精品解析：河南南阳市2025-2026学年下学期八年级5月阶段性测试数学试卷

2026年春期八年级阶段性测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式无意义，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 2. 维生素有助于身体吸收钙和磷，健康成人每天维生素的适宜摄入量约为克．则数据用小数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 对于，指数为，原数是正数， ∴ 将的小数点向左移动位，可得． 3. 如图，已知直线，点在直线上，并且，为垂足，，是直线上任意两点，点在直线上．设的面积为，的面积为，的面积为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离相等和同底等高的两个三角形的面积相等即可解答． 【详解】解：∵直线， ∴，，的底边上的高相等， ∴，，这3个三角形同底，等高， ∴，，这些三角形的面积相等， 即． 4. 如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数（）的图象不可能经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：一次函数中，，， 一次函数函数的图象经过第一、二、三象限， 点在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点． 故选：A． 5. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据三角形的中位线解题即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点，为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，且， ∵， ∴； 取的中点，则为的中位线， ∴， ∵，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点与点重合， 即点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 6. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 6 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 7. 如图，在平行四边形中，，，，垂足为．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出， 根据平行四边形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图，点，点在轴上．将矩形以点为旋转中心顺时针旋转得到矩形，当点的对应点落在边上时，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，从而得到，再由旋转的性质得：，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出点在线段、、上运动时，的面积的变化趋势，对应函数图象求出线段、的长，在判断点在哪条线段上运动时是直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：①当点在线段上运动时， 的面积随着点运动的路程的增大而增大； ②当点在线段上运动时， 的面积保持不变； ③当点在线段上运动时， 的面积随着点运动的路程的增大而减小； 由函数图象可得，，， ． 当点在线段和线段上运动时，是直角三角形， 当，时，是直角三角形． 只有B选项不在此范围内． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，由题意可知，当时，随的增大而减小，根据反比例函数的性质可得，取，可得满足条件的函数表达式为，答案不唯一． 12. 如图，将长为，宽为的矩形向右平移，再向下平移，得到矩形，则阴影部分的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】由平移的性质得，，阴影部分为矩形，求出长和宽即可求其周长． 【详解】解：如图， 由题意得，， 由平移得，阴影部分为矩形， ，， ，， 阴影部分的周长为：． 13. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为5，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，可得，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象可以求出的值． 【详解】解：如图所示，过点作轴， 轴． ∵四边形为平行四边形， 轴． 又∵轴， ∴四边形为矩形． ∴， ． ∵反比例函数的图象经过第四象限， ， ． 14. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 【答案】3 【解析】 【分析】利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 15. 定义：顶角为的等腰三角形，叫做“倍十五等腰三角形”．在等腰中，，，，点为边上一点，连接．若△是“倍十五等腰三角形”，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再对是“倍十五等腰三角形”进行分类讨论，通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点作于点， ∵ ，， ∴ ， 在中，， ∴ ， 设， ∴ ， 由勾股定理得， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是“倍十五等腰三角形”，且点在边上，， ∴ 当顶角，且时， ∴ ， 又∵ ， ∴ 点与点重合， ∴ ． 当顶角，且时， ∴， 过点作于点， ∴ ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，这是工厂某输送链条的简化模型，每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． （1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4 … 链条的长度 … （2）如果x节链条的长度是y，求y与x的关系式； （3）如果某模型链条（安装前）由80节这样的链条组成，安装后首尾相连，则总长度是_________． 【答案】（1）4.2，5.9，7.6 （2）； （3）136 【解析】 【分析】（1）首先根据题意并结合1节链条的图形可得每节链条两个圆之间的距离，接下来再结合图形可得到2节链条的长度，按此规律，写出3节链条、4节链条的长度，再进行填表即可； （2）结合（1）中各节链条长度的表达式，则不难得到y与x之间的关系式了； （3）将代入（2）中的关系式中，可求得y值，此时，注意：输送链条为环形，在展直的基础上还要缩短． 【小问1详解】 解：每节链条两个圆之间的距离为：， 观察图形可得，2节链条的长度为； 3节链条的长度为； 4节链条的长度为； 故答案是：，，； 【小问2详解】 解：1节链条、2节链条、3节链条、4节链条的长度分别可表示为： ， ， ， ， 故y与x之间的关系为：； 【小问3详解】 解：当时，， 因为输送链条为环形，在展直的基础上还要缩短， 故模型链条80节链条的长度为， 所以总长度是． 18. 如图，中，°，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接，求对角线的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作图，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，四边形即为所求； （2）由平行四边形的性质得，，，由勾股定理得，，即可求出对角线的长． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求．（作法不唯一，正确即可） 【小问2详解】 解：设与交于点O， 由（1）知四边形是平行四边形， ，． 在中，， ． 19. 如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． （1）将水从加热到，水温每分钟上升_________； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； （3）请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； （4）请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）10 （2） （3）见解析 （4）13分钟 【解析】 【分析】（1）根据“升温速率=总温差÷总时间”计算即可， （2）设反比例函数解析式为，根据图象过点，利用待定系数法求出值即可， （3）根据求出的反比例函数解析式，取为800的因数且的整数值，计算对应的值，描点画图， （4）水温不低于包含两个阶段：加热阶段和降温阶段。分别令加热时的函数值和降温时的函数值，求出对应的时间范围，计算时间差． 【小问1详解】 解：由题意可知，水温从加热到用时分钟， 温度上升的总量为：， 水温每分钟上升：， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：在水温下降的过程中，设关于的函数表达式为， 由图象可知，当时，， 将代入，得： ． 解得， 在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：根据函数表达式，取为800的因数（且），寻找横、纵坐标均为整数的点： 当时，，点为， 当时，，点为， 当时，，点为， （注：答案不唯一，如等亦可） 函数图象为经过点以及上述三个点的平滑曲线（双曲线的一支），图象如下： 【小问4详解】 解：我们需要求水温的持续时间， ①在加热过程中： 设加热过程的函数表达式为， 图象过点和， ，解得， ， 令，解得，即， 所以在加热阶段，从第分钟开始水温不低于； ②在降温过程中： 函数表达式为， 令，解得，即， 所以在降温阶段，直到第分钟水温都不低于， 综上所述：水温不低于的时间段为， 持续时间为：（分钟）． 20. 如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． （1）你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）①②或①③或②③，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定定理选择条件，先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①②或①③或②③ 选择①②，证明如下： 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形． 选择①③ 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 ∵ ， ∴四边形是矩形； 选择②③ 四边形是平行四边形 ， ∵ ∴ ∴ ∵； ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在中，， ， 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）作轴于点F，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数解析式为 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先将A点坐标代入反比例解析式，得到反比例解析式，再将B点坐标代入反比例解析式得到B点坐标，根据A、B点坐标求出一次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，对比直线的解析式和直线的解析式，发现k相等，得到两直线平行，即，再结合条件得到，从而证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， 代入得， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数的图象过点， ， ， 一次函数经过，，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 轴，轴， ，． 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 又直线的表达式为，两直线k相等， ， 轴， ， 四边形是平行四边形． 22. 从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区计划购买两种无人配送车，在采购中发现，一辆A型无人配送车的单价比一辆B型无人配送车的单价高4000元．用10万元购买A型无人配送车的数量和用8万元购买B型无人配送车的数量相同． （1）求A型无人配送车和B型无人配送车的单价； （2）该物流园计划购买两种无人配送车共60台，要求A型无人配送车数量不少于B型无人配送车数量的，求出购买两种无人配送车的总费用最少需要多少元？ 【答案】（1）型无人配送车的单价为元，型无人配送车的单价为元 （2）两种无人配送车的总费用最少需要1020000元 【解析】 【分析】（1）设型无人配送车的单价为元，则型无人配送车的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型无人配送车辆，则型无人配送车辆，总费用为元，先求出a的取值范围，再列出函数关系式，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设型无人配送车的单价为元，则型无人配送车的单价为元，由题意得， ， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：型无人配送车的单价为元，型无人配送车的单价为元 【小问2详解】 解：设购买型无人配送车辆，则型无人配送车辆，总费用为元，由题意，得： ， 解得：， ， ， 随a的增大而增大， 时，w取最小值，最小值为， 答：两种无人配送车的总费用最少需要1020000元． 23. 综合与探究 已知在中，点为边的中点，连接． 【动手操作】 如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，如图2所示． 【问题解决】 （1）请直接写出图2中的形状__________________； （2）判断图2中和的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，若平行四边形中，，且，当的某一个内角的度数为时，请直接写出的长度． 【答案】（1）为直角三角形 （2），理由见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，可得，从而得到，即可解答； （2）延长交于点M，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，可得，再结合平行四边形的性质可得，即可解答； （3）分两种情况，结合等边三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵点为边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，延长交于点M， 由折叠的性质得：，，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴ 由（1），（2）得：， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的长度2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级阶段性测试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若分式无意义，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 2. 维生素有助于身体吸收钙和磷，健康成人每天维生素的适宜摄入量约为克．则数据用小数表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，点在直线上，并且，为垂足，，是直线上任意两点，点在直线上．设的面积为，的面积为，的面积为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数（）的图象不可能经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 6 B. 10 C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，，垂足为．则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图，点，点在轴上．将矩形以点为旋转中心顺时针旋转得到矩形，当点的对应点落在边上时，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 12. 如图，将长为，宽为的矩形向右平移，再向下平移，得到矩形，则阴影部分的周长为_________． 13. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为5，则的值为_________． 14. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 15. 定义：顶角为的等腰三角形，叫做“倍十五等腰三角形”．在等腰中，，，，点为边上一点，连接．若△是“倍十五等腰三角形”，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算： （2）化简： 17. 如图，这是工厂某输送链条的简化模型，每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． （1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4 … 链条的长度 … （2）如果x节链条的长度是y，求y与x的关系式； （3）如果某模型链条（安装前）由80节这样的链条组成，安装后首尾相连，则总长度是_________． 18. 如图，中，°，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接，求对角线的长． 19. 如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． （1）将水从加热到，水温每分钟上升_________； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； （3）请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； （4）请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 20. 如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． （1）你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）作轴于点F，连接，求证：四边形是平行四边形． 22. 从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区计划购买两种无人配送车，在采购中发现，一辆A型无人配送车的单价比一辆B型无人配送车的单价高4000元．用10万元购买A型无人配送车的数量和用8万元购买B型无人配送车的数量相同． （1）求A型无人配送车和B型无人配送车的单价； （2）该物流园计划购买两种无人配送车共60台，要求A型无人配送车数量不少于B型无人配送车数量的，求出购买两种无人配送车的总费用最少需要多少元？ 23. 综合与探究 已知在中，点为边的中点，连接． 【动手操作】 如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，如图2所示． 【问题解决】 （1）请直接写出图2中的形状__________________； （2）判断图2中和的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，若平行四边形中，，且，当的某一个内角的度数为时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $