4.5.2补角和余角 课件 -2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“补角和余角”核心知识点，涵盖概念（两角和90°互余、180°互补）及性质（同角或等角的余角、补角相等）。课堂导入通过长方形纸片折叠操作，引导学生发现∠1+∠2=90°、∠3+∠4=180°，建立生活现象与数学概念的联系，为知识学习搭建直观支架。 其亮点在于以生活实例培养几何直观，通过表格观察∠α余角与补角关系发展抽象能力，典例精析中例2用方程解决角度问题体现模型意识。练习题分层设计并附易错小结，助力学生巩固，教师可直接用于教学提升效率，有效落实数学眼光、思维与语言的核心素养。

沪科版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月4日 4.5.2补角和余角 第4章 几何图形初步 沪科版七上4.5.2 补角和余角 同步练习题 核心知识点：如果两个角的和等于90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。核心性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，是几何推理填空必考知识点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2的关系是（） A. 互为补角 B. 互为余角 C. 相等 D. 互邻角 2. 一个角为60°，则它的补角度数为（） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 若∠α的余角为35°，则∠α的度数是（） A. 55° B. 65° C. 145° D. 125° 4. 下列说法正确的是（） A. 余角一定比原角大 B. 直角的补角是直角 C. 钝角有余角 D. 度数相等的角互余 5. 若∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，则∠2＝∠3，依据是（） A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 两角和为90°，互为________；两角和为180°，互为________。 2. 30°角的余角是________°，补角是________°。 3. 若两个角相等且互补，则这两个角都是________角。 4. 锐角的余角一定是________角，钝角没有________角。 5. 同角的余角________，等角的补角________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知一个角的度数为48°，求它的余角和补角的度数。 2.（20分）已知一个角的余角是它本身的2倍，求这个角的度数。 3.（20分）已知∠AOB是直角，∠1和∠2都与∠BOC互余，求证：∠1＝∠2。 参考答案与解析 一、选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 二、填空题 1. 余角、补角 2. 60、150 3. 直 4. 锐、余 5. 相等、相等 三、解答题 1. 解：余角：90°−48°＝42° 补角：180°−48°＝132° 答：余角为42°，补角为132°。 2. 解：设这个角为x°，则它的余角为(90−x)°。 根据题意得：90−x＝2x 3x＝90，解得 x＝30 答：这个角的度数为30°。 3. 证明：∵∠AOB＝90°，∴∠1＋∠BOC＝90°，∠2＋∠BOC＝90°。 ∴∠1、∠2都是∠BOC的余角。 根据同角的余角相等，可得∠1＝∠2。 本节易错小结 1. 互余、互补只与角度和有关，与位置无关，不一定要相邻；2. 只有锐角有余角，钝角、直角没有余角；3. 任意角（小于180°）都有补角；4. 推理题必须写清依据，余角、补角相等性质是考试得分关键点；5. 审题分清“余角”和“补角”，避免公式用反。 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质； 并能利用余角、补角的知识解决相关问题 利用余角、补角的知识解决相关问题. 一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？ 1 2 3 4 ∠1与∠2有什么数量关系? ∠1+∠2=90° ∠3与∠4又有什么数量关系? ∠3+∠4=180° 4.5.2 补角和余角 教案 一、教学重难点 重点：理解补角和余角的定义，掌握补角和余角的性质（同角或等角的补角相等、同角或等角的余角相等），能运用定义和性质解决角的计算问题。 难点：突破“互补”“互余”的本质是角的和的关系，而非位置关系；能在复杂图形中识别补角和余角，灵活运用性质进行几何推理与计算。 二、教学准备 多媒体课件（含补余角情境图、性质推导动画）、量角器、三角板、活动角模型、练习本、彩笔，学生自备铅笔和橡皮。 三、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 1. 复习回顾：引导学生回忆“角的度数计算方法”“平角和直角的度数（平角=180°，直角=90°）”，提问：“若两个角的和是直角，这两个角有什么特殊关系？若和是平角呢？今天我们就来探究这种特殊的角的关系——补角和余角。” 2. 情境激趣：出示生活情境图——①直角三角板中，两个锐角的和；②破损的扇形零件，已知一个角的度数，求另一个能拼成平角的角的度数；③楼梯扶手与地面形成的角和它的邻角。提问：“这些场景中，两个角的和分别是多少？它们的关系有什么共同特点？”引出补角和余角的概念。 （二）核心探究——补角和余角的定义（15分钟） 1. 余角的定义 ① 操作感知：让学生用三角板取出一个30°的角和一个60°的角，将它们的顶点和一条边重合，观察两角和的度数（90°）。引导学生总结：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。 ② 概念强调：“互为”表示相互关系，即若∠1与∠2互余，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角，不能单独说某个角是余角。用数学式子表示为：∠1 + ∠2 = 90°。 ③ 即时练习：已知∠A = 45°，求它的余角的度数（90° - 45° = 45°）；判断：30°的角与60°的角互为余角（√）；一个角的余角一定比它小（×，反例：30°的余角是60°）。 2. 补角的定义 ① 类比推导：用活动角模型摆出120°的角和60°的角，拼成一个平角（180°）。引导学生类比余角定义，总结：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 ② 概念强调：同样体现“互为”关系，数学式子表示为：∠α + ∠β = 180°。举例：∠α = 100°，则它的补角为180° - 100° = 80°。 ③ 易混辨析：出示表格，引导学生对比补角和余角的区别与联系： | 类别 | 和的度数 | 关键词 | 示例 | |--------|----------|--------------|--------------------| | 余角 | 90° | 互余、直角 | 30°与60°互余 | | 补角 | 180° | 互补、平角 | 120°与60°互补 | 强调：一个角的补角比它的余角大90°（推导：180° - ∠A - （90° - ∠A）= 90°）。 3. 位置无关性探究：课件出示两组图形——①相邻的两个角互余；②不相邻的两个角互余；③相邻的两个角互补；④不相邻的两个角互补。提问：“互为补角或余角的两个角，一定是相邻的吗？”引导学生得出结论：补角和余角只与角的度数和有关，与位置无关。 （三）重点突破——补角和余角的性质（18分钟） 1. 余角的性质——同角或等角的余角相等 ① 推导过程：课件出示图形，∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，引导学生推导： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90° ∴ ∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1 ∴ ∠2 = ∠3 得出结论：同角的余角相等。 3. 方法对比：引导学生总结两种方法的特点——度量法通过数值比较，精准但依赖工具；叠合法直观易懂，核心是操作规范，可根据实际需求选择使用。 （三）深化探究——角的和差与角平分线（15分钟） 1. 角的和差关系 ① 图形演示：课件出示∠AOB，在其内部画射线OC，引导学生观察：∠AOB由∠AOC和∠COB组成，因此∠AOB＝∠AOC＋∠COB；同理，∠AOC＝∠AOB－∠COB，∠COB＝∠AOB－∠AOC。 ② 计算示例：已知∠AOB＝100°，∠AOC＝35°，求∠COB的度数。学生结合和差关系列式计算：∠COB＝100°－35°＝65°，教师规范书写步骤。 2. 角平分线的应用 ① 概念回顾：引导学生回忆“角平分线是把一个角分成两个相等角的射线”，即若OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠COB＝1/2∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB。 ② 综合计算：已知OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，OD平分∠AOC，求∠COD的度数。学生画图分析，分步计算：∠AOC＝40°，∠COD＝20°，教师强调“先找角的关系，再代入计算”的思路。 （四）巩固应用——实践与提升（10分钟） 1. 基础题： ① 比较题：用叠合法和度量法分别比较教材中两个角的大小，验证两种方法结果一致。 ② 计算题：已知∠1＝55°，∠2＝55°，∠3＝110°，判断∠1与∠2的关系，∠3与∠1的关系（∠1＝∠2，∠3＝2∠1）。 2. 提升题： ① 如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。（提示：∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝1/2∠AOC＋1/2∠BOC＝1/2∠AOB＝60°） ② 生活应用：用活动角模仿打开的剪刀，说明“剪刀开口越大，角越大”，结合叠合法解释为什么修剪不同厚度的物体需要调整剪刀角度。 （五）课堂总结与作业（8分钟） 1. 总结梳理：引导学生构建知识框架：①角的两种比较方法（度量法：比度数；叠合法：比位置，核心是顶点和一边重合）；②角的和差关系（∠AOB＝∠AOC±∠COB）；③角平分线的性质及综合计算。 2. 分层作业： ① 基础作业：用两种方法比较三个角的大小并排序，完成教材课后和差计算题；②提升作业：已知∠AOB＝90°，OC在∠AOB内部，∠AOC＝30°，画射线OD平分∠BOC，求∠AOD的度数；③拓展作业：用硬纸板制作一个角，画出它的角平分线，用叠合法验证平分线是否将角分成两个等角。 四、板书设计 4.5.1 角的比较 补角和余角的概念 1 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么我们就称这两个角互为补角 ( 简称互补 ). 1 2 知识要点 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的补角，或 ∠2是 ∠1 的补角，或 ∠1 和 ∠2 互补. 几何语言表示为： 若∠1+∠2 = 180°， 则∠1 与∠2 互为补角 1 2 知识要点 2 如果两个角的和等于一个直角 ( 90° )，那么说这两个角互为余角 ( 简称互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余. 1 几何语言表示为： 若∠1 +∠2 = 90°， 则∠1与∠2互为余角. 知识要点 1. 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15° 24° 66° 75° 46.2° 43.8° 练一练 2. 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10° 30° 60° 80° 100° 120° 150° 170° ∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90) 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° (90－x)° (180－x)° 观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____. 90° 观察与思考 余角和补角的性质 2 (1) 如图 (a)， ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 有什么大小关系? 想一想 由于∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180° 所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 因此 ∠2 =∠3 (等量代换) . 同角(或等角)的补角相等. 1 2 3 (a) (2) 如图 (b)，∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，那么∠5 与∠6 有什么大小关系? 由于∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以∠5 = 9° - ∠4，∠6 = 90° - ∠4. 因此 ∠5 =∠6 (等量代换) . 同角(或等角)的余角相等. 4 5 6 (b) 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 60.34° 所以 30.17° 典例精析 例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个 角的度数. 解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°， 补角为 (180 - x)°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45. 因此，这个角为 45°. 典例精析 作一个角等于已知角 3 例3 如图，已知∠M，画∠AOB，使得∠AOB =∠M. 合作探究 M O A B 解 用量角器量得∠M = 110. 画∠AOB = 110°，∠AOB 即为符合题意的角[如右图]. 1.度量法 如图，张开圆规，当圆规两足末墙的距离为 α 时，圆规的张角为∠α，将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？ 合作探究 α a 需要确保在闭合圆规后重新张开时，两脚间的距离与之前的距离相同. 例4 作一个角等于已知角 已知： 如图，∠AOB. 求作： ∠A'O'B' 使∠A'O'B' =∠AOB. B O A 想一想：如果没有三角尺和量角器，只用尺规作图能画出一个角等于已知角吗？ B O A O′ A′ (2) 以点 O 为圆心， 任意长为半径画弧， 交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； (3) 以点 O' 为圆心， C D 同样(OC)长为半径画弧， C′ (4) 以点 C' 为圆心， CD 长为半径画弧， D′ (5) 过点 D' 作射线 O'B'. B′ A′ O′ B′ ∠A'O'B' 就是所求的角. 作 法 示 范 交 O'A' 于点 C'； 交前面的弧于点 D'； (1) 作射线 O'A'； 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹. 已知：∠AOB. 利用尺规作：∠A'O'B'， 使∠A'O'B' = 2∠AOB. B O A 作法一： A' B' ∠A'O'B'为所求. B O A 作法二： C D ∠AOB +∠AOB′ E B' O' A ∠A'O'B'为所求. C C' (O') 1.下列说法不正确的是（ ） A.任意两直角互补 B.任意两锐角互余 C.同角或等角的补角相等 D.同角或等角的余角相等 B 随堂练习 随堂练习 2.下列结论正确的个数为（ ） ①互余且相等的两个角都是45° ②锐角的补角一定是钝角 ③一个角的补角一定大于这个角 ④一个锐角的补角比这个角的余角大90° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 随堂练习 3. 如图，点O在直线PQ上，OA是∠QOB的平分线，OC是∠POB的平分线，那么下列说法错误的是（ ） A. ∠AOB与∠POC互余 B. ∠POC与∠QOA互余 C. ∠POC与∠QOB互补 D. ∠AOP与∠AOB互补 C 随堂练习 知识点1 补角和余角的概念 1.若 的余角是 ，则 等于( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 2.跨学科·生物 不少植物叶子在茎上的排列很有规律，从茎 的顶端沿茎向下看，相邻两片叶子间的夹角是 ，则 的补角的度数为_____. 中考考法 23 3.如果一个角的度数为 ，那么它的余角的度数为_____ ___，补角的度数为_________. 中考考法 24 4.［2025年1月蚌埠期末］若的余角是的3倍，则 的 度数是______ . 中考考法 25 5.(8分)［2024·合肥期末］已知 与 互为补角，且 的比 大 ，求 的余角. 解：因为 与 互为补角， 所以 ，即 . 又因为 的比 大 ， 所以 ，解得 ， 所以 的余角为 . 中考考法 26 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 2 1 4 3 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠3 +∠4 = 180° 或∠3 = 180° -∠4 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 $