∵y为整数， ∴的值为或， 的值可以取，1，，3， a的值为，0，，2， 所有整数a的和为． 17．(1) (2) 【分析】（1）直接运用完全平方公式分解即可； （2）变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解：原式 18．(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19．(1) (2)39 【分析】（1）由题意可设，，，其中，结合题意代入计算即可求解； （2）根据题意得到，可算出的值，再根据周长的计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设，，，其中， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴，， ∴的周长为． 20．，当时，原式 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 21．(1) (2) 【分析】（1）先对已知等式进行变形，然后通过等式两边同时除以来求解的值； （2）对分子分母同时除以，最后整体代入的值以及，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可得， ∴， ； （2）解： ， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． 22．(1)分式的基本性质 (2)过程见解析 (3) 【分析】（1）方法1使用了通分和约分运算，依据是分式的基本性质； （2）先分子分母同除以，再将整体代入即可； （3）仿照“方法2”进行计算即可． 【详解】（1）解：分式的基本性质； （2）解：； （3）解：． 23．(1) (2)①；② 【分析】（1）选择材料1的方法求解即可； （2）①结合材料2的方法求解即可； ②结合材料1和材料2的方法求解即可． 【详解】（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 24．(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 25．(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可； （2）由化简解答即可； （3）先将分式化为，根据为正整数，且分式值为整数，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”； （2）解：． （3）解：， ∵为正整数，且分式值为整数， ∴是整数， ∴， ∴． 26．(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 学科网（北京）股份有限公司 $