精品解析：2026年河北唐山市古冶区中考模拟考试数学试卷

2026届中考模拟考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，只将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A. 点A与点D B. 点A与点C C. 点B与点C D. 点B与点D 2. 如图是某自行车示意图，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体都是由棱长为1的小正方体组成，它们的主视图与其它三个不同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面是四位同学完成作业的题目与解答： （1）小于：；（2）小王： （3）小赵；（4）小李： 其中计算完全正确的是（ ） A. 小王 B. 小于 C. 小赵 D. 小李 5. 反比例函数y=的图象上，当x＜0时， y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＜0 C. m＜﹣2 D. m＞0 6. 在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（ ） A. ＋或－ B. ÷或× C. ＋或× D. －或× 7. 有四张分别画有线段、等边三角形、平行四边形和圆的四个图形的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中翻开任意一张的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（ ） A. 两实数根之和为 B. 两实数根之和为2 C. 两实数根之积为3 D. 没有实数根 9. 五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段上，得到图2，则调整后多边形的外角和（ ） A. 增加了 B. 减少了 C. 减少了 D. 始终为 10. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（ ） A. 2米 B. 3米 C. 米 D. 米 12. 如图，在中，，，按照如下步骤进行作图和操作： （1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与、交于E、F两点； （2）分别以E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线交于点D； （4）绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到．则有下列结论：①；②；③；④沿直线平移或翻折，始终与是位似图形．其中一定正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 2025年我国新能源汽车产量超16000000辆，将16000000用科学记数法表示为______． 14. 不等式的解集是______． 15. 如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，第1个台阶上的数是，按照从下往上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2． （1）求第2个台阶上的数； （2）求第n个台阶上的数（用含n的式子表示）； （3）嘉嘉发现第6个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 18. 下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解：（） （1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）嘉嘉认为“该分式的值不可能为”， ①请你帮她说明理由； ②琪琪认为嘉嘉的说法不全面，还有一种情况_______． 19. 土圭之法是古代中国测量日影的方法，是古代科学与天文学的重要成就．如图，表与圭垂直，冬至时节表的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，求证：； （2）若，日影的长为米，求日影的长． 20. 开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． （1）本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人； （2）本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分； （3）经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 22. 如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点． （1）如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：； （2）如图2，若半圆与交于点，，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14） 23. 图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图．光点从屏幕点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏幕底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x．建立如图所示平面直角坐标系，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 2 3 3 （1）观察表格，抛物线的顶点坐标为_______，点_______（填“在”或“不在”）抛物线上； （2）求抛物线解析式； （3）如图2，电子屏幕边长为6，垂直的边长为无限长，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光．若只改变光点P的初始高度（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板（不含点P经过D的情况），又能击中边缘时，请直接写出的取值范围． 24. 【综合与实践】 数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角，甲组同学：利用折叠的方法，如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕，再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． （1）的长为______，的度数为______； （2）连接，若，求的值； 乙组同学：利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角，如图2，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接、． （3）请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中画出一点K，使，在图2的作图中，可画出______（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； （4）甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处．如图3，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点），若，直接写出的值（用含m的式子表示），并写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届中考模拟考试数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，只将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A. 点A与点D B. 点A与点C C. 点B与点C D. 点B与点D 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数，数轴，掌握相反数的意义是解题的关键． 【详解】解：2与互为相反数， 故选：A． 2. 如图是某自行车示意图，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3. 下列几何体都是由棱长为1的小正方体组成，它们的主视图与其它三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、B、C选项主视图均为 ， D选项主视图为 所以它们的主视图与其它三个不同的是选项D． 4. 下面是四位同学完成作业的题目与解答： （1）小于：；（2）小王： （3）小赵；（4）小李： 其中计算完全正确的是（ ） A. 小王 B. 小于 C. 小赵 D. 小李 【答案】C 【解析】 【详解】解：逐个验证计算： ∵， ∴小于的计算错误； ∵ ， ∴小王的计算错误； ∵， ∴小赵的计算正确； ∵ ， ∴小李的计算错误， 因此计算完全正确的是小赵． 5. 反比例函数y=的图象上，当x＜0时， y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＜0 C. m＜﹣2 D. m＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据当x＜0时，y随x的增大而增大，即可得到关于的不等式，求解即可. 【详解】解：反比例函数y＝ 的图象上，当x＜0时，y随x的增大而增大， 解得： 故选：C 点睛：考查反比例函数的图象与性质，反比例函数 当时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着x的增大而减小， 当时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大. 6. 在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（ ） A. ＋或－ B. ÷或× C. ＋或× D. －或× 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，有理数的定义，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解： 不是有理数， 故A，C选项不符合题意； ， 不是有理数， 故B选项不符合题意； ， ， 是有理数， 故D选项符合题意； 故选：D ． 7. 有四张分别画有线段、等边三角形、平行四边形和圆的四个图形的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中翻开任意一张的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先确定所有等可能结果的总数，再判断四个图形中满足“是中心对称图形但不是轴对称图形”的个数，最后根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：∵ 总共有4种等可能的抽取结果， 线段：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合要求； 等边三角形：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 平行四边形：是中心对称图形，不是轴对称图形，符合要求； 圆：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合要求； ∴ 满足条件的结果只有1种，根据概率公式可得所求概率为 ． 8. 已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（ ） A. 两实数根之和为 B. 两实数根之和为2 C. 两实数根之积为3 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法求出方程的根，再计算两根的和与积即可判断选项． 【详解】解： ， 解得，， 可知方程有两个不相等的实数根，两根之和为，两根之积为， 对照选项，只有B正确． 9. 五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段上，得到图2，则调整后多边形的外角和（ ） A. 增加了 B. 减少了 C. 减少了 D. 始终为 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，解答即可． 【详解】解：根据多边形的外角和为，得调整后多边形的外角和始终为． 10. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 11. 如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（ ） A. 2米 B. 3米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平行得到 ，结合30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 在中，， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 12. 如图，在中，，，按照如下步骤进行作图和操作： （1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与、交于E、F两点； （2）分别以E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线交于点D； （4）绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到．则有下列结论：①；②；③；④沿直线平移或翻折，始终与是位似图形．其中一定正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由作图得，平分，则，通过等边对等角得， ，绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到，所以 ，，从而判断②③；连接，证明，则，可判断①；通过位似图形定义即可判断④． 【详解】解：由作图得，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，, ∴ ， ∵绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，,， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到， ∴， ∴， ∴沿直线平移或翻折，始终与是位似图形，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 2025年我国新能源汽车产量超16000000辆，将16000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需根据原数变为时小数点移动的位数判断，原数绝对值大于时，为正整数． 【详解】解：将16000000用科学记数法表示为． 14. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边同时减去1再除以2，不等号的方向不变；即可得到不等式的解集． 【详解】解：原不等式移项得， ， 系数化为1，得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 15. 如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，推导出，，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，逐个分析判断即可． 【详解】解：如图，连接． ∵O是的外心， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴O是的外心； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴O不是的外心； ∵， ∴O是的外心； ∵， ∴O是的外心． 16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵地毯平均分成了3份， ∴每一份的边长为， ∴， 在中，根据勾股定理可得， 根据裁剪可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，第1个台阶上的数是，按照从下往上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2． （1）求第2个台阶上的数； （2）求第n个台阶上的数（用含n的式子表示）； （3）嘉嘉发现第6个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 【答案】（1）第2个台阶上的数为； （2）； （3）见解析． 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意得：， 答：第2个台阶上的数为； 【小问2详解】 解：第n个台阶上的数为： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，所以第6个台阶以上的数都是正数. 18. 下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解：（） （1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）嘉嘉认为“该分式的值不可能为”， ①请你帮她说明理由； ②琪琪认为嘉嘉的说法不全面，还有一种情况_______． 【答案】（1）； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）由减法的意义列式进行计算即可． （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ∴， ∴该分式的值不可能为； ②∵且， ∴且， ∴琪琪认为嘉嘉的说法不全面，还有一种情况为． 19. 土圭之法是古代中国测量日影的方法，是古代科学与天文学的重要成就．如图，表与圭垂直，冬至时节表的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，求证：； （2）若，日影的长为米，求日影的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解析】 【分析】（1）利用证明两个三角形全等． （2）先利用角平分线定义和已知角度，求出相关角的度数，再结合直角三角形的性质，判定出特殊三角形（如含角的直角三角形），进而求出线段长度，得到的长． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ∵平分， ， ， 在中，，， ∴， ． 20. 开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． （1）本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人； （2）本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分； （3）经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？ 【答案】（1）25； （2）9分，9分，8.7分； （3）第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人． 【解析】 【分析】（1）利用得9分的学生所占百分比乘以50，即可求解； （2）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； （3）由题意得，第二次测试中得8分的人数为5（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人，根据题意列出方程，求出的x值即可解答． 【小问1详解】 解：（人）， 【小问2详解】 解：得8分的学生人数为（人）， 由统计图可知，得7分和得10分的学生人数都为10人， 将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ∵， ∴中位数落在9分中 ∴中位数（分）， 由统计图可知，得9分的学生人数最多， ∴众数是9分， 本次测试的平均分（分） 【小问3详解】 解：由题意得，第二次测试中得8分的人数为（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人， 由题意得， 解得：，则， 答：第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 【答案】（1）， （2）8 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、勾股定理求两点坐标距离，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）把代入中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标为，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）根据一次函数解析式可得过定点，根据x轴上的点E， ，则，进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中，解得， ∴， 将，代入中， 得 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 令，解得， ∴点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 ∴当时，， ∴该定点为， ∵ ∴ 当时，该定点与点E的距离为： 当时，该定点与点E的距离为： 综上所述，该定点与点E的距离为或 22. 如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点． （1）如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：； （2）如图2，若半圆与交于点，，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14） 【答案】（1）见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，可证，进一步可知，根据平行四边形的性质可知，即可求解； （2）①作于点，设半圆的半径为，根据解三角形可知半径，即可求解弧长； ②根据是直径，可知，进而可知，根据余弦值可知长度，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图1． ∵半圆与相切，点为切点， ∴ ∵， ∴, ∴ 又， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 解：①作于点，如图2． 设半圆的半径为，则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴的长为 ② 如图3，∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 而, ∴ 23. 图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图．光点从屏幕点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏幕底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x．建立如图所示平面直角坐标系，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 2 3 3 （1）观察表格，抛物线的顶点坐标为_______，点_______（填“在”或“不在”）抛物线上； （2）求抛物线解析式； （3）如图2，电子屏幕边长为6，垂直的边长为无限长，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光．若只改变光点P的初始高度（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板（不含点P经过D的情况），又能击中边缘时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），不在 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的对称性可得对称轴以及抛物线的顶点，再根据求得其对称点与题中给定的点进行比较即可； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设满足题意的抛物线的解析式为，根据题意可得时，，时，，据此求出h的取值范围，进而求出当时，y的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察表格数据，可知当时和时的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点在抛物线上，且对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为，即点在抛物线上， ∵， ∴点不在抛物线上． 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为 ． 【小问3详解】 解：设满足题意的抛物线的解析式为， 由题意得，， ∵光点能跨过挡板， ∴当时， ， 解得：， 在中，当时， ， ∴此时， ∵光点能击中边缘， ∴当时， ， 解得， 在中，当时，， ∴， ∴的取值范围为． 24. 【综合与实践】 数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角，甲组同学：利用折叠的方法，如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕，再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． （1）的长为______，的度数为______； （2）连接，若，求的值； 乙组同学：利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角，如图2，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接、． （3）请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中画出一点K，使，在图2的作图中，可画出______（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； （4）甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处．如图3，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点），若，直接写出的值（用含m的式子表示），并写出m的取值范围． 【答案】（1）2， （2） （3）作图见详解，无数 （4）， 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，特殊角的三角函数值即可求解； （2）作，垂足为I，根据矩形的性质和折叠的性质，易求，再通过解直角三角形，求出，，从而求出，通过勾股定理求出，最后根据正弦的定义，计算即可； （3）根据尺规作图的步骤，作图即可；再根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”，易得，最后根据K是弧上一点，可得出有无数个； （4）根据题意，易求，，再根据折叠的性质，可得，，证明，从而得出，最后根据点分别与点P、Q重合时，计算出m的值，即可求出范围． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点E作交于点I， 由折叠可知，，，， 在中，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：如图所示即为所求： 以点O为圆心，为半径画圆，在与矩形纸片交弧上任选一点K，连接、即可； 由图可知，，即是等边三角形， ∴， ∴， 即点K可以是与矩形纸片相交弧上的任意一点， ∴可以画出无数个满足条件的． 【小问4详解】 解：由折叠可知，，，， ∵， ， ∴，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 当点与点P重合时， ，则， 当点与点Q重合时， ，则 ， ∵点落在线段上（包括端点）， ∴， 综上所述，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $