专题07 矩形、菱形、正方形的判定与性质【期末复习重难点专题培优十五大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形判定与性质，通过15类重点题型（含折叠、动点、最值等）与真题演练，构建从性质应用到综合问题的递进式训练体系，渗透转化、对称等思想方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|15题型（约42题）|折叠问题用轴对称性质，动点问题用动态分析，最值问题用转化思想|从特殊平行四边形性质判定到综合应用，形成概念-性质-应用的逻辑链条| |优选真题实战演练|23题（基础+拓展）|基础题夯实性质应用，拔尖题强化综合推理|覆盖期末高频考点，衔接中考命题趋势，提升模型意识与应用能力|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 矩形、菱形、正方形的判定与性质『期末复习重难点专题培优』 【十五个重点题型+期末真题实战演练 共65题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 矩形与折叠问题 1 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 3 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 4 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 5 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 7 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 8 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 9 题型八 正方形折叠问题 11 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 12 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 14 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 15 题型十二 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 17 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 19 题型十四 四边形中的线段最值问题 20 题型十五 四边形其他综合问题 21 优选真题 实战演练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 27 题型一 矩形与折叠问题 【精讲】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【精练1】如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【精练1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【精练2】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 【精练1】（25-26八年级下·浙江·期中）已知，如图，在直角梯形中， ，，，，，E是中点，．已知动点P从点A出发，沿着方向以的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着方向以的速度向终点D匀速运动．当一个点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当时，求t的值． 【精练2】如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以的速度沿线段向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为． （1）的长_____． （2）若点P在折线上运动时，当t为___________时的面积为． 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积S． 【精练1】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【精练2】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【精练2】已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【精练1】如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【精练2】24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E． (1)若，求边的长． (2)在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长． (3)设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由． 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形中，E为边上任意一点，连接，F为线段的中点，过点F作，与分别相交于点M,N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求四边形的面积． 【精练2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 题型八 正方形折叠问题 【精讲】（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【精练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【精练2】如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为_____． 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 【精讲】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【精练1】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【精练2】在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．    (1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． (3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【精练1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【精练2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【精练2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 题型十二 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【精练1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）在四边形中，对角线上有一点E，连接，F是射线上一点，连接，且，以为边作平行四边形． (1)如图1，若四边形是菱形． ①求证：四边形是菱形； ②若，连接，则与是否相等？请说明理由． (2)如图2，若四边形是正方形． ①与的关系是（   ） A． B． C． D． ②已知，，连接，则的长为_______． 【精练2】（24-25八年级下·河北保定·期中）正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，是对角线上一点． (1)求证：． (2)如图2，过点作，，垂足分别为，，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，是的中点，连接，，求的最小值． (4)如图4，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接，若恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【精练1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【精练2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 题型十四 四边形中的线段最值问题 【精讲】如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________． 【精练1】如图,矩形中,,,连接,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是______． 【精练2】如图，点为四边形的四个顶点，当四边形的周长最小时，________． 题型十五 四边形其他综合问题 【精讲】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 【精练1】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【精练2】．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【基础夯实 能力提升】 1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 2．如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；绳索二十尺，良工巧算记之；送行二步水平齐，问君升高几许？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，秋千的绳索总长为20尺．将它往前水平推送两步（两步尺）时，秋千的绳索始终保持拉直的状态，问此时踏板相比静止时升高了多少尺？”（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对角线长为的正方形的周长是_____． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______． 6．（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 9．（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作，交延长线于点． (1)求证：． (2)如图，连接，过点作交于点，连接． ①若，求的长． ②求的值． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（    ）    A． B． C． D．48 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，，，保持长方形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是长方形面积的，则的长度为________． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，M，N分别是边，上的一点，连接，将沿折叠得到，点落在线段上，连接，作点关于的对称点，点恰好落在边上，若，则的长为___________． 7．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上． (1)在图中画出以为边的平行四边形（非菱形）； (2)在图中画出以为边的菱形（非正方形）； (3)在图中画出以为边的正方形． 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）在一次数学活动课上，李老师在四边形的边上分别取点E，F． (1)如图1，四边形是正方形，，同学们将拼图中的绕点顺时针旋转至，请写出三者之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的基础上，班级中有同学思考，如果我们弱化正方形的条件，如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有题（1）的结论； (3)李老师提出：自己所居住小区的公园在同一水平面上，如图3，有四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：． (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题07 矩形、菱形、正方形的判定与性质『期末复习重难点专题培优』 【十五个重点题型+期末真题实战演练 共65题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 矩形与折叠问题 1 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 6 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 11 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 16 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 21 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 24 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 32 题型八 正方形折叠问题 38 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 42 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 50 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 56 题型十二 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 60 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 68 题型十四 四边形中的线段最值问题 75 题型十五 四边形其他综合问题 79 优选真题 实战演练 86 【基础夯实 能力提升】 86 【拓展拔尖 冲刺满分】 95 题型一 矩形与折叠问题 【精讲】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【精练1】如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据矩形的性质可知，根据等腰直角三角形的性质可知，由折叠的性质推出，，设，由勾股定理可知，列出方程即可求出，根据即可求出结果． 【规范解答】解：如图， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 设， 则， ， 解得 ， ． 【精练2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①AF；②周长的最小值为12 【思路引导】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． （1）通过矩形的性质得到，，再根据已知条件求出，即可得证； （2）根据矩形的性质和折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，计算即可得解；连接，，当点恰好位于对角线上时，最小，根据勾股定理计算即可； 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【规范解答】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【精练1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【规范解答】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 【精练2】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或9 【思路引导】（1） ①证明四边形是矩形，得到，根据折叠的性质，矩形的性质，得到,，证明即可； ②根据折叠的性质，求解即可． （2）根据矩形的性质，判定不可能是直角，只有，分直角在矩形内部和外部两种情况计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． ②过点G作于点G， ∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． 根据折叠的性质， ∴，， ∴，，    ∴． （2）根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故或． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【思路引导】分别过点、作的垂线，垂足为、，由平行四边形的性质可得，则是等腰直角三角形，计算得．容易证明四边形是矩形，则，结合垂线段最短可得的最小值为．由折叠的性质可得，则的最小值为，因此的最大值为． 【规范解答】解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，解得， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为， ∴的最大值为． 【精练1】（25-26八年级下·浙江·期中）已知，如图，在直角梯形中， ，，，，，E是中点，．已知动点P从点A出发，沿着方向以的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着方向以的速度向终点D匀速运动．当一个点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）当时，，，根据，E是中点，得出，再根据勾股定理即可求解； （2）过点D作于点H，结合，得四边形是矩形，则，结合，求出，则，即可得；过点Q作于点G，于点F．则四边形是矩形，，证明是等腰直角三角形，，根据，得出．分，分别解答即可； （3）勾股定理求出，，，根据，得，即，求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，，， ∵，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点H， ∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 过点Q作于点G，于点F． ∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴． 若： ， ； 若： ， ； 综上所述，； （3）解：， ， ， ∵， ∴，即， 整理得：， ， 解得：， 由于：故． 【精练2】如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以的速度沿线段向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为． （1）的长_____． （2）若点P在折线上运动时，当t为___________时的面积为． 【答案】 、、 【思路引导】（1）过作于点，证明四边形是矩形， 得出，， 在中，，由勾股定理得： ， 结合即可求解； （2）点在折线上运动时，的范围为（到达的总时间为），分两种情况讨论：①在上时（，到的时间为），，，② 在上（）时，，， 根据的面积为列出方程求解即可； 【规范解答】解：（1）过作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴； （2）点在折线上运动时，的范围为（到达的总时间为）， 分两种情况讨论： ①在上时（，到的时间为）， ，， ∴， ∴，整理得， 解得或，均符合范围； ② 在上（）时， ，， 的高为，， ∴ ，化简得， 解得（舍去，不在此区间）或，符合范围； 综上，的值为、、． 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 即， ，， 为线段的中点， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 四边形的面积． 【考点剖析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【精练1】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）连接，设点到的距离为，利用勾股定理求出，由等面积法求出得，由建立等式再化简即可得到； （2）连接，设点到的距离为，由（1）得，同样利用等面积法，即，即可求解； （3）连接、，由，建立等式，进行化简整理即可求解． 【规范解答】（1）解：连接，如图1， 设点到的距离为． 在中，， 由，得． 四边形是矩形， ， 由，得， ， 化简得， （2）解：，理由见解析， 连接，如下图： 设点到的距离为， 由（1）得， ， ， ， 故答案为：． （3）解：，理由如下： 连接、，如图． 由， ， 化简得，即． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是能够根据两种方法表示图形面积，利用等面积法求解． 【精练2】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据格点的特点及矩形的性质即可作图； （3）连接对角线交于O点，再连接OM,交BC与N点，即可求解． 【规范解答】（1） = 故答案为：； （2）四边形 ABCD 是长与宽之比为2∶1的矩形，AB=，BC=2=，点B向右平移6个格，再向上平移2个格为点C，连结BC，点C向上平移3个格，再向左1个格得点D，连结AD，CD， 如图，四边形为所求； （3）连结AC，BD交于O，连结MO，并延长交网格于N， 如图，直线为所求． 【考点剖析】此题主要考查几何作图，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【考点剖析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【精练1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【思路引导】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【精练2】已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)t为或 (3)t为时，四边形为菱形 【思路引导】（1）由矩形的性质得出，，证明，得出，同理得出，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出，当对角线时，平行四边形是矩形，分两种情况：①，得出，解方程即可；②，得出，解方程即可； （3）连接、，由菱形的性质得出，，，得出，，证出四边形是菱形，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可得出t的值． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 连接，如图， 由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，平行四边形是矩形， 分两种情况： ①当E、F相交前，，， 解得：； ②当E、F相交后，，， 解得：； 综上所述：当t为或时，四边形为矩形． （3）解：连接、，连接交于O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴t为时，四边形为菱形． 【精练1】如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或2 【思路引导】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【规范解答】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； ∴ （3）解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 综上可知，的值为：或或2． 【精练2】24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E． (1)若，求边的长． (2)在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长． (3)设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)不变，2 【思路引导】（1）根据菱形的判定定理得到为菱形，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理求的长； （2）由（1）得 ，，推出 是等边三角形，求得，根据三角形的面积得到边上的高为1，分两种情况讨论：①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即；②当点F在右侧，如图，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，求得，即，设，则，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，过点D作延长线的垂线，垂足为点H，在中，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：在中，， ∴为菱形， ∴， ∴在中，； （2）解：在菱形中，由（1）得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴边上的高为1， 分以下两种情况： ①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即， ②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点， ∴， ∴， 设，则， 在中有， ∴， 解得：， 综上所述，或； （3）解：不变，理由如下： 如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 由，得， ∴即． 【考点剖析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据作图过程可得 ，从而判定四边形 为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【规范解答】解：由作图可知，，． ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 40．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形中，E为边上任意一点，连接，F为线段的中点，过点F作，与分别相交于点M,N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10.2 【思路引导】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，再证明其为平行四边形，再根据对角线垂直得到为菱形； （2）设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）证明：在矩形中，， ∴． ∵F为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理， 得， ∴， 解得，即 ∴． 【精练2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)    【思路引导】（1）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数； （2）由三角形的内角和定理可得，由邻补角互补可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可得出结论； （3）①由已知条件可得为等边三角形，由轴对称的性质可得为等边三角形，于是可得，，由（2）得，，则，进而可得，利用可证得，于是可得，，则，即，于是可得为等边三角形，则，进而可得四边形的周长，于是得解；②连接，由（2）得，因而设，可得，，于是可得为等边三角形，则，进而可得，于是可得四边形是菱形，则，由全等三角形的性质可得，进而可得，即，由轴对称的性质可得，于是可得，解方程即可求出的值，进而可得的面积． 【规范解答】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 即：； （3）解：①，， 为等边三角形， 与关于直线对称， 为等边三角形， ，， 由（2）得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， 四边形的周长 ； ②如图，连接， 由（2）得：， 设， ，， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 与关于直线对称， ， ， 解得：， 的面积为． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、），等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 题型八 正方形折叠问题 【精讲】（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【规范解答】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】B 【思路引导】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 证明得出可判断A正确；设，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理求出可判断B错误；根据三角形面积公式求出和的面积可判断C，D正确． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴ ， ∴， ∴， ∴的周长，故选项A正确， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴，， ∴的周长，故选项B错误， 的面积，故选项C正确 的面积，故选项D正确． 故选：B． 【精练2】如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【规范解答】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 【精讲】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【规范解答】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 【精练1】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【精练2】在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．    (1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． (3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)菱形；； (2)正方形；成立，理由见解析； (3)E在B右侧时，的度数为，E在B左侧时，的度数为，当E在上时，的度数为或． 【思路引导】（1）根据轴对称的性质，得到，，，又因为，即可证明四边形是菱形，得到再证明，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理，即可得到与之间的数量关系； （2）根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形是正方形，过点P作，先根据平行线的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，然后根据轴对称的性质得到，推出，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出，即可得到与之间的数量关系； （3）分情况讨论即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设、相交于点F， 根据轴对称的性质可知，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：菱形；； （2）解：同理可证，四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 故答案为：正方形； 过点P作交于点M，交于点N， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意可知四边形是菱形， ∴， ∴， 当E在C右侧时，如图：   ，， ， ， ， ∵， ， ， ． 当E在B左侧时，如图∶   ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 当E在上时，第一种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ； 当E在上时，第二种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2) ； 【思路引导】（）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （）根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长； 通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点与关于对称， ∴， ∴； （2）解： ，，三点共线，且点与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴四边形的周长为； 设与交于点，过点作的平行线，交，分别于点，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰的边的中点， ∴为中点，为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 在Rt中，， 解得， ∴，， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形判定与性质、勾股定理，轴对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 【精练1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【规范解答】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 【精练2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【思路引导】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； 作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； 设，根据已知条件求出，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质求出，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论； 把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为； （2）证明：作于，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； 解：设， ， ， 由得四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为； （3）解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由得：四边形是正方形，，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的有关计算、正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键． 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【思路引导】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【精练1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【思路引导】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 【精练2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 【答案】80 【思路引导】取边的中点M，连接,证明，得，，，进而可证明，，可得，根据勾股定理得 ，进而可得，即可求出四边形的面积． 【规范解答】解：取边的中点M，连接． ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴在中，根据勾股定理得， ， ， ∵四边形是正方形， ， ． 【考点剖析】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形三角形的判定等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 题型十二 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 【精练1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）在四边形中，对角线上有一点E，连接，F是射线上一点，连接，且，以为边作平行四边形． (1)如图1，若四边形是菱形． ①求证：四边形是菱形； ②若，连接，则与是否相等？请说明理由． (2)如图2，若四边形是正方形． ①与的关系是（   ） A． B． C． D． ②已知，，连接，则的长为_______． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)①B；② 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由菱形的性质可得，则可证明，得到，再由，即可证明； ②设交于O，由菱形的性质可得，则，根据等边对等角和全等三角形的性质可证明，则可证明，则是等边三角形，据此可得，则； （2）①同理可证明，，由勾股定理可得，则； ②过点E作于M，过点H作交直线于N，求出，则，，证明是等腰直角三角形，得到；证明平行四边形是正方形，得到，证明，得到，，则，由勾股定理可得． 【规范解答】（1）解：①∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②，理由如下： 如图所示，设交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， 故选：B； ②如图所示，过点E作于M，过点H作交直线于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 由（2）①可知，， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·河北保定·期中）正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，是对角线上一点． (1)求证：． (2)如图2，过点作，，垂足分别为，，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，是的中点，连接，，求的最小值． (4)如图4，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接，若恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) (4)10 【思路引导】（1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； （2）连接，根据矩形的性质，证明，再利用（1）的结论，进而得证； （3）连接，与交于点，连接，．由可知，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长，据此求解即可． （4）过点作于点，于点，先证明四边形是矩形，再证明得，从而四边形为正方形，由勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，． 在与中， ， ． （2）解：． 证明：如图，连接． ，，四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． 由（1）可知， ． （3）解：如图，连接，与交于点，连接，． ，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长． 四边形是正方形，是的中点，， ，，， ， 的最小值是． （4）如图，过点作于点，于点， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 四边形为正方形． 连接， ∵恰好为的中点， ∴， ∴， ． 【考点剖析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【思路引导】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 【精练1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【思路引导】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【精练2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查了几何中的动点问题，涉及平行四边形的性质、轴对称，勾股定理等知识点，根据题意画出几何图是解题关键． （1）根据即可求解； （2）分两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． （3）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解； 【规范解答】（1）解：∵点E为中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K． ∵，， ∴， 当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F． ∵，可得， ∴ ∵，， ∴ ， ∴， 综上：的值为或 （3）解：∵，，， ∴， 当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示： 若点落在上， ∵点E、点F关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时， 故当时，满足题意； 当点与点重合时， ， 解得：， 综上所述：或． 题型十四 四边形中的线段最值问题 【精讲】如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________． 【答案】 【思路引导】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解； 【规范解答】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形， ∵B（0，4），A（﹣1，0）， ∴OB＝4，OA＝1， ∴OE＝3，AB＝， 作点A关于直线x＝1的对称点A'， ∴A'（3，0），AD＝A'D， ∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长， 在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝， ∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键． 【精练1】如图,矩形中,,,连接,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是______． 【答案】 【思路引导】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得,当 时,取最小值,再求出 的面积,根据,即可得出答案． 【规范解答】 如图,由题意可知:当点E与点D重合时,点P位于CD边的中点P1处,即 , 当点E与点B重合时,点P位于CB边的中点P2处,, ∴ 且, ∵为中点,∴且, ∴点P的运动轨迹是线段P1P2, ∴当 时,取最小值, ∵四边形ABCD是矩形, ∴CD=AB=8,BC=AD=6, ∴,, 在 中,, ∵ , 即 , 解得: ． 故答案:． 【考点剖析】本题考查了线段的最值问题以及利用切割法求一般图形的面积,解题的关键是找准线段取最值时的位置,熟练掌握切割法求面积． 【精练2】如图，点为四边形的四个顶点，当四边形的周长最小时，________． 【答案】 【思路引导】作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，可判断出AP+BN=A″N+BN≥A″B，即此时四边形ABNP的周长最小，求出A″B的表达式，得到与x轴的交点，即为点N，从而可得a值． 【规范解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3）， 将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N， 则此时AP=A′P=A″N，则AP+BN=A″N+BN≥A″B， 在四边形ABNP中，PN和AB均为定值， ∴此时四边形ABNP的周长最小， 设A″B的表达式为y=kx+b， 则，解得：， ∴直线A″B的表达式为， 令y=0，则，即此时N（，0）， ， 解得：a=， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题． 题型十五 四边形其他综合问题 【精讲】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 【答案】(1)①8；②； (2)，，证明见解析． 【思路引导】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． （1）①根据四边形的面积是正方形面积的一半得出结论即可； ②设和的交点为，根据四边形为菱形，得出和的长，然后根据勾股定理求出的长度即可； （2）设和的交点为，根据证，然后得出，即可． 【规范解答】（1）①四边形是正方形， 与垂直平分， ， 四边形的面积是正方形面积的一半， 四边形的面积为， 故答案为：8； ②设和的交点为， 四边形为菱形，，， ，， 在中， 由勾股定理得； （2），，证明如下： 设和的交点为， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故，． 【精练1】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时 (2)当或时 (3)当的值为或或时，是等腰三角形 【思路引导】（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，因为、点的速度已知，、的长度已知，要求时间，用时间路程速度，即可求出时间； （2）要使以，，，为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间； （3）使是等腰三角形，可分三种情况，即、、；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当从运动到时， ∵， ， ∴， 解得：； 当从运动到时， ∵， ， ∴， 解得：， ∴当或时，四边形是平行四边形； （2）解：若点、分别沿、运动时， ， 即， 解得：； 若点返回时，， 则， 解得， 故当或时，以，，，为顶点的梯形面积等于； （3）解：当时， 如图，作于，则， ∵， 由得， 解得：； 当时，， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实根， 当点从向运动时，观察图形可知，只有， 由题意：， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形． 【考点剖析】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点分类讨论是解题的关键． 【精练2】．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变，证明见解析 (3)的度数为或 【思路引导】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【规范解答】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点作于点，作于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， 又， ， ， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【考点剖析】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 【基础夯实 能力提升】 1．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【思路引导】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【规范解答】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 2．如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；绳索二十尺，良工巧算记之；送行二步水平齐，问君升高几许？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，秋千的绳索总长为20尺．将它往前水平推送两步（两步尺）时，秋千的绳索始终保持拉直的状态，问此时踏板相比静止时升高了多少尺？”（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点B作于点E， 则四边形为矩形，则尺，利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【规范解答】解：过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴尺， 在中，尺， ∴尺， 即此时踏板相比静止时升高了尺． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对角线长为的正方形的周长是_____． 【答案】 【思路引导】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果． 【规范解答】解：设正方形的边长为， 正方形的对角线长为， ， 整理得，解得（负值已舍去）， 正方形周长为． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：正方形的总面积为 七巧板各块面积占原正方形的比例固定，各块面积分别为： 个大等腰直角三角形，每个面积为； 个中等等腰直角三角形，面积为； 个小等腰直角三角形，每个面积为； 个正方形面积为； 个平行四边形面积为， 总和为，符合总面积 观察图，阴影部分共块：个小三角形个中等三角形个大三角形， 因此阴影面积和为： 6．（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【思路引导】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【规范解答】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，利用证明，即可得出结论． 【规范解答】证明：∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【规范解答】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 9．（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作，交延长线于点． (1)求证：． (2)如图，连接，过点作交于点，连接． ①若，求的长． ②求的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)①；② 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及平面直角坐标系下的两点间距离计算，熟练运用正方形的性质和相关几何公式是解答本题的关键． （1）利用正方形的性质，得到边和角的关系，结合平行线的性质，通过证明三角形全等，从而得到线段相等； （2）①利用正方形对角线的性质和等腰直角三角形的边角关系，通过线段的和差计算的长度； ②通过建立平面直角坐标系，求出各点坐标，利用一次函数解析式求交点坐标，再根据两点间距离公式计算线段长度，进而得到比值． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①设正方形的边长为， 四边形是正方形，是正方形对角线， ，， ， 是等腰直角三角形， ，由（1）得， ， 在中，， ， ； ②设正方形的边长为，，由（1）得， 如图，建立平面直角坐标系，令，，，， 则，， 直线为， ，的斜率为， 的斜率为， 直线为， 联立得， 解得交点， 计算的长度：， 计算的长度： ， ． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（    ）    A． B． C． D．48 【答案】C 【思路引导】根据图1得出，，然后问题可求解． 【规范解答】解：∵正方形的边长为4， ∴， 由图1可知：最小正方形的边长、平行四边形较小边长、最小等腰直角三角形的腰长都为，最大等腰直角三角形的腰长为，较大等腰直角三角形的腰长为2， ∴由图2可知：，， ∴马形图边框长方形的面积为． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【规范解答】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由菱形的性质可得，，，．由等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求出．根据，得出等式，变形后即可得到答案． 【规范解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【思路引导】根据题意可得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【规范解答】解：连接，如图： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，且过的中点， ∵M是的中点， ∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， 即的最小值为． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，，，保持长方形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是长方形面积的，则的长度为________． 【答案】 【思路引导】由面积关系可求，由勾股定理可求解． 【规范解答】解：∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，M，N分别是边，上的一点，连接，将沿折叠得到，点落在线段上，连接，作点关于的对称点，点恰好落在边上，若，则的长为___________． 【答案】 【思路引导】连接，过点作，由题意易得，则有，，然后可得四边形是平行四边形，由折叠的性质可知：，，进而可得，，则有，设，则有，由勾股定理可得，最后问题可求解． 【规范解答】解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（负根舍去）， ∴． 7．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上． (1)在图中画出以为边的平行四边形（非菱形）； (2)在图中画出以为边的菱形（非正方形）； (3)在图中画出以为边的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形； （2）根据菱形的判定以及题目要求作出图形； （3）根据正方形的判定以及题目要求作出图形． 【规范解答】（1）解：如图，平行四边形即为所求； ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形不是菱形； （2）解：如图，菱形即为所求； ， 四边形是菱形， ，， ， 不是直角三角形，不垂直于， 四边形不是正方形； （3）解：如图，正方形即为所求； ， 四边形是菱形， ，， ， 是直角三角形，， 四边形是正方形． 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）在一次数学活动课上，李老师在四边形的边上分别取点E，F． (1)如图1，四边形是正方形，，同学们将拼图中的绕点顺时针旋转至，请写出三者之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的基础上，班级中有同学思考，如果我们弱化正方形的条件，如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有题（1）的结论； (3)李老师提出：自己所居住小区的公园在同一水平面上，如图3，有四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)这条道路的长约为米 【思路引导】（1）根据旋转的性质可以得到，再证明，即可． （2）延长至M，使，连接，证，证，即可得出答案； （3）利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则米．把绕点A逆时针旋转至，只要再证明即可得出． 【规范解答】（1）解：∵绕点A顺时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图（2），延长至M，使，连接， ∵，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即． （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转至，连接． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴米． 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点G在的延长线上． 由旋转得， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴（米）， 即这条道路的长约为米． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：． (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【思路引导】（1）①如图：过点D作交的延长线于点F，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证明结论；②如图：在上截取，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图，过点D作交于点N，则四边形是平行四边形，作，交延长线于M，利用证明，设，则，再运用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）证明：①如图：过点D作交的延长线于点F， ∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． ②如图：在上截取，则是等腰直角三角形，， ∴ 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ，即． （2）解：如图，过点D作交于点N，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 如图：作，交延长线于M， 在和中， ， ∴， ，， ∵，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ，解得：， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $