精品解析：山西省大同市第二中学校强基班2025-2026学年下学期九年级五月阶段性测试 数学试卷

大同二中5月阶段性测试-强基班 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行解答即可． 【详解】解： . 因此比小的数是． 2. 如图是由块完全相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的俯视图为， ， 选项符合题意． 3. 2026年一季度，山西省经济平稳起步、稳中有进．旅游市场持续升温，全省重点监测景区的接待人数为3051.5万人次，同比增长．将数据3051.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 万 ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵ ，∴A错误； B、∵与不是同类项，不能合并 ，∴B错误； C、∵ ，与等式一致， ∴C正确； D、∵ ，∴D错误． 5. 如图，四边形内接于，点C为的中点，与相切于点C．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，根据圆的内接四边形的性质求出的度数，利用垂径定理得到、，利用等腰三角形的性质求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， 四边形内接于， ， 点C为的中点，是的半径， 、， ， 与相切于点C， ， ， ． 6. 下列关于反比例函数的说法，正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在该函数的图象上 D. 在每一象限内，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先确定反比例函数中的值，再根据反比例函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：对于反比例函数，可得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，因此B正确，A，D错误； 将代入函数，得 ，因此点不在该函数图象上，C错误． 7. 为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用方差的意义求解即可． 【详解】解：由折线图可知：甲的投篮投中数量分别为：8，9，8，7，8， 乙的投篮投中数量分别为：6，7，10，8，9， 由于甲的投中数量波动小， 则甲的方差较小，即． 8. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，当点D落在上时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，根据等腰三角形的性质得出，求出，根据平行线的性质求出，即可解答． 【详解】解：根据旋转可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 随着环保意识的增强，新能源汽车越来越受到大家的喜爱．某款新能源汽车充满电后在保持同一车速行驶的情况下，可行驶里程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的部分对应数据如下表所示： 行驶时间 2 3 4 5 6 7 可行驶里程 315 270 225 180 135 90 则y与t之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表格数据可知，随均匀变化，因此与是一次函数关系，使用待定系数法即可求出函数关系式． 【详解】解：∵每增加 ，减少 ， ∴与为一次函数关系， 设函数解析式为， 选取表格中 和 代入得：， 两式相减得 ， 将 代入 ，得 ， ∴函数关系式为 ，代入其余点验证均符合． 10. 实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（ ） A. 在线段的延长线上 B. 在线段上 C. 在线段上 D. 在线段的延长线上 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，再根据， 得到，再根据得到，则，得到，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴原点O在线段上． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【答案】22.5 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，，再根据等边对等角得， ，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． 13. 如图是一个电路图，从，，，这四个开关中，随机闭合一个，再从剩余的3个开关中随机闭合一个，则小灯泡能发光的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，找出所有可能的结果数，利用小灯泡发光的电路条件找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：小灯泡发光的电路条件：如果电路为通路，那么必须满足闭合，且，串联支路和支路至少有一条导通， 根据题意画出树状图如下： 共有12种等可能结果，符合条件的有2种结果， 则小灯泡能发光的概率是． 14. 无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【解析】 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 15. 如图，在中，，，．以为边，在的外部作，使得，，连接．则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出，；在上取点，使，则，运用等积关系求出，求出，设，则，在中，由勾股定理得，解得，；过点作交的延长线于点，得，设，则，由勾股定理得，，求出，在中由勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∴， 解得：， ∴； 在上取点，使，则， ∴， 又， ∴； 过点作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 设，则， ∵，且, ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，为等边三角形，点D为的中点，连接．过点C作交的延长线于点E，点F为的中点，连接并延长，交于点G．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得．由点D为的中点得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，得出．再根据三角形定理可得． 【详解】解：． 理由如下：为等边三角形， ，． ∵点D为的中点， ． ，点为的中点， ． ． ． ． 18. 沁州黄小米色泽金黄，圆润如珠，口感绵糯，具有“金珠不换沁州黄”的美誉．某农业合作社生产沁州黄小米精美礼盒与特级礼盒．已知生产1盒精美礼盒和4盒特级礼盒的总成本为660元，生产5盒精美礼盒和2盒特级礼盒的总成本为600元． （1）求生产1盒精美礼盒和1盒特级礼盒的成本分别为多少元． （2）某电商平台委托该合作社生产精美礼盒和特级礼盒共100盒，要求总成本不高于10000元，则最多可生产多少盒特级礼盒？ 【答案】（1）生产1盒精美礼盒的成本为60元，生产1盒特级礼盒的成本为150元 （2）最多可生产44盒特级礼盒 【解析】 【分析】（1）设生产1盒精美礼盒的成本为元，生产1盒特级礼盒的成本为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）设生产盒特级礼盒，则生产盒精美礼盒，根据题意得出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：设生产1盒精美礼盒的成本为元，生产1盒特级礼盒的成本为元． 根据题意，得， 解得． 答：生产1盒精美礼盒的成本为60元，生产1盒特级礼盒的成本为150元． 【小问2详解】 解：设生产盒特级礼盒，则生产盒精美礼盒． 根据题意，得 ， 解得． 取最大值，且为整数，． 答：最多可生产44盒特级礼盒． 19. 为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项满分都是10分），并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a．40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．40家企业“设备数字化率”评分在的具体数据如下： 7.2 7.2 7.2 7.3 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 c．40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中，m的值为________，并将频数分布直方图补充完整． （2）将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项指标的排名更靠前？并说明理由． （3）若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有多少家． 【答案】（1）7.7，理由见解析 （2）“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前，理由见解析 （3）275家 【解析】 【分析】（1）40个数据按从小到大排列，中位数是第20，21个数据，在这一组的数据中第20、21个数是7.6和7.8，进而可得m的值，再求出这一组的数据数即可补全条形统计图； （2）根据两项指标的中位数进行判断； （3）用样本估计总体进行解答即可． 【小问1详解】 解：40个数据按从小到大排列，中位数是第20，21个数据，在这一组的数据中第20、21个数是7.6和7.8， 所以，中位数是（分）， 这一组的数据的个数为：， 故补全频数分布直方图如图． 【小问2详解】 解：“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前． 理由如下：因为“设备数字化率”这一项指标评分的中位数为7.7分， ，所以7.5分排在后20名中．而“核心系统覆盖率”这一项指标评分的中位数为7.3分， ，所以7.5分排在前20名中，所以“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠前． 【小问3详解】 解： （家）． 答：估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有275家． 20. 位于太原解放纪念馆的太原解放纪念碑造型像一把巨大的钥匙，象征着打开太原城的“胜利钥匙”，某综合与实践小组的同学以“测量太原解放纪念碑的高度”为主题开展了实践活动，并形成如下活动报告． 活动主题 测量太原解放纪念碑的高度 测量工具 测角仪、皮尺、无人机 测量示意 图及方案 说明：表示太原解放纪念碑的碑体，下方的矩形表示底座，最下方的梯形表示基台，表示水平地面，小组同学在水平地面的点C处用测角仪测得纪念碑顶部点A的仰角为，测角仪的高为．从点C处将无人机竖直上升到距离水平地面的点E处，测得纪念碑顶部点A的俯角为，测得纪念碑底部点B的俯角为．点A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内，，与底座上沿垂直． 计算结果 …… 请你根据综合与实践小组测得的数据，计算太原解放纪念碑碑体的高度（结果精确到1 m．参考数据：，，，，，，）． 【答案】，见详解 【解析】 【分析】结合已知条件构造和，根据两个直角三角形的边角关系列方程求出，然后再利用求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．则 四边形为矩形，，． ，． 由题意可得， ， ， ． ． ． ． 设 ， ． 在中，， ， ． ， ，解得． 在中，，， ． ． ． 答：太原解放纪念碑碑体的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用．能根据已知条件构造恰当的直角三角形，并在分析各直角三角形边角关系的基础上选择恰当的解题方法是解题的关键． 21. 阅读与思考请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 对余四边形 【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作“对余角”．如图1，在四边形中，，则四边形为对余四边形，和为对余角． 【问题解决】 问题1：若四边形为对余四边形，和为对余角，则__________°． 问题2：如图2，四边形为对余四边形，和为对余角，且，，连接．试证明． 证明：如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． ， ，即． 又，， ． ，． …… 任务： （1）填空：问题1中，__________． （2）请补全问题2中的证明过程． （3）如图4，在中，，．作出以A，B，C，D为顶点的四边形，使得该四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】（1）270 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据“对余角”定义得，再根据四边形内角和为360度，即可求解； （2）由旋转得为等边三角形．根据“对余角”定义得，进而证明，由勾股定理解得，通过等量代换可得． （3）通过构造等边三角形使即可． 【小问1详解】 解：和为对余角， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， 为等边三角形． ． 和为对余角， ． ， ． ， 在中，根据勾股定理，得． ． 【小问3详解】 解：如图，四边形即为所求．（答案不唯一） 22. 综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时，，灌溉距离，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处，． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． （1）当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． （2）当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： （3）该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． 【答案】（1） （2）喷灌器的灌溉距离的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）右边的抛物线的解析式为，将，代入求解即可； （2）求出右边的抛物线的解析式为，再求抛物线与轴的交点坐标，可得喷灌器的灌溉距离的长； （3）设喷头高度，则抛物线解析式为，根据求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：点的坐标为， 设右边的抛物线的解析式为， 根据题意得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴右边的抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当喷头P升至最高点时，右边的抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴， ∵左右两侧的抛物线对称， ∴， ∴该喷灌器的灌溉距离的长为； 【小问3详解】 解：设喷头高度，则抛物线解析式为， 故灌溉总距离要求； 令，则， 解得：， 左右对称灌溉总距离为， ∴， 解得：， 又喷头最高限高高度为， ∴，即 23. 综合与探究 问题情境：如图，在矩形中，连接，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，过点作交于点． 分析推理： （1）如图，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究：将绕点逆时针旋转． （2）如图，当于点，点在线段上时，延长交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）连接，若，，当点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）证明 即可求证； （）由矩形的性质可得，由垂直的定义可得 ，进而根据（） 可得，即可求证； （）如图，设与相交于点，可得，利用锐角三角函数的定义得，设，则，即得 ，利用勾股定理得，得到，即得到，，可知点在以点为圆心、为半径的圆上，再分点在下方且与相切和点在上方且与相切两种情况，分别画出图形，利用切线的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 由折叠可知，，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 由（）知 ， ∴ ，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与相交于点， ∵， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴，， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上，如图， 当点在下方且与相切时，点在同一条直线上， ∵， ∴， ∴； 当点在上方且与相切时，点在同一条直线上， 同理可得； 综上，点在同一条直线上时，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同二中5月阶段性测试-强基班 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 2. 如图是由块完全相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年一季度，山西省经济平稳起步、稳中有进．旅游市场持续升温，全省重点监测景区的接待人数为3051.5万人次，同比增长．将数据3051.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，点C为的中点，与相切于点C．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于反比例函数的说法，正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在该函数的图象上 D. 在每一象限内，y随x的增大而减小 7. 为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，当点D落在上时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 随着环保意识的增强，新能源汽车越来越受到大家的喜爱．某款新能源汽车充满电后在保持同一车速行驶的情况下，可行驶里程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的部分对应数据如下表所示： 行驶时间 2 3 4 5 6 7 可行驶里程 315 270 225 180 135 90 则y与t之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（ ） A. 在线段的延长线上 B. 在线段上 C. 在线段上 D. 在线段的延长线上 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 13. 如图是一个电路图，从，，，这四个开关中，随机闭合一个，再从剩余的3个开关中随机闭合一个，则小灯泡能发光的概率是__________． 14. 无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 15. 如图，在中，，，．以为边，在的外部作，使得，，连接．则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，为等边三角形，点D为的中点，连接．过点C作交的延长线于点E，点F为的中点，连接并延长，交于点G．判断与的位置关系，并说明理由． 18. 沁州黄小米色泽金黄，圆润如珠，口感绵糯，具有“金珠不换沁州黄”的美誉．某农业合作社生产沁州黄小米精美礼盒与特级礼盒．已知生产1盒精美礼盒和4盒特级礼盒的总成本为660元，生产5盒精美礼盒和2盒特级礼盒的总成本为600元． （1）求生产1盒精美礼盒和1盒特级礼盒的成本分别为多少元． （2）某电商平台委托该合作社生产精美礼盒和特级礼盒共100盒，要求总成本不高于10000元，则最多可生产多少盒特级礼盒？ 19. 为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项满分都是10分），并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a．40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．40家企业“设备数字化率”评分在的具体数据如下： 7.2 7.2 7.2 7.3 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 c．40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中，m的值为________，并将频数分布直方图补充完整． （2）将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项指标的排名更靠前？并说明理由． （3）若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有多少家． 20. 位于太原解放纪念馆的太原解放纪念碑造型像一把巨大的钥匙，象征着打开太原城的“胜利钥匙”，某综合与实践小组的同学以“测量太原解放纪念碑的高度”为主题开展了实践活动，并形成如下活动报告． 活动主题 测量太原解放纪念碑的高度 测量工具 测角仪、皮尺、无人机 测量示意 图及方案 说明：表示太原解放纪念碑的碑体，下方的矩形表示底座，最下方的梯形表示基台，表示水平地面，小组同学在水平地面的点C处用测角仪测得纪念碑顶部点A的仰角为，测角仪的高为．从点C处将无人机竖直上升到距离水平地面的点E处，测得纪念碑顶部点A的俯角为，测得纪念碑底部点B的俯角为．点A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内，，与底座上沿垂直． 计算结果 …… 请你根据综合与实践小组测得的数据，计算太原解放纪念碑碑体的高度（结果精确到1 m．参考数据：，，，，，，）． 21. 阅读与思考请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 对余四边形 【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作“对余角”．如图1，在四边形中，，则四边形为对余四边形，和为对余角． 【问题解决】 问题1：若四边形为对余四边形，和为对余角，则__________°． 问题2：如图2，四边形为对余四边形，和为对余角，且，，连接．试证明． 证明：如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． ， ，即． 又，， ． ，． …… 任务： （1）填空：问题1中，__________． （2）请补全问题2中的证明过程． （3）如图4，在中，，．作出以A，B，C，D为顶点的四边形，使得该四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 22. 综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时， ，灌溉距离 ，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处， ． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． （1）当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． （2）当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： （3）该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在矩形中，连接，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，过点作交于点． 分析推理： （1）如图，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究：将绕点逆时针旋转． （2）如图，当于点，点在线段上时，延长交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）连接，若，，当点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $