精品解析：2026年5月山西晋中市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 2. 我们身处大数据时代，数据是核心资源，能高效处理数据、挖掘隐藏价值、精准决策就显得尤为重要．下列与数据处理相关的图标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正方体的每个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么在该正方体中，与“壮”相对的面上的字是（ ） A. 满 B. 少 C. 年 D. 怀 5. 若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图，内接于，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 9. 化学实验课上李老师在给学生做演示实验时从能和浓硫酸发生化学反应的镁、锌、锰、碳、磷五种物质中随机选择两种物质进行化学实验，其中与镁、锌、锰的反应在常温下进行，与碳、磷的反应需要加热，则李老师选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 古典花窗是中国传统建筑中独具特色的窗式，常见于园林、住宅等场所，兼具实用功能与艺术装饰价值．如图①为某花窗的局部图案，中心部位包含一个菱形与3个全等的正六边形，如图②将其几何示意图放在平面直角坐标系中，点，，，为菱形的顶点，点为正六边形的顶点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______ 12. 某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 13. 如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 14. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接和，若，则的面积为________． 15. 如图，在中，，，是内部的一点，连接，，，若，，则线段的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，在中，，为的中点． （1）实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：若是的中点，证明：． 18. 为丰富校园文化生活，提升学生审美与创造力，增强集体凝聚力，某校在“校园艺术节”开展了多项活动，活动后校方对本次最受欢迎的活动进行了投票统计，以便于下一届活动更好地开展．已知投票的活动包含A．歌唱展示，B．舞蹈展示，C．科技展，D．手工作品展，投票方式为线上和线下两种方式（线下和线上只能选择一个），得到投票结果后，随机抽取部分九年级学生的投票数据绘制成如下所示的统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次所抽取九年级投票的学生人数为_______人，并补全条形统计图； （2）若九年级共有600名学生，请估计投票给“手工作品展（D）”的人数； （3）根据上述分析结果，请你为该校下一届“校园艺术节”的顺利开展给出一条合理性建议． 19. 山西大同云冈石窟是中国三大石窟艺术宝库之一，其中既有印度、中西亚艺术元素，也有希腊、罗马建筑造型、装饰纹样、相貌特征等等，反映出与世界各大文明之间的渊源关系．某游客从酒店驾车前往景区，有两条路线可选： 路线一：沿城市主干道行驶，全程36千米； 路线二：经绕城高速行驶，全程45千米． 已知路线二的平均速度是路线一的2.5倍，且走路线二比路线一少用27分钟．求路线一的平均速度． 20. 研学实践：平遥古城位于山西中部，始建于西周宣王时期，是保存完整的明清古城，1997年被列入世界遗产名录．平遥古城有六个城门，它的南门迎薰门是六座城门中最大且最壮丽的一座（如图①）．下面是同学们运用所学知识测量迎薰门的高度的方案及数据． 数据采集：如图②，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小果站在城门前水平地面的点处，利用高为的测角仪测得点的仰角；紧接着，她站在原来的位置，将搭载扫描仪的航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 数据应用：请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 21. 阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： （1）图①中围成的大正方形的面积为________； （2）请利用图②验证勾股定理； （3）①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 22. 综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①）．公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改造升级．为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法．某校的综合实践小组给出了以下的优化设计方案． 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：已知喷水口为点，抛物线的最高点距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为． 建立模型： 以出水点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点右侧地面1米处，并且新的抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米． 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图③所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米． 问题解决： （2）试判断方案一是否可行，并说明理由； （3）直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为，延长与直线相交于点． 猜想证明： （1）如图，连接，若点为的中点，延长交边于点，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）当点与点重合时，改变点的位置． 如图，若点与点重合，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 延长交于点，直线与直线相交于点，若，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：-8的相反数是8， 故选A． 【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2. 我们身处大数据时代，数据是核心资源，能高效处理数据、挖掘隐藏价值、精准决策就显得尤为重要．下列与数据处理相关的图标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图标是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； D．该图标是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 选项A：与不是同类项，无法合并，∴ A运算错误； ∵ 选项B： ，∴ B运算正确； ∵ 选项C：，∴ C运算错误； ∵ 选项D： ，∴ D运算错误． 4. 一个正方体的每个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么在该正方体中，与“壮”相对的面上的字是（ ） A. 满 B. 少 C. 年 D. 怀 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴与“壮”相对的面上的字是“年”． 5. 若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题关键是先根据已知点的横坐标和函数值的大小关系确定k的符号，再根据截距的符号判断直线经过的象限． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， 又∵直线解析式为，常数项，即直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、三、四象限． 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此求出的取值范围，再结合选项选出正确答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个不相等的实数根． ∴ ． 解得 ． 选项D： ，符合条件． 7. 如图，内接于，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据圆周角定理可以求出. 【详解】解：在中，， ，， ， ， ， ． 8. 伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可 【详解】解：∵ ，， 代入公式 得： ， 又∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间 9. 化学实验课上李老师在给学生做演示实验时从能和浓硫酸发生化学反应的镁、锌、锰、碳、磷五种物质中随机选择两种物质进行化学实验，其中与镁、锌、锰的反应在常温下进行，与碳、磷的反应需要加热，则李老师选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、m、n表示镁、锌、锰、碳、磷，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的结果数有6种（镁、锌、锰的反应在常温下进行）， ∴选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率为. 10. 古典花窗是中国传统建筑中独具特色的窗式，常见于园林、住宅等场所，兼具实用功能与艺术装饰价值．如图①为某花窗的局部图案，中心部位包含一个菱形与3个全等的正六边形，如图②将其几何示意图放在平面直角坐标系中，点，，，为菱形的顶点，点为正六边形的顶点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题涉及了把几何图形放在平面直角坐标系中，利用坐标求线段的长度，了解菱形对角线的性质：互相垂直平分．熟悉正六边形的性质：中心到顶点的距离等于边长，正六边形的边心距与边长的关系．利用正六边形边长，边心距求E点的坐标． 【详解】解：根据图②， 得到． 设正六边形的边长为，根据正六边形的性质（正六边形的外接圆半径等于边长），则正六边形中心到顶点的距离为． E为其中一个正六边形的顶点， ，． 正六边形的边长为1， 根据正六边形的边心距：中心到一条边的垂直距离为，得到正六边形中心到一边的垂直距离为． E点的坐标为． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______ 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 12. 某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m． 【答案】0.4 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：． 【详解】解：由题意可知：，即． 当原底面积时，原高度； 当底面积变为时，新高度； 则当储水罐底面积由变为时，其高增加了． 13. 如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分面积等于正方形的面积减去扇形面积，再减去三角形面积，进行计算即可 【详解】解：∵为圆的半径 ∴为等边三角形 ∴圆的半径 ∵圆弧与边相切 ∴正方形的边长等于圆的直径 ∴正方形边长 ∵阴影部分由正方形减去一个大扇形和一个三角形构成 ∴大扇形的圆心角为 ∵是边长为的等边三角形 故阴影部分的面积为． 14. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接和，若，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先证明四边形和都是平行四边形，得出，，设点到的距离为，到的距离为，再证明，得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， 设点到的距离为，到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 15. 如图，在中，，，是内部的一点，连接，，，若，，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过作于点，利用勾股定理结合等积法求得，利用直角三角形的性质、勾股定理结合等积法求得，推出点和点重合，据此求解即可． 【详解】如图，过点作于点，过点作于点，过作于点， ∵，， ∴， 在中，． 由得，， ∴在中，， ∴在中，， ∴设，则， 由勾股定理得， 解得，， ∴在中，， 在中，， ∴点和点重合， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别化简负整数指数幂，绝对值，再计算乘法和加减，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ①+②： 解得： 将代入①得， 解得; ∴方程组的解为： 17. 如图，在中，，为的中点． （1）实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：若是的中点，证明：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据线段垂直平分线定理可知点在的垂直平分线上，所以可得，从而可证． 【小问1详解】 解：如下图所示， 以点为圆心画弧，交于点、， 分别以点、为圆心画弧，两弧交于点， 连接交于点， 即为所求作； 【小问2详解】 证明：，为的中点， ， 是的中点，， 点在的垂直平分线上， ， ． 18. 为丰富校园文化生活，提升学生审美与创造力，增强集体凝聚力，某校在“校园艺术节”开展了多项活动，活动后校方对本次最受欢迎的活动进行了投票统计，以便于下一届活动更好地开展．已知投票的活动包含A．歌唱展示，B．舞蹈展示，C．科技展，D．手工作品展，投票方式为线上和线下两种方式（线下和线上只能选择一个），得到投票结果后，随机抽取部分九年级学生的投票数据绘制成如下所示的统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次所抽取九年级投票的学生人数为_______人，并补全条形统计图； （2）若九年级共有600名学生，请估计投票给“手工作品展（D）”的人数； （3）根据上述分析结果，请你为该校下一届“校园艺术节”的顺利开展给出一条合理性建议． 【答案】（1）100；图见解析 （2）估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用C组人数和占比可求得所抽取九年级投票的学生人数，再求得B组线下投票的学生人数即可补全条形统计图； （2）利用样本估计总体即可求解； （3）说法合理即可． 【小问1详解】 解：由题意C组人数为人，占比为， 人， 人， 补全条形统计图如图： ； 【小问2详解】 解：人， 答：估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人； 【小问3详解】 解：从投票结果来看，舞蹈展示(B)的人气最高，占比， 建议下一届校园艺术节可以增加舞蹈展示的场次或丰富舞蹈展示的形式，同时也可以适当宣传科技展、手工作品展等活动，提升它们的参与度． 19. 山西大同云冈石窟是中国三大石窟艺术宝库之一，其中既有印度、中西亚艺术元素，也有希腊、罗马建筑造型、装饰纹样、相貌特征等等，反映出与世界各大文明之间的渊源关系．某游客从酒店驾车前往景区，有两条路线可选： 路线一：沿城市主干道行驶，全程36千米； 路线二：经绕城高速行驶，全程45千米． 已知路线二的平均速度是路线一的2.5倍，且走路线二比路线一少用27分钟．求路线一的平均速度． 【答案】路线一的平均速度为40千米/时． 【解析】 【分析】设路线一的速度是千米/时，则路线二的平均速度是千米/时．再根据走路线二比路线一少用27分钟．列方程计算即可． 【详解】解：设路线一的速度是千米/时，则路线二的平均速度是千米/时． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：路线一的平均速度40千米/时． 20. 研学实践：平遥古城位于山西中部，始建于西周宣王时期，是保存完整的明清古城，1997年被列入世界遗产名录．平遥古城有六个城门，它的南门迎薰门是六座城门中最大且最壮丽的一座（如图①）．下面是同学们运用所学知识测量迎薰门的高度的方案及数据． 数据采集：如图②，点是城门顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．小果站在城门前水平地面的点处，利用高为的测角仪测得点的仰角；紧接着，她站在原来的位置，将搭载扫描仪的航模竖直上升，当航模飞行至距离地面处的点处时，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 数据应用：请根据上面的数据计算城门顶部点到地面的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】城门顶部点到地面的距离的长约为． 【解析】 【分析】作，，垂足分别为，，设，在和中，解直角三角形分别用表示求得和的长，根据米，列式计算即可求解． 【详解】解：作，，垂足分别为，， ∵，， ∴四边形和四边形， ∴米，（米），， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵（米）， ∴， 解得， ∴（米） ，（米）， 答：城门顶部点到地面的距离的长约为． 21. 阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： （1）图①中围成的大正方形的面积为________； （2）请利用图②验证勾股定理； （3）①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 【答案】（1）144； （2）见解析； （3）①1；②20． 【解析】 【分析】（1）利用图形面积关系，把大正方形面积转化为含的代数式，再整体代入，直接算出大正方形面积． （2）用两种不同方式表示同一个大正方形面积，一种用斜边c平方表示，一种用四个直角三角形加小正方形面积和表示，化简后等量代换，证出勾股定理． （3）①直线由向上平移，截距越大m越大；要m最小就要截距最小，直线和反比例函数相切只有1个交点时截距最小，由此确定交点个数．②把矩形长宽、篱笆总长转化为一次函数和反比例函数，联立解析式得一元二次方程；利用相切时判别式，列方程求出m的最小值，即为最少篱笆长度． 【小问1详解】 解：∵方程为， ∴． 由图①可知，大正方形的面积可以表示为： 将代入，得： ∴大正方形的面积为144． 【小问2详解】 证明：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 又∵正方形可看作由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， 每个直角三角形的直角边长为、，小正方形的边长为， ∴正方形的面积也可表示为： ∵两种方式表示的是同一个正方形的面积， ∴，勾股定理得证． 【小问3详解】 解：①∵直线是由向上平移得到的， 且， ∴随着直线向上平移，截距逐渐增大，也随之增大． 要使最小，即要使直线的截距最小， 同时直线需与反比例函数有交点，才能围成矩形． ∵当直线与反比例函数图象相切（只有1个交点）时，截距最小，此时取得最小值； 若有2个交点，说明直线还可以继续向上平移，此时的值增大； 若没有交点，则无法围成矩形． ∴当直线与反比例函数的图象有1个交点时，的值最小． ②解：∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴联立方程，得： 整理，得： ∵方程有唯一解， ∴判别式，即： 化简，得： 解得：，． ∵篱笆长度， ∴． ∴最少需要用米的篱笆． 22. 综合与实践 问题情境：儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图①）．公园为了增强其观赏性，计划将该喷泉进行改造升级．为了有更多的改造方案，该公园广泛征集大家的改造想法．某校的综合实践小组给出了以下的优化设计方案． 收集数据： 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：已知喷水口为点，抛物线的最高点距离地面4米，且距离喷水口的水平距离为3米，水流落地点为． 建立模型： 以出水点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）根据上述分析，在图②中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； 优化设计： 实践小组给出如下两种优化方案： 方案一：在现有的喷泉内部增加喷水口，建造双喷泉景观，新的喷水口在点右侧地面1米处，并且新的抛物线形状与原抛物线形状相同，在离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米． 方案二：为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图③所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米． 问题解决： （2）试判断方案一是否可行，并说明理由； （3）直接写出方案二中隧道顶端到地面的最大高度． 【答案】（1）坐标系见解析，； （2）方案一不可行．见解析； （3）米． 【解析】 【分析】（1）根据点M的坐标可得出该抛物线为，结合点O的坐标即可求得答案； （2）由题意可知，此新抛物线的表达式为，令，可得x的值，进而即可得到答案； （3）根据（1）中求得的解析式，求出当时，对应的y的值，进而即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示建立平面直角坐标系， 由题意可设二次函数表达式为，把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：方案一不可行，理由如下： ∵新的抛物线形状与原抛物线形状相同， ∴设新抛物线的表达式为， ∵新的喷水口在点右侧地面1米处，离新喷水口水平距离2米处达到最高，最高点距离地面3米，即顶点坐标为, ∴新抛物线的表达式为， 令,则，解得：， ∴与新的喷水口在点右侧地面1米处不相符，方案一不可行； 【小问3详解】 解：∵隧道宽为1米，抛物线的对称轴为直线； ∴， 把代入函数解析式得， ∴隧道顶端到地面的最大高度为：（米） 23. 综合与探究 问题情境：如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为，延长与直线相交于点． 猜想证明： （1）如图，连接，若点为的中点，延长交边于点，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）当点与点重合时，改变点的位置． 如图，若点与点重合，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 延长交于点，直线与直线相交于点，若，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析； （2） ，理由见解析； 的长为或． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，可得，，，证明，，可得，，四边形为平行四边形，由折叠可得，即可得四边形的形状； （2）由矩形的性质，结合折叠可得，，，证明，即可得线段与的数量关系；按照点与线段的位置关系，进行分类讨论，由三角形相似的判定和性质，结合勾股定理，即可得线段的长． 【小问1详解】 解：四边形为菱形． 理由：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，，， 又∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 由折叠得，， 即， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：． 理由：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 或． 由折叠得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如解图，当点在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 如解图，当点在线段的延长线上时， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $