2026年中考数学二轮复习：三角形

**基本信息** 以题载法构建三角形知识网络，融合性质应用与思想方法，强化逻辑推理与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择8/填空3|勾股定理逆用、中位线转化、面积法|从等腰/直角三角形性质到全等相似判定| |综合应用|解答5题|辅助线构造、动态问题分类、函数建模|从静态证明到动态探究，渗透数形结合|

2026年中考数学二轮复习：三角形 一．选择题（共8小题） 1．（2026•安徽二模）将两个大小不同的含有45°角的三角板ABC和BDC按如图所示的方式放置．已知，则四边形ABDC的面积为（　　） A．24 B． C．48 D． 2．（2026•安徽二模）如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．BD平分∠ABC，AB＝2BC，下列结论不成立的是（　　） A．BO＝DO B．AO＝CO C．AD＝2CO D．AD＝AO 3．（2026•建邺区二模）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝7，BC＝11，则EF的长为（　　） A． B． C．4 D．2 4．（2026•周口模拟）如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 5．（2026•玄武区二模）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个三角形的斜边长是（　　） A． B．7 C．5 D．12 6．（2025•桥西区二模）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 7．（2025•濮阳二模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 8．（2025•广阳区二模）小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断∠B是不是直角，这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 二．填空题（共3小题） 9．（2026•建邺区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长是 　 　 ． 10．（2025•江西模拟）数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形ABCD．若图（1）中大正方形的周长为，则AD的长为　 　 ． 11．（2025•南关区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列五个结论：①EF＝2DE；②4BF2+4DE2＝BC2；③AE+BF＝BC；④若△CDE的面积为S，则四边形ABFE的面积为5S；⑤．上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 三．解答题（共5小题） 12．（2026•雁塔区校级二模）如图，点D为△ABC边AB上一点，E为边AC延长线上一点，连接DE．若AB＝AE，∠B＝∠E，求证：BD＝EC． 13．（2026•重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D． （1）如图1，延长DA至点S，使得AS＝AD，连接BS、CS．若∠BSD＝∠ACS，且，求BD的长度； （2）如图2，过点C作∠ACB的角平分线交AB于点E，过E作EF⊥BC交BC于点F，点H是BC上一点，点G是AC上一点，满足∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH，请你猜想FH、GH和AG之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点E作EM⊥CE交BC于点M，点P在线段BE上，点Q在线段EC上，且满足BP＝EQ．连接MP、MQ．若AB＝6，AC＝8，当MP+MQ取得最小值时，请直接写出的值． 14．（2026•玄武区二模）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 15．（2026•鼓楼区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 16．（2025•渝中区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线CA方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记△APC的面积为y1，△ABC与△BQC的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 2026年中考数学二轮复习：三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•安徽二模）将两个大小不同的含有45°角的三角板ABC和BDC按如图所示的方式放置．已知，则四边形ABDC的面积为（　　） A．24 B． C．48 D． 【考点】勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】三角形． 【答案】A 【分析】通过两个三角板是含有45°角的三角板可得到，BD＝CD，∠ABC＝90°，∠BDC＝90°，然后通过勾股定理求出BD＝CD＝4，四边形ABDC的面积等于△ABC和△BCD的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【解答】解：∵含有45°角的三角板ABC和BDC，， ∴，BD＝CD，∠ABC＝90°，∠BDC＝90°， 设BD＝CD＝a， 由勾股定理可得：，即a2＝16， 解得：a＝4或a＝﹣4（舍去）， ∴BD＝CD＝4， 四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD ＝16+8 ＝24， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2026•安徽二模）如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．BD平分∠ABC，AB＝2BC，下列结论不成立的是（　　） A．BO＝DO B．AO＝CO C．AD＝2CO D．AD＝AO 【考点】角平分线的性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为点E，F，可得BE＝DF，即可证明△BOE≌△DOF（AAS）可判断A，过点O作OG∥AD，交AB于点G，证明△BOG≌△BOC（SAS），可得OG＝OC，∠BOG＝∠BOC＝∠AOD，即可证明B、C、D． 【解答】解：如图，△ABC与△ADC的面积相等，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为点E，F， ∵，， ∴， ∴BE＝DF， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BO＝DO． 故结论A成立，不符合题意； 如图，过点O作OG∥AD，交AB于点G， ∴∠ADO＝∠BOG，． ∵BO＝DO， ∴， ∴AD＝2OG． ∵AB＝2BC， ∴BG＝BC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBO＝∠GBO， 在△BOG与△BOC中， ， ∴△BOG≌△BOC（SAS）， ∴OG＝OC，∠BOG＝∠BOC＝∠AOD， ∴∠ADO＝∠AOD，AD＝2OC． 故结论C成立，不符合题意； ∴AD＝AO， 故结论D成立，不符合题意； ∴AO＝2OC． 故结论B不成立，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2026•建邺区二模）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝7，BC＝11，则EF的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【考点】三角形中位线定理． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可． 【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝7， ∴DFAB＝3.5， ∵DE为△ABC的中位线，BC＝11， ∴DEBC＝5.5， ∴EF＝DE﹣DF＝2， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．（2026•周口模拟）如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】将CD向下平移一格，再向左平移格，得到GF，连接GB，利用勾股定理及其逆定理，证明∠BFG＝90°，即可由平行线的性质求得∠BEC＝∠BFG＝90°，从而求得∠BED． 【解答】解：如图，平移CD至FG处，则F，G均在正方形格点上，连接GB， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： BF2＝5，GF2＝5，BG2＝10， ∴BF2+GF2＝BG2， ∴∠BFG＝90°， 由条件可知CD∥GF， ∴∠BEC＝∠BFG＝90°， ∴∠BED＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是解题的关键． 5．（2026•玄武区二模）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个三角形的斜边长是（　　） A． B．7 C．5 D．12 【考点】勾股定理；根与系数的关系． 【答案】C 【分析】解出方程的两个根，然后运用勾股定理可得出三角形的斜边长． 【解答】解：x2﹣7x+12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 故可得斜边长5． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理及根与系数的关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的内容． 6．（2025•桥西区二模）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC，则∠BFD的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【考点】三角形内角和定理；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】由题意可知∠E＝∠B＝90°，∠DFE＝45°，∠BAC＝60°，根据垂直定义求出∠EAG＝30°，由三角形的内角和求出∠BFG＝∠EAG＝30°，再根据角的和差求解即可． 【解答】解：如图， 由题意得：∠E＝∠B＝90°，∠DFE＝45°，∠BAC＝60°， ∵AD⊥AC， ∴∠EAC＝∠EAG+∠BAC＝90°， ∴∠EAG＝30°， ∵∠E+∠EAG+∠AGE＝180°，∠B+∠BFG+∠BGF＝180°，∠AGE＝∠BGF， ∴∠BFG＝∠EAG＝30°， ∴∠BFD＝∠BFG+∠DFE＝75°． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、垂直定义，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 7．（2025•濮阳二模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【考点】三角形中位线定理；勾股定理的逆定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵E，F分别是CA、BC的中点， ∴EF是△ACB的中位线， ∴AB＝2EF＝10， 在△ECF中，CE2+CF2＝43+32＝25，EF2＝52＝25， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴∠ACB＝90°， ∵D是AB的中点， ∴CDAB＝5， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8.（2025•广阳区二模）小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断∠B是不是直角，这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【考点】勾股定理的应用． 【专题】三角形． 【答案】B 【分析】如果AB2+BC2＝AC2，则可判断△ABC是直角三角形，由此可推断∠B是否为直角． 【解答】解：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足AB2+BC2＝AC2，则可判断△ABC是直角三角形，即∠B为直角；若AB2+BC2≠AC2，则∠B不是直角． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，掌握以上性质是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 9．（2026•建邺区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长是 　　 ． 【考点】勾股定理；平行线的性质；锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】过点D作DG∥AC，交BF于点G，根据勾股定理和三角函数的有关知识，求出AE＝12，DE＝4，根据平行线分线段成比例定理，得出，设DG＝x，则CF＝2x，，证明△DEG∽△AEF，得出，从而求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【解答】解：过点D作DG∥AC，交BF于点G，如图所示： ∵D为BC的中点，BC＝16， ∴BD＝CD＝8， ∵，∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴DE＝AD﹣AE＝4， ∵GD∥AC， ∴， 设DG＝x，则CF＝2x，， ∵GD∥AC， ∴∠DGE＝∠AFE，∠EDG＝∠EAF， ∴△DEG∽△AEF， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，利用三角函数解直角三角形，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，求出CF的长． 10．（2025•江西模拟）数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形ABCD．若图（1）中大正方形的周长为，则AD的长为　10　 ． 【考点】勾股定理的证明． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】10． 【分析】设AB＝a，AE＝b，根据图（1）中间小正方形的与图（2）中小正方形的边长相等，得到b＝2a，由图（1）中大正方形的周长为 ，则可求出BE长，利用勾股定理即可求出a，b长度，则题目可解． 【解答】解：如图（2）， 设AB＝a，AE＝b， 则图（2）中小正方形的边长为a，图（1）中间小正方形的边长为b﹣a， ∴b﹣a＝a，即b＝2a． ∵图（1）中大正方形的周长为， ∴大正方形的边长 ． 由勾股定理可得 AE2+AB2＝BE2 即， ∴a＝2， ∴AE＝DF＝b＝2a＝4，EF＝a＝2， ∴AD＝4+2+4＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查“赵爽弦图”，等积图形变换，勾股定理，图形的拼接，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025•南关区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列五个结论：①EF＝2DE；②4BF2+4DE2＝BC2；③AE+BF＝BC；④若△CDE的面积为S，则四边形ABFE的面积为5S；⑤．上述结论中，正确结论的序号有　①②⑤　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】①②⑤． 【分析】根据角平分线的意义，可得∠ABC＝∠CBF，再根据平行线的性质，可得∠ACB＝∠CBF，从而可得∠ACB＝∠ABC，利用ASA证明△CDE≌△BDF，从而可判断①；利用勾股定理即可判断②；利用全等三角形的性质得AC＝AE+BF，可判断③；先利用全等三角形的性质，可得出S△CDE＝S△BDF，再利用等底同高的两个三角形面积相等，可得出S△ADB＝S△ACD，利用AE＝2BF，可证得S△ADB＝S△ACD＝3S△CDE＝3S△BDF，从而可得出S四边形ABFE＝S△ADE+S△ABD+S△BDF，再根据△CDE的面积为S，可求出S四边形ABFE，从而可判断④；先证明△ADE∽△DBF，列出比例式，求出，即可求得tan∠DBF，从而可判断⑤． 【解答】解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AC＝AB， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴DE＝DF，CE＝BF，∠CED＝∠BFD， ∴EF＝2DE， 故结论①正确，符合题意； ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝∠BFD＝90°， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， ∴4CE2+4DE2＝4BF2+4DE2＝BC2， 故结论②正确，符合题意； ∵CE＝BF， ∴AC＝AE+CE＝AE+BF， ∵AC与BC不一定相等， ∴AE+BF不一定等于BC， 故结论③错误，不符合题意； ∵△CDE≌△BDF， ∴S△CDE＝S△BDF， ∵BD＝CD， ∴S△ADB＝S△ACD， ∵AE＝2BF， ∴S△ADB＝S△ACD＝3S△CDE＝3S△BDF， ∴S四边形ABFE＝S△ADE+S△ABD+S△BDF， ∵△CDE的面积为S， ∴S四边形ABFE＝2S+3S+S＝6S， 故结论④错误，不符合题意； ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE+∠BDF＝90°， 又∵BF∥AC， ∴∠F＝∠DEC＝90°， ∴∠BDF+∠DBF＝90°， ∴△ADE∽△DBF， ∴， 又∵DE＝DF，AE＝2BF， ∴， ∴， ∴， 故结论⑤正确，符合题意， 综上所述，正确结论的序号为①②⑤， 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 三．解答题（共5小题） 12．（2026•雁塔区校级二模）如图，点D为△ABC边AB上一点，E为边AC延长线上一点，连接DE．若AB＝AE，∠B＝∠E，求证：BD＝EC． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】在△BAC和△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD（ASA）， ∴AD＝AC， ∴AB﹣AD＝AE﹣AC， 即BD＝EC． 【分析】根据ASA证明△BAC≌△EAD，得到对应边相等，根据对应边的和差关系得到BD＝EC． 【解答】证明：在△BAC和△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD（ASA）， ∴AD＝AC， ∴AB﹣AD＝AE﹣AC， 即BD＝EC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 13.（2026•重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D． （1）如图1，延长DA至点S，使得AS＝AD，连接BS、CS．若∠BSD＝∠ACS，且，求BD的长度； （2）如图2，过点C作∠ACB的角平分线交AB于点E，过E作EF⊥BC交BC于点F，点H是BC上一点，点G是AC上一点，满足∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH，请你猜想FH、GH和AG之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点E作EM⊥CE交BC于点M，点P在线段BE上，点Q在线段EC上，且满足BP＝EQ．连接MP、MQ．若AB＝6，AC＝8，当MP+MQ取得最小值时，请直接写出的值． 【考点】三角形综合题． 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】（1）； （2）FH+AG＝GH，延长CA使得AI＝FH，连接EI， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠FCE， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°＝∠EAC， ∵CE＝CE， ∴△ACE≌△FCE（AAS）， ∴∠CEA＝∠CEF，EA＝EF， ∵FH＝AI， ∴△EFH≌△EAI（SAS）， ∴∠FEH＝∠AEI，EH＝EI， ∵∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH， ∴∠GEH＝∠GEA+∠FEH＝∠GEA+∠AEI＝∠GEI， ∵EH＝EI，EG＝EG， ∴△EGH≌△EGI（SAS）， ∴GH＝GI， ∵GI＝AI+AG＝FH+AG， ∴FH+AG＝GH； （3）． 【分析】（1）过点S作BC的平行线，交BA的延长线于点E，BE与SC交于点F，容易证明△ABD∽△CAD和△SBD∽△CFA，通过比的性质进行转化可得AC•BD＝AB•AD＝2AF•AD，因此．容易证明△ABD≌△AES（AAS），则BD＝ES，，．利用平行可判定△BCF∽△ESF，从而得到CD＝2BD，进一步得到AD2＝2BD2．在直角△ABD中，利用勾股定理构造方程并解出BD的值即可； （2）延长CA至点I，使得AI＝FH，连接EI，利用角平分线的性质可证明△ACE≌△FCE（AAS），则∠CEA＝∠CEF，EA＝EF．进而证明△EFH≌△EAI（SAS），则∠FEH＝∠AEI，EH＝EI．利用角度转化可得∠GEH＝∠GEI，从而证明△EGH≌△EGI（SAS），由全等的性质得出结论； （3）作EF⊥BC于点F，以EC为边作∠CEJ交AC于点J，使得∠CEJ＝∠CBA，在EJ上截取线段EK＝BM，连接MK、QK，过点M作EJ的垂线，交JE的延长线于点N，容易证明△BPM≌△EQK（SAS），则MP＝KQ，因此当M、Q、K三点共线时，KQ+MQ最小，即MP+MQ取得最小值．运用三角形的面积公式和相似三角形的性质以及勾股定理依次计算出，，，，，进而计算出△MEK和△BEC的面积．结合全等三角形的性质可得，△MEK的面积即为△BPM与△MQE的面积之和，相除得到结果． 【解答】解：（1）过点S作CE∥BC，延长BA与SC交于点F， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠ABD，∠CAF＝180°﹣∠BAC＝90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴， ∴AC•BD＝AB•AD， ∵AS＝AD， ∴SD＝2AD， ∵∠CAF＝90°＝∠SDB，∠BSD＝∠ACS， ∴△SBD∽△CFA， ∴， ∴AC•BD＝2AF•AD＝AB•AD， ∴， ∴， ∵SE∥BC， ∴∠ABD＝∠AES，∠ADB＝∠ASE， ∵AD＝AS， ∴△ABD≌△AES（AAS）， ∴，BD＝ES， ∴， ∵SE∥BC， ∴△BCF∽△ESF， ∴， ∴BC＝3ES＝3BD， ∴CD＝BC﹣BD＝2BD， ∵△ABD∽△CAD， ∴， ∴AD2＝BD•CD＝2BD2， 由勾股定理可得，， 解得（负值舍去）， ∴； （2）FH+AG＝GH，证明如下： 延长CA使得AI＝FH，连接EI， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠FCE， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°＝∠EAC， ∵CE＝CE， ∴△ACE≌△FCE（AAS）， ∴∠CEA＝∠CEF，EA＝EF， ∵FH＝AI， ∴△EFH≌△EAI（SAS）， ∴∠FEH＝∠AEI，EH＝EI， ∵∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH， ∴∠GEH＝∠GEA+∠FEH＝∠GEA+∠AEI＝∠GEI， ∵EH＝EI，EG＝EG， ∴△EGH≌△EGI（SAS）， ∴GH＝GI， ∵GI＝AI+AG＝FH+AG， ∴FH+AG＝GH； （3）作EF⊥BC于点F，以EC为边作∠CEJ交AC于点J，使得∠CEJ＝∠CBA，在EJ上截取线段EK＝BM，连接MK、QK，过点M作EJ的垂线，交JE的延长线于点N， 在△BPM和△EQK中， ， ∴△BPM≌△EQK（SAS）， ∴MP＝KQ， ∴MP+MQ＝KQ+MQ， ∵KQ+MQ≥MK， ∴当M、Q、K三点共线时，KQ+MQ最小，即MP+MQ取得最小值， ∵CE平分∠ACB， 又∵∠CAE＝90°，EF⊥BC， ∴EF＝AE，∠ACE＝∠FCE， 在直角△ABC中，， ∵S△ABC＝S△ACE+S△BCE， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∵EM⊥CE， ∴∠CEM＝90°＝∠CAE， ∵∠ACE＝∠FCE， ∴△CEM∽△CAE， ∴， ∴，， ∴， ∵MN⊥JN， ∴∠MNE＝90°＝∠BAC， ∴∠MEN+∠EMN＝90°， ∵∠CEJ+∠MEN＝180°﹣∠CEM＝90°， ∴∠EMN＝∠CEJ＝∠CBA， ∴△NME∽△ABC， ∴，即， ∴， 在△BPM和△EQK中， ， ∴△BPM≌△EQK（SAS）， ∴S△BPM＝S△EQK， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题是三角形的综合题，考查全等三角形和相似三角形的判定与性质，熟练运用“倍长中线”模型和“半角”模型来构造全等三角形是解题关键． 14．（2026•玄武区二模）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 【考点】勾股定理的证明． 【专题】计算题；证明题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC即可求出答案； （2）h1﹣h2＝h； （3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD， ∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC， S△ABMAB×MEAB×h1， S△AMCAC×MFAC×h2， 又∵S△ABCAC×BDAC×h，AB＝AC， ∴AC×hAB×h1AC×h2， ∴h1+h2＝h． （2）解：如图所示： h1﹣h2＝h． （3）解：在yx+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4， 所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）． AB5，AC＝5，所以AB＝AC， 即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：My＝OB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：MyOB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 综上所述：点M的坐标为M（，）或（，）． 【点评】（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果． 15．（2026•鼓楼区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 【考点】三角形综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）（﹣6，0）； （2）； （3）（0，﹣3）． 【分析】（1）先求出OA＝6，根据三角形面积公式求出OB＝6，最后根据点B在x轴的负半轴上即可求出点B的坐标； （2）分点P在AO上、点P在AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点O作OM⊥AQ于M，根据三角形面积公式求出BH＝OM，证明△BHQ≌△OMQ，△AOQ≌△BOD，得到OD＝OQ＝3，即可求出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵A（0，6），△AOB的面积等于18，点B在x轴的负半轴上， ∴OA＝6， ∵， 解得：OB＝6． ∴点B的坐标为（﹣6，0）； （2）当点P在AO上时，； 当点P在AO的延长线上时，， 综上所述，； （3）如图2，BH⊥AQ，过点O作OM⊥AQ于M， ∴， ∵S△BHC＝S△OHC， ∴BH＝OM， 在△BHQ和△OMQ中， ， ∴△BHQ≌△OMQ（AAS）， ∴， ∵∠BHQ＝∠AOQ＝90°，∠BQH＝∠AQO， ∴∠QBH＝∠QAO， 在△AOQ和△BOD中， ， ∴△AOQ≌△BOD（ASA）， ∴OD＝OQ＝3， ∴点D的坐标为（0，﹣3）． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 16.（2025•渝中区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线CA方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记△APC的面积为y1，△ABC与△BQC的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【考点】三角形综合题． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）y1；y2（0＜t＜7）； （2）当0＜t＜3时，y随t的增大而增大；当3＜t＜7时，y随t的增大而减小； （3）0＜t＜1.5或6.5＜t＜7； 【分析】（1）由勾股定理可求AC的长，即可求y2的解析式；分点P在AB上和点P在BC上两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）根据解析式画出图象即可； （3）根据图象可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作作BH⊥AC于H， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∴y2（0＜t＜7）； 当0＜t≤3时，y14t＝2t， 当3＜t＜7时，y1（7﹣t）×3， ∴综上所述：y1； （2）如图所示： 当0＜t≤3时，y随t的增大而增大；当3＜t＜7时，y随t的增大而减小； （3）根据图象可得：当0＜t＜1.5或6.5＜t＜7时，y1＜y2． 【点评】本题是三角形综合题，考查了一次函数的图象和性质，函数作图，分类求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $