专题08 平行四边形的解题模型【期末复习重难点专题培优七大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 以七个核心解题模型为框架，通过精讲精练系统构建平行四边形（含特殊四边形）问题的解题方法体系，逻辑递进且贴合期末备考需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形|精讲1+精练2|三角形中位线性质应用|从一般四边形到特殊对角线（垂直/相等）的中点四边形判定| |十字架模型|精讲1+精练2|正方形中垂直线段关系证明|通过全等转化线段关系，培养几何直观| |梯子模型|精讲1+精练2|勾股定理解决动态问题|静态模型到动态变化的推理，提升推理能力| |对角互补模型|精讲1+精练2|旋转构造全等三角形|利用特殊角（60°/90°）构造全等，强化模型意识| |中位线|精讲1+精练2|中点连线性质应用|结合矩形、直角三角形的中点问题，构建知识网络| |三垂线|精讲1+精练2|垂直关系构造与证明|正方形中垂线的性质迁移，培养空间观念| |45°角模型|精讲1+精练2|旋转/截长补短法|正方形中45°角的线段关系转化，提升创新意识|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题08 平行四边形的解题模型『期末复习重难点专题培优』 【七个重难点解题模型+期末真题实战演练 共41题】 能力提升 拓展拔尖 1 题型一 中点四边形 1 题型二 十字架模型 9 题型三 梯子模型 15 题型四 对角互补模型 17 题型五 中位线 23 题型六 与正方形有关的三垂线 26 题型七 正方形与45°角的基本图 36 优选真题 实战演练 42 【基础夯实 能力提升】 42 【拓展拔尖 冲刺满分】 54 题型一 中点四边形 【精讲】如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【思路引导】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【规范解答】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 【精练1】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【思路引导】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【规范解答】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【考点剖析】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 【精练2】对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①×②×③√ (2)见解析 (3)①2；② 【思路引导】（1）①根据菱形、正方形的性质判断即可； ②根据菱形的判定和性质判断即可； ③根据中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的判定和性质得到，即可证明平行四边形是矩形，进而判断即可； （2）连接，，根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“等对”四边形； （3）①连接，根据正方形的性质得到，，可得，证明，进而证明，得到，即可求出的长； ②过点E作，过点M作，可知四边形是平行四边形，进而得到，当D，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【规范解答】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误， 故答案为：×； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误， 故答案为：×； ③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 矩形对角线相等， 故答案为：√； （2）证明：连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“等对”四边形； （3）①解：连接，在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当D，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴，即， 作交于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 【考点剖析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型二 十字架模型 【精讲】如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 【精练1】正方形中，点E、F在上，且，与交于点G． （1）如图1，求证； （2）如图2，在上截取，的平分线交于点H，交于点N，连接，求证：； 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【思路引导】（1）根据正方形的性质得，，用证明，得，根据三角形内角和定理和等量代换即可得； （2）过点B作，交于点，根据正方形的性质和平行线的性质，用证明，得，根据角平分线性质得，则是等腰直角三角形，用证明，得，在中，根据勾股定理即可得． 【规范解答】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图所示，过点B作，交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，可得， ∴． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 【精练2】如图，正方形的边长为3，E为边上一点，．将正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【思路引导】过点作交于点，交于点，由勾股定理得，再证明，可得，再求解即可． 【规范解答】解：过点作交于点，交于点， 可得四边形是矩形， ， 正方形的边长为3，， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【考点剖析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 题型三 梯子模型 【精讲】如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 【答案】梯足向外移动了 【思路引导】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．在直角三角形中，已知,，，根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度． 【规范解答】解：在直角中，已知,，， 则， ， 在直角中，，且为斜边， ， 梯足向外移动了． 【精练1】一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 【答案】(1)米 (2)不是4米，是米，见解析 【思路引导】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到． 【规范解答】（1）解：由题意得：米，米， ∴（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； （2）梯子底部不是水平方向滑动了4米， 由题意得：米， ∴米， ∴（米）， 则：（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【考点剖析】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 【精练2】如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 【答案】见解析 【思路引导】根据三角形三边关系和勾股定理判定即可； 【规范解答】如图． 在中，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴当O，Q，C三点共线，取得最大值，，即； 【考点剖析】本题主要考查了三角形三边关系和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 题型四 对角互补模型 【精讲】如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线； ②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 【规范解答】解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度， ∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD， 又∵∠DAE=180°， ∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形， ∴DC=DB+DA．故④正确； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 【精练1】已知：，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，根据证明得，再证明四边形是正方形，由勾股定理进一步得出结论． 【规范解答】证明：过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，如图． 易知． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴ 又，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【考点剖析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出是解答本题的关键． 【精练2】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【规范解答】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型五 中位线 【精讲】如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，综合性强，正确找出点的运动轨迹是解题关键．分别取的中点，连接，先根据矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理可得的长，再根据三角形的中位线定理可得当点在上运动时，点在上运动，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后利用勾股定理可得，由此可求出的长，最后在中，利用勾股定理计算即可得． 【规范解答】解：如图，分别取的中点，连接， ∵矩形中，，，为的中点， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点为的中点，点是的中点， ∴， 又∵点是的中点，为的中点， ∴， 同理可得：， ∴点在同一条直线上，即当点在上运动时，点在上运动， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：A． 【精练1】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 【答案】证明见解析． 【思路引导】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，根据三角形中位线定理得到PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论． 【规范解答】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， ∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点， ∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线， ∴PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC， ∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∴∠AHF＝∠BGF． 【考点剖析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【精练2】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ____ ． 【答案】13 【思路引导】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可． 【规范解答】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示 ∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点 ∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得 故答案为：13． 【考点剖析】本题考查了三角形中位线的问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键． 题型六 与正方形有关的三垂线 【精讲】在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 【精练1】如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 (3) 【思路引导】（1）在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形，再利用证明≌，得； （2）连接，根据，得，则四边形的面积为正方形的面积； （3）作于，由，可得，再利用证明≌，得，可知，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点的坐标，从而解决问题． 【规范解答】（1）证明：在上取点，使，连接， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ； （2）解：四边形的面积不变，为， 连接， ， ∴， ， 四边形的面积为正方形的面积， 四边形的面积为； （3）解：作于， ， ， ， 由得，， ，， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 同理得，直线的解析式为， 当时， ， ， ， ． 【考点剖析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式等知识，求出点的坐标是解决问题（3）的关键． 【精练2】综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【思路引导】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【规范解答】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过点E作交CB的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 题型七 正方形与45°角的基本图 【精讲】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键． 本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上． 由旋转的性质，得，，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴在中，，即． 解得． 故选： C． 【精练1】如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 设， 则， ， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故②不正确； 由勾股定理得：， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①③④， 故选：C． 【精练2】【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【规范解答】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 【基础夯实 能力提升】 1．在正方形中，点E在对角线上，且，延长交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，易得为等腰三角形，等边对等角，求出的度数，对顶角得到的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可． 【规范解答】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据可以证明，然后即可得到，再根据勾股定理可以得到的长，然后根据相似三角形的判定和性质可以得到和的面积之比，然后即可得到的面积与四边形的面积之比． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积与四边形的面积之比是：， 故选：D． 【考点剖析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴影部分的面积为（        ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【思路引导】构造辅助线，求得，的长，利用三角形中位线定理证得,求得，从而求得阴影部分的面积． 【规范解答】设菱形ABCD的对角线相交于G， ∵AB=4，∠A=60°， ∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠C =60°， ∴为边长为4的等边三角形， ∴∠DCG=∠BCG=30，， ∴，，， ∴，， ∵E、F 为边 BC、CD 的中点， ∴EF∥BD，EF=BD=2， ∴, ∴， ∴． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，三角形中位的性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点． 4．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【思路引导】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【规范解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 5．如图，直线，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在上，之间的距离是2，之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为_____． 【答案】20 【思路引导】过点A作于点E，过点C作于点F，先证得△ABE≌△BCF，可得AE=BF=2，CF=4，再由勾股定理，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点E，过点C作于点F， ∴∠CBF+∠BCF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠ABE+∠CBF=90°，AB=BC， ∴∠ABE=BCF， ∵∠AEB=∠CFB=90°， ∴△ABE≌△BCF， ∴AE=BF，BE=CF， ∵之间的距离是2，之间的距离是4， ∴AE=BF=2，CF=4， ∴． 故答案为：20 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形面积的求解方法，证明△ABE≌△BCF是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 _____． 【答案】17 【思路引导】利用正方形的性质得∠BAE＝90°，AE＝AB，利用同角的余角相等得∠AEF＝∠BAC，再∠F＝∠ACB=90°，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，得FA+AC=FC=15，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长． 【规范解答】解： ∵四边形ABDE为正方形， ∴∠BAE＝90°，AE＝AB， ∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°， ∴∠AEF＝∠BAC， 在△AEF和△BAC中， ， ∴△AEF≌△BAC（AAS）， ∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7， 在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15， 根据勾股定理得：CE＝＝17． 故答案为：17． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理求边长以及余角的性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键. 7．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】(1) (2)梯子的底端B在水平方向滑动了 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的底端B在水平方向上向右滑动了． 8．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，，M关于直线AF对称． （1）求证：B，M关于AE对称； （2）若的平分线交AE的延长线于G，求证：． 【答案】(1)见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）由已知可证，，即可得证； （2）由上述结论可得，再证△AFG为等腰直角三角形． 【规范解答】解：连结AM，DM，BM， ∵D、M关于直线AF对称， ∴AF垂直平分DM， ∴AD=AM，FD=FM， ∴△DAF≌△MAF， ∴∠AMF=∠ADF=∠AME=∠ABE=90°，AM=AB，AE=AE， ∴△BAE≌△MAE， ∴EM=EB， ∴AE垂直平分BM， ∴B、M关于AE对称； （2）由（1）知△BAE≌△MAE， ∴AE平分∠BEF， ∴∠EAF=∠BAD=45°， 又AF平分∠DFE，FG平分∠EFC， ∴∠AFG=90°． ∴△AFG为等腰直角三角形， ∴． 【考点剖析】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．有关45°角的问题，往往利用全等，构造等腰直角三角形，使问题迅速获解． 9．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤∠α≤75°．如果现有一个长6m的梯子，那么 （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果精确到0.1m） （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角α等于多少？（结果精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？ 【答案】（1）约；（2）约，可以安全使用梯子 【思路引导】（1）若使BC最长，且在安全使用的范围内，则∠BAC的度数最大，即∠BAC=75°；可通过解直角三角形求出此时BC的长． （2）当AC=2.4m时，可在Rt△BAC中，求出∠BAC的余弦值，进而可得出∠BAC的度数，然后判断这个角度是否在安全使用的范围内即可． 【规范解答】解：（1）当∠BAC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高； 在Rt△ABC中，有sin∠BAC=， ∴BC=AB•sin∠BAC=6×sin75°≈5.8； 答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度BC约为5.8m； （2）在Rt△ABC中，有cos∠BAC==0.4， 利用计算器求得∠BAC≈66°， ∵50°＜66°＜75°， ∴这时人能安全使用这个梯子． 答：人能够安全使用这个梯子． 【考点剖析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键． 10．回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【规范解答】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【规范解答】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 2．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【规范解答】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又 ， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ， ， ， ， 解得 ， ，故④正确 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论： ①∠GAE＝45°； ②BG+DE＝GE； ③点G是BC的中点； ④连接FC，则BF⊥FC； 其中正确的结论序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】A 【思路引导】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC． 【规范解答】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示： ∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE， ∴DE＝2，EC＝4， ∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置， ∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG， ∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，①正确； ∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确； 设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x， 在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x， ∵CG2+CE2＝GE2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3， ∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3， ∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确； ∴GF＝GC， ∴∠GFC＝∠GCF， 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB＝∠AGF， 而∠BGF＝∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB＝∠GCF， ∴FC∥AG， ∵AB＝AF，BG＝FG， ∴AG⊥BF， ∴BF⊥FC，④正确； 故选：A． 【考点剖析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 4．如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________．    【答案】13 【思路引导】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【规范解答】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：13． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是______． 【答案】 【思路引导】取的中点，连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得，在中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得，据此解题． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 6．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是_______． 【答案】45° 【思路引导】延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=即可解题． 【规范解答】解：如图，延长EB到点G，使得 BG=DF ，连接AG， 在正方形ABCD中， ∠D=∠ABC=， AB=AD， ∴∠ABG=∠ADF=， 在△ABG 和 △ADF 中， ， ∴△ABG≌△ADF(SAS) ， ∴∠DAF=∠BAG ， AF=AG， 又 ∵EF=DF+BE=BG+BE=EG， ∴ 在 △AEG 和 △AEF 中， ， ∴△AEG≌△AEF(SSS) ， ∴∠EAG=∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=， ∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=， ∴∠EAG+∠EAF=， ∴∠EAF=． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 7．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【答案】45 【思路引导】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题． 【规范解答】解：如图，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ， ，即． ， ，即． 在和中， ， ， ． 8．【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 9．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 10．背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①等边；② 【思路引导】（1）根据正方形，得到，，证，得到，由图形得，相加可得，故，根据勾股定理，即可求解． （2）①过点P作于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质，得到，由得，故是等边三角形；②设，先证，得到，再结合，，，列方程，求得，再求出和的长度，运用勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）①如图，过点P作于点E，于点F，连接， 平分， ， ， ， 是等边三角形； ②设， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，解得， ， ， 由勾股定理得． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题08 平行四边形的解题模型『期末复习重难点专题培优』 【七个重难点解题模型+期末真题实战演练 共41题】 能力提升 拓展拔尖 1 题型一 中点四边形 1 题型二 十字架模型 4 题型三 梯子模型 5 题型四 对角互补模型 6 题型五 中位线 7 题型六 与正方形有关的三垂线 8 题型七 正方形与45°角的基本图 10 优选真题 实战演练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 中点四边形 【精讲】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） 如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【精练1】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2） 如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【精练2】对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 题型二 十字架模型 【精讲】如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【精练1】正方形中，点E、F在上，且，与交于点G． （1）如图1，求证； （2）如图2，在上截取，的平分线交于点H，交于点N，连接，求证：； 【精练2】如图，正方形的边长为3，E为边上一点，．将正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．6 D．5 题型三 梯子模型 【精讲】如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 【精练1】一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 【精练2】如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 题型四 对角互补模型 【精讲】如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精练1】已知：，求证：． 【精练2】我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 题型五 中位线 【精讲】如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 【精练1】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 【精练2】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ____ ． 题型六 与正方形有关的三垂线 【精讲】在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【精练1】如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 【精练2】综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 题型七 正方形与45°角的基本图 【精讲】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【精练1】如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精练2】【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【基础夯实 能力提升】 1．在正方形中，点E在对角线上，且，延长交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴影部分的面积为（        ） A．16 B．12 C．8 D．6 4．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 5．如图，直线，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在上，之间的距离是2，之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为_____． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 _____． 7．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 8．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，，M关于直线AF对称． （1）求证：B，M关于AE对称； （2）若的平分线交AE的延长线于G，求证：． 9．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤∠α≤75°．如果现有一个长6m的梯子，那么 （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果精确到0.1m） （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角α等于多少？（结果精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？ 10．回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 2．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论： ①∠GAE＝45°； ②BG+DE＝GE； ③点G是BC的中点； ④连接FC，则BF⊥FC； 其中正确的结论序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③ 4．如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________．    5．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是______． 6．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是_______． 7．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 8．【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 9．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 10．背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $