3.5.1简单实际问题和行程问题（课件）-2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决实际问题，涵盖简单数量问题、行程问题及比赛积分问题。通过足球联赛积分情境导入，衔接前序方程组解法知识，搭建从解方程组到实际应用的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如足球积分、行程问题等实例引导学生发现数量关系。通过规范解题步骤训练数学思维，强化运算与推理能力。以方程组模型表达现实问题，发展数学语言与模型意识。包含易错总结和中考考法，助力学生掌握建模方法，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

沪科版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月23日 3.5.1简单实际问题和行程问题 第3章 一元一次方程 3.5.1 简单实际问题和行程问题 练习题讲解 在前几节的学习中，我们已经熟练掌握了代入消元法与加减消元法解二元一次方程组。学习方程组的最终目的是解决生活中的实际问题，相较于一元一次方程应用题，二元一次方程组更适合处理含有**两个未知量、两个等量关系**的复杂问题。本节主要包含简单数量问题和行程问题两大类，是二元一次方程组应用题的入门重点，核心解题思想是通过设两个未知数，根据题意列出两组等量关系，建立方程组求解，步骤清晰、模型固定，是考试必考基础题型。 利用二元一次方程组解决实际问题，拥有固定的标准解题步骤，适用于本节所有题型。第一步：审题，读懂题意，找出题目中的两个未知量和两组独立的等量关系；第二步：设元，通常直接设题目中的两个未知量为x、y；第三步：列方程，根据两组等量关系列出二元一次方程组；第四步：求解，利用代入法或加减法解出方程组；第五步：检验，验证解是否符合实际意义；第六步：作答，规范写出完整答案。相较于一元方程，方程组解题无需逆向推导，顺着题意列式即可，思维更简单、更不易出错。 简单实际问题（和差倍分问题）是本节基础题型，主要围绕两个量的和、差、倍、分关系出题。题目一般给出两个数量的总和与差值，或者倍数关系，非常适合用二元一次方程组求解。此类问题的核心是找准两组关系式：两数之和、两数之差、倍数对应关系。避开一元方程繁琐的设元逻辑，直接双未知数列式，解题效率更高。基础例题：已知两个数的和为35，差为15，求这两个数。解：设较大数为$$x$$，较小数为$$y$$。根据题意列方程组$$\begin{cases} x+y=35 \\ x-y=15 \end{cases}$$，两式相加得$$2x=50$$，解得$$x=25$$，回代得$$y=10$$。答：这两个数分别为25和10。 行程问题是本节重难点，延续小学路程、速度、时间核心公式：路程=速度×时间。但二元一次方程组行程问题多为**双人、双条件**题型，包含相向相遇、同向追及两类经典模型，需要依靠两个等量关系列方程组求解。相遇问题核心关系：甲路程+乙路程=总路程；追及问题核心关系：快者路程-慢者路程=初始相距路程。进阶经典例题：甲、乙两人在同一路线上匀速前进，相向而行，2小时相遇；同向而行，10小时甲追上乙。已知两地相距100千米，求甲、乙两人的速度。解：设甲速度为$$x$$ km/h，乙速度为$$y$$ km/h。列方程组$$\begin{cases} 2x+2y=100 \\ 10x-10y=100 \end{cases}$$，化简得$$\begin{cases} x+y=50 \\ x-y=10 \end{cases}$$，解得$$x=30，y=20$$。答：甲速度30km/h，乙速度20km/h。 综合解题易错总结：本节题型常见错误分为两类。简单实际问题易错点：找错和差关系、颠倒大小量，只找到一个等量关系无法列式，忽略题目隐藏条件。行程问题高频易错点：相遇与追及模型混淆、路程关系列反、时间与速度不对应、单位不统一。同时普遍存在的问题是：只解方程不检验，出现负数速度、负数路程等不符合实际的结果，未及时舍去。解题核心技巧：遇到两个未知量、两个条件的题目，优先使用二元一次方程组，条件一一对应，列式直观、正确率更高。 本节内容是方程组应用题的开端，实现了从纯计算解方程到实际应用建模的跨越。简单和差倍分问题夯实双等量关系的找题能力，行程问题训练模型识别与公式运用能力。熟练掌握本节内容，能够完全应对基础应用题，同时为后续工程问题、销售问题、方案选择问题等复杂方程组应用题筑牢建模基础，是初中数学方程应用体系中承上启下的关键章节。 情境导入 同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？ 比赛积分问题的相等关系： （1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数； （2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分. 探索新知 例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分. 该队胜几场，平几场？ 解法一：如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11 - x) 场. 相据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 (11 - x) 场，得 (11 - x) 分，共得 27 分，得方程 解方程，得 x＝8. 3x＋(11－x)＝27. 此时 11－x＝11－8＝3. 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 解法二：设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场由该队共比赛 11 场，得方程 x＋y＝11. ① 又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程 3x＋y＝27. ② x＋y＝11， 3x＋y＝27 x＝8， y＝3. 解方程①②组成的方程组 ，得 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1) 审题：弄清题意和题目中的_________； (2) 设元：用___________表示题目中的未知数； (3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4) 解方程组：利用__________法或___________解 出未知数的值； (5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义， 然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 方法总结 2 利用二元一次方程组解决行程问题 例2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. (1) 同时出发， 同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h行程 = 4 km + 乙 2 h行程 (2) 同时出发， 相向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲0.5 h行程 + 乙0.5 h行程 = 4km 相遇地 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 2x－2y＝4， 0.5x＋0.5y＝4 x＝5， y＝3. 练 习 1. 某班课外活动小组买了 9 副象棋和 7 副跳棋，共计 700 元. 已知 2 副象棋的价格比 1 副跳棋的价格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的价格各是多少元？ 【教材P120 练习 第1题】 解：设 1 副象棋和 1 副跳棋的价格分别为 x 元、y 元. 根据题意，得 解方程组，得 9x + 7y = 700， 2x - y = 15. x = 35， y = 55. 答： 1 副象棋的价格为 35 元，1 副跳棋的价格为 55元. 随堂练习 2. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间. 【教材P120 练习 第2题】 随堂练习 解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h. 6 min = h，20 min = h. 根据题意，得 解方程组，得 答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间为 h. 随堂练习 3. 一艘江轮航行在相距 72 km 的两个港口之间，顺流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江轮在静水中的速度. （顺流航行的速度 = 静水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 静水中速度 - 水流速度） 【教材P120 练习 第3题】 随堂练习 解：设江轮在静水中的速度是 x km/h，水流速度为 y km/h. 4 h 48 min = h. 根据题意，得 解方程组，得 4(x + y) = 72， 答：江轮在静水中的速度是 km/h. 随堂练习 应用1 积分问题 1. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2分，负一场得1分.某队在12场比赛中得20分，设该队胜 场， 负场，则根据题意，列出关于， 的二元一次方程组正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 16 2.［2025滁州月考］某中学组织学生进行安全知识竞赛，共 有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分.用二 元一次方程组的知识解决下列问题. （1）甲同学参加了竞赛，成绩是96分，设甲同学在竞赛中 答对了道题，不答或答错了道题，求和 的值； 【解】根据题意，得解方程组，得 中考考法 17 （2）乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能 拿到100分.”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由. 中考考法 18 乙同学没有可能拿到100分.理由如下： 设乙同学在竞赛中答对了道题，则不答或答错了 道 题， 根据题意，得，解得 . 因为为整数，所以 不符合题意. 所以乙同学没有可能拿到100分. 返回 中考考法 19 应用2 行程问题 3.甲、乙两名同学在 环形跑道上练习赛跑.若两人同时 同地反向跑，则经过 两人第一次相遇；若两人同时同地 同向跑，则经过甲第一次追上乙.甲的速度为___ ， 乙的速度为___ . 7 5 返回 中考考法 20 4.［2025孝感期末］一只小船从港口顺水航行到 港口需8 小时，而从港口逆水返回到 港口需12小时.某日，该小船 在早晨8时出发，由港口顺水航行到 港口时，发现船上一 个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小 时后找到救生圈. 中考考法 21 （1）若港口到 港口的航程为240千米，求水流速度是每小 时多少千米？ 【解】设小船在静水中的速度为千米/时，水流速度为 千米 /时， 由题意，得解方程组，得 答：水流速度是每小时5千米. 中考考法 22 （2）若救生圈从港口漂流到 港口，需要多长时间？ 中考考法 23 设小船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时， 港口到港口的距离为 千米，由题意，得 解方程组，得 所以救生圈按水流速度由港口漂流到 港口需要的时间为 （小时）. 答：救生圈从港口漂流到 港口所需时间为48小时. 中考考法 二元一次方程组的应用 应用 步骤 简单实际问题 行程问题 路程 = 平均速度×时间 审题：弄清题意和题目中的__________ 设元：用______表示题目中的未知数 列方程组：根据___个等量关系列出方程组 解方程组：_______________ 检验作答 数量关系 字母 2 代入法， 加减法 $