3.3.3 比例与和、差、倍、分问题（课件）-2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程应用中的比例与和差倍分问题，通过实际场景导入，梳理从数量关系分析到方程建立的解题脉络，搭建从基础概念到复杂应用的学习支架。 其亮点在于采用设小量或每份为x的精准设元技巧，结合树苗分配、义演售票等实例，培养学生抽象能力与模型意识。易错总结与步骤梳理强化推理思维，助力学生提升解题效率，为教师提供系统教学资源。

沪科版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月23日 3.3.3 比例与和、差、倍、分问题 第3章 一元一次方程 3.3.3 比例与和、差、倍、分问题 练习题讲解 比例问题与和、差、倍、分问题是一元一次方程实际应用中最基础、最通用的题型，也是各类应用题的解题根基。这类题目没有复杂的生活场景公式，主要依靠题目文字描述的数量关系建立方程，广泛应用于分配问题、配比问题、数量对比问题等场景。相较于行程、销售问题，此类题型更加考验读题分析和数量转化能力，核心解题思路是找准题目中的和、差、倍数、比例关系，通过设未知数将文字条件转化为规范的一元一次方程，进而求解作答。 和、差、倍、分问题是数量关系应用题的基础类型，所有题型都围绕四个核心数量关系展开。核心公式总结：大数=小数×倍数±差；两数和=大数+小数；两数差=大数-小数。题目常见表述为“A是B的几倍、A比B多多少、A与B的和为多少、A比B少多少”等。解题最简便的方法是设较小的数为未知数，再用含未知数的代数式表示另一个量，最后根据题目给出的和、差条件列方程，有效简化计算、减少符号错误。 和差倍分基础例题：甲数比乙数大15，且甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数分别是多少。解：设乙数为$$x$$，则甲数为$$4x$$。根据“甲数-乙数=15”的数量关系列方程：$$4x-x=15$$，合并同类项得$$3x=15$$，解得$$x=5$$。则甲数为$$4\times5=20$$。答：甲数为20，乙数为5。本题是典型的差倍问题，通过设小量为未知数，可快速梳理倍数与差值关系，是和差倍分题型的标准解题模板。 比例问题是本节的重点和常考题型，多用于物资分配、人数配比、溶液配比等场景。当题目出现几个量的比值时，常规方法是**设每份为未知数**，这是比例问题的专属解题技巧。若已知三个量之比为a:b:c，可直接设每份为$$x$$，那么三个量分别为$$ax、bx、cx$$，再根据题目中的和、差、总量条件列方程求解。这种设元方式能完美规避分数计算，简化解题过程，大幅降低计算失误率。 比例问题经典例题：现有一批树苗按照2:3:5的比例分给甲、乙、丙三个班级，已知三个班级分得树苗的总数为100棵，求三个班级各分得多少棵树苗。解：设每份数量为$$x$$棵，则甲班分得$$2x$$棵，乙班分得$$3x$$棵，丙班分得$$5x$$棵。根据总量和为100列方程：$$2x+3x+5x=100$$，合并同类项得$$10x=100$$，解得$$x=10$$。因此甲班20棵，乙班30棵，丙班50棵。答：甲班分得20棵，乙班分得30棵，丙班分得50棵。 综合解题易错总结：和差倍分问题常见错误为倍数关系颠倒、和差条件判断相反、大小数设反导致结果出错；比例问题高频易错点是不按份数设元、私自更改比例系数、求和时漏加部分份数。解决两类题型的核心技巧是：和差倍分问题优先设小量，理顺谁大谁小、谁是谁的几倍；比例问题固定设每份为x，统一量化所有比例量。熟练掌握比例与和差倍分问题，能够建立最基础的方程建模思维，为后续复杂分配问题、工程问题、综合应用题的学习打下坚实基础。 e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 实际问题 建立方程模型 解方程 检验解的 合理性 分析等量关系 设未知数 议一议 2 1 比例问题 例1 三支农机服务队共同为某镇抢收小麦 300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为 4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷. 分析： 小麦面积共有 4 + 5 + 6 = 15 份，总计 300 hm2. 因而 300 hm2 可由 15 份共同分担. 解：设收割小麦的面积每份为 x hm2，三支服务队收割面积分别为 4x hm2，5x hm2，6x hm2. 依据题意，得 4x + 5x + 6x = 300. 解方程，得 x = 20. 4x = 80，5x = 100，6x = 120. 答：三支服务队分别收割面积 80 hm2、100 hm2、120 hm2. 方法总结 比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程. 1. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少? 解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克. 依据题意，得 x + 2x + 6x = 45. 解方程，得 x = 5. 则 2x = 10，6x = 30. 答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5 克、10 克、30 克. 练一练 和、差、倍、分问题 2 合作探究 例2 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹得票款 69500 元，成人票与学生票各售出多少张？ 成人票 80元/张 学生票 50元/张 成人票数＋__________＝1000 张；　 ① __________＋学生票款＝__________．② 分析题意可得此题中的等量关系有： 学生票数 成人票款 69500 元 设售出的学生票为 x 张，填写下表： 学生 成人 票数/张 票款/元 根据等量关系②，可列出方程： . 解得 x＝ . 因此，售出学生票 张，成人票 张 x 1000－x 50x 80(1000－x) 成人票款＋学生票款＝69500元 50x + 80(1000－x) = 69500 350 350 650 可不可以设其他未知量？ 设所得的学生票款为 y 元，填写下表： 学生 成人 票款/元 票数/张 根据等量关系①，可列出方程： . 解得 y＝ . 因此，售出成人票 张，学生票 张. y÷50 (69500－y)÷80 y 69500－y y÷50 + (69500－ y)÷80 = 1000 17500 650 350 成人票数＋学生票款数＝1000张 17500÷50 = 350 (张) 例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母) ? 【分析】本题有两个等量关系值得关注， 一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29； 二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3. 解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母． 根据题意得 解得 x＝14. 29－x＝15. 答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓 和螺母正好配套． 随堂练习 1.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价之比为4∶3，单价之和为84元，则篮球的单价为_____元，排球的单价为_____元. 48 36 随堂练习 2.长方形的长与宽之比为5∶2，周长为56 cm，求这个长方形的面积. 【教材P106 练习 第1题】 解：设长方形的长为5x cm，则宽为2x cm. 根据题意，得2(5x+2x)=56. 解方程，得x=4. 5x=20，2x=8. 故长方形的面积为20×8=160(cm2). 随堂练习 3.兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股250000元，弟弟入股200000元，一年后盈利83520元. 按入股的资金比例分配盈利，兄弟两人各应分得多少元? 【教材P106 练习 第2题】 解：哥哥、弟弟入股的资金比例为250000∶ 200000= 5∶4. 设哥哥应分得盈利5x元，则弟弟应分得盈利4x元. 根据题意，得5x+4x=83520. 解方程，得x=9280. 5x=46400，4x=37120. 答：兄弟两人各应分得46400元和37120元. 随堂练习 4.今年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为 3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为_________cm2. 2个边空宽+4个字宽+3个字距=宣纸长 3888 随堂练习 类型1 比例分配问题 1.小红把一根 长的铁丝分成两段，分别做成两个正方 形的数学模型（铁丝恰好用完）.如果这两个正方形的边长比 是 ,那么这两个正方形的边长分别是______________. ， 返回 中考考法 16 类型2 工程问题 2.甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单 独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款 1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同. 中考考法 17 （1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ 【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.理由： 设甲、乙两人合作完成此项工程需 天. 则,解得 . 因为 ，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 中考考法 （2）现两人合作完成了这项工程的 ，因别处有急事， 必须调走1人，问调走谁更合适？为什么？ 中考考法 19 调走甲更合适.理由：设两人合作天完成了工程的 ，则 ，解得 . 若调走甲，则乙还需 （天）； 若调走乙，则甲还需 （天）. 因为（天）天，（天） 天， 所以调走甲更合适. 返回 中考考法 20 类型3 积分问题 3.每年的12月4日为全国法制宣传日.阳光中学组织学生参加 法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答. 下表记录了其中2名学生的得分情况. 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小宇 20 0 100 小辰 16 4 72 中考考法 21 根据以上信息，请你解答下列问题： （1）答对一题得___分，答错一题得____分. 5 （2）若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？ 【解】设参赛学生小浩答对了道题，则答错了 道题， 根据题意，得 ， 解得 . 答：小浩答对了15道题. 返回 中考考法 22 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x. 1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答 方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量 课堂小结 $