易错07 三角形背景的几何综合（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 三角形背景的几何综合 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 全等三角形的判定及性质 易错点 2 相似三角形的判定及性质 易错点 3 解直角三角形求线段长 易错点 4 锐角三角函数的实际应用 易错点 5 三角形的重心应用 易错点 6 三角形的翻折问题 易错点 7 三角形的旋转问题 易错点 8 限定工具作图 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 全等三角形的判定及性质 错因剖析 概念混淆：分不清全等5种判定定理，误把两边及其中一边对角 (SSA)、 三个角相等 (AAA)当作可以判定全等。 认知偏差：书写全等时不按对应顶点顺序，导致后续边角对应全部看错；凭图形直观看似全等就直接下结论。 基础薄弱：不会从图形中挖掘公共边、公共角、对顶角、平行线内错角等隐含条件。 【例1】（2025·上海浦东新·三模）下列命题中假命题是（   ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题需要根据三角形全等的判定定理，对每个选项逐一分析，判断命题的真假．本题主要考查了三角形全等的判定定理（等）以及对不同条件下三角形全等的推理判断，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：和中，，，、分别是、边上的高，且．一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，两个三角形不全等．故A项错误，符合题意． 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故B项不符合题意． 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故C项不符合题意． 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，不是假命题．故D项不符合题意． 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】证明全等常见陷阱 陷阱1：用 SSA、AAA 证全等； 陷阱2：SAS 乱用，用成两边和非夹角； 陷阱3：忽略公共边、公共角、对顶角这些隐藏条件； 陷阱4：全等书写顶点乱序，找错对应边、对应角； 陷阱5：直角三角形不用 HL，强行用一般判定绕弯路。 【知识链接】 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其对应边相等，对应角相等。判定定理有 “SSS（边边边 ）”、“SAS（边角边 ）”、“ASA（角边角 ）”、“AAS（角角边 ）”、“HL（直角、斜边、直角边，适用于直角三角形 ）” 。 变式迁移 【变式1-1】如图，在中，，平分，，点是的中点，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】延长与相交于点，然后证明，所以，，再通过中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长与相交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 【变式1-2】如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 【变式1-3】（2026·上海普陀·二模）如图，在四边形中，，点E在边上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，然后根据证明，进而可求出的长； （2）由可知，从而求出，利用勾股定理求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错点2 相似三角形的判定及性质 错因剖析 概念混淆：分不清全等是相似的特殊情况；误把两边成比例但夹角不相等当作相似；混淆相似比、周长比、面积比关系。 认知偏差：看图凭直观觉得形状一样就判定相似，不严格验证条件；书写相似不按对应顶点顺序。 基础薄弱：不会从图形中识别 “A 型、X 型” 相似模型；记错面积比是相似比平方，直接用相似比代替。 【例2】（2025·上海黄浦·一模）某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，证明，即可判断A选项正确；证明四边形都是平行四边形，则，，即可判断B选项正确；无法证明，即可判断C选项错误；证明，则，证明，即可判断D选项正确． 【详解】∵D、E、F分别是的边、、的中点， ∴， A. ∵ ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴四边形都是平行四边形， ∴，， ∴，故选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故无法证明证得； D. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 避错秘籍 【防错指南】 1、熟记相似三角形的判定方法，注意“两边成比例但不是夹角相等的两个三角形不一定相似”； 2、相似三角形面积比等于相似比的平方； 3、规范书写，注意相似三角形的对应关系； 4、忽略 “A 型、X 型” 平行线自带相似条件。 【知识链接】 1. 相似三角形判定 平行判定：平行于三角形一边的直线，截得的三角形与原三角形相似。 两角分别相等：两角对应相等，两三角形相似（最常用）。 两边成比例且夹角相等：两边对应成比例，夹角必须相等。 三边对应成比例：三边比值全部相等。 2. 相似性质 设相似比为 k： 对应角相等，对应边成比例； 周长比 = 相似比 k； 对应高、中线、角平分线比 = 相似比 k； 面积比 = 相似比的平方k2。 3. 书写规范 相似符号书写，对应顶点必须按顺序，避免边角对应出错。 变式迁移 【变式2-1】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2-2】（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点． （1）根据为等腰直角三角形，为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到，根据等角的余角相等得到，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论． （2）通过证明，，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论． 【详解】（1）证明；∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2）证明：由（1）知，，，是等腰三角形， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴代入上式得． 【变式2-3】（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，求出，进而推出，证明，即可得证； （2）证明，得到，等角的余角相等结合对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错点3 解直角三角形求线段长 错因剖析 概念混淆：混淆正弦、余弦、正切定义，对边、邻边、斜边认错。 认知偏差：题目无现成直角，不会作高构造 Rt△。 基础薄弱：公共直角边、母子直角三角形不会设未知数列方程。 【例3】（2025·上海杨浦·一模）如图，已知中，，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，30度角的直角三角形，根据，，又因为，得，，故，，整理得，解得，，即可作答． 【详解】解：过点作的延长线，如图所示： ∵，且的延长线， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴， ∵， 即， 整理得， 解得， ∴， ∴． 避错秘籍 【防错指南】解题四步法 找直角：有直角直接用，无直角作高构造直角三角形； 定边角：锁定已知角、已知边，分清对边、邻边、斜边； 选函数：有斜边选正、余弦，无斜边选正切； 列式求解：能直接算就直接算，不能算就设列方程。 【知识链接】 1、特殊角三角函数值 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2、解直角三角形的常用关系 三边关系 （勾股定理） 两锐角间关系 边角关系 面积关系 解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。 变式迁移 【变式3-1】（2026·上海青浦·二模）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到为等腰直角三角形，再解即可； （2）过点作于点，分别解，求出，再由正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，． 【变式3-2】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）线段的和差求出的长，正切值求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）同角的余角相等，得到，根据正弦的定义求出即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得； （2）解：由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错点4 锐角三角函数的实际应用 错因剖析 概念混淆：专业名词理解错误，边角对应混乱。 认知偏差：建模能力弱，不会把实际文字场景转化为几何图形，缺少 “化斜为直” 的解题思维。 基础薄弱：不会根据已知边、所求边，合理选择 ，乱套公式。 【例4】（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】(1)7.6米 (2)正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输，说明见解析 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 避错秘籍 【防错指南】通用解题建模步骤 ① 画图：根据题意画出示意图，标出已知长度、角度； ② 作辅助线：遇斜面、斜角，作铅垂线、水平线，构造直角三角形； ③ 定边角：锁定目标直角三角形，分清对边、邻边、斜边； ④ 选三角比： 求高 / 竖边优先 ；求斜边优先 ； ⑤ 计算作答：注意是否加底座、眼高，按要求保留结果。 【知识链接】解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 变式迁移 【变式4-1】（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 【变式4-2】（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)符合场景2的要求，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）先延长，交于点D，可知，再根据可得答案； （2）先作，作，交于点E，再设，则，然后根据勾股定理分别表示出，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知再表示出，，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，交于点D，可知， ∴， 在中，． 故答案为：； （2）解：如图所示，过点O作，交的延长线于点C，过点B作，于点D，交于点E， 设，则， ∵， ∴，， 可知， ∴， 根据勾股定理，得， 解得，，则 ∴， ∴； （3）解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知， 在中，， 则． 在中，， ∴， 则， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． 【变式4-3】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，矩形的性质，坡度，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）解：如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 答：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为． 易错点 5 三角形的重心应用 错因剖析 概念混淆：分不清四心定义，把重心和内心、外心混为一谈，误以为重心平分内角、垂直对边。 认知偏差：只记住重心在中线交点，记错比例，乱记成 1:1 平分。 基础薄弱：不会利用重心线段比、面积比做计算；坐标系中不会求重心坐标。 【例5】（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查折叠，重心的性质，平面直角坐标系的建立，解题关键在于熟练掌握其相关知识点；通过建立坐标系，设等边的边长为，建立平面直角坐标系，计算重心G、中点O、点E和F的坐标，进而求出和的长度，即可求解. 【详解】解：如图；设等边的边长为，建立平面直角坐标系： 则，， ∵中点，重心(，根据重心性质，重心将分为)   ∴中点（与的中点，   ∵折叠后为的垂直平分线， ∴为水平线（垂直于轴且过） 设直线解析式：过，两点， ∴，解得 ∴直线解析式，联立得 ， 设直线解析式：过，两点， ∴，解得， ∴直线解析式，联立得  ， ∴， ∵， ∴， 故选：C. 避错秘籍 【防错指南】 重心：三条中线交点 内心：三条角平分线交点 外心：三条垂直平分线交点 垂心：三条高交点 【知识链接】 1. 定义 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 2. 性质 重心把每条中线分成两段，长度比为 上端：下端 = 2:1； 重心与三顶点连线，把原三角形分成面积相等的三块； 坐标系中：重心坐标，三个顶点坐标平均数。 变式迁移 【变式5-1】（2026·上海金山·二模）在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 【答案】或 【分析】本题考查翻折和三角形重心性质，三角形高的计算；要分类讨论，在线段上或在延长线上，且由对称性知到直线的距离就是到直线的距离，已知重心在上，且的重心在射线上，故第一种可能的情况就是与射线重合，此时在线段上，通过勾股定理和三角形面积求出到直线的距离；第二种可能的情况是与射线垂直，此时在，在延长线上，再次通过勾股定理求解即可． 【详解】解：有两种情况： ①：与射线重合，如图所示： 此时和重合，两三角形重心也重合且在线段上，过作于， 由对称性知到直线的距离就是到直线的距离， 由勾股定理知， 是的中点， ， ， ，即到直线的距离为； ②与射线垂直，如图所示，过作于， 此时的重心在射线延长线上， 易证得四边形为矩形， ， 中，由勾股定理得， 由对称性知到直线的距离就是到直线的距离， 综上所述，到直线的距离为或． 【变式5-2】（2026·上海普陀·二模）如图，已知G是的重心，点E在边上，，D是中点，连接．如果，，那么点G到直线的距离是________． 【答案】 【分析】连接，过点作，可得，即可证明，利用，解直角三角形即可求得的值 【详解】解：如图，连接，过点作， G是的重心，D是中点， 三点共线，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点G到直线的距离是． 易错点 6 三角形的翻折问题 错因剖析 概念混淆：应用翻折性质时，对应边和对应角的关系用错。例如，在计算线段长度或角度时，没有利用 “翻折前后对应边相等、对应角相等” 的性质；或者在处理对应点连线与对称轴关系时出错。 认知偏差：在利用翻折性质结合方程求解问题（如求边长 ）时，设未知数不合理，或者根据性质列方程时出现错误，导致无法正确求解。 基础薄弱：在图形中不能准确找出对称轴，导致对翻折后图形的位置和形状判断失误。比如对于不规则图形的翻折，找错对称轴位置。 【例6】（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 避错秘籍 【防错指南】 （1）认真分析图形特征，准确确定对称轴。 （2）熟练运用翻折性质，在解题中准确对应边和角的关系。 （3）使用方程思想时，合理设未知数，根据性质正确列方程并求解。 【知识链接】 翻折是将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。翻折的性质有：翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点的连线被对称轴垂直平分。 变式迁移 【变式6-1】如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为_______．    【答案】或 【分析】分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图1所示：作于，    则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ②当时，如图2所示：      由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③当时，连接，如图3所示：    由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 【变式6-2】（2026·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 易错点 7 三角形的旋转问题 错因剖析 概念混淆：不能准确找出旋转中心、旋转方向和旋转角，导致对旋转后的图形位置和形状判断错误。例如，找错旋转中心，或者将顺时针和逆时针方向混淆。 认知偏差：应用旋转性质时，对应点距离、夹角关系用错。比如在计算线段长度或角度大小时，没有利用 “对应点到旋转中心的距离相等” 或 “对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角” 这些性质。 基础薄弱：在与三角形、四边形等几何图形结合的旋转问题中，不能将旋转性质与其他图形性质有效结合，导致解题思路混乱，无法正确求解。 【例7】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 避错秘籍 【防错指南】 （1）仔细观察图形，准确确定旋转的三要素。 （2）牢记旋转性质，在计算和推理时正确运用对应关系。 （3）遇到综合问题时，分别梳理旋转性质和其他图形性质，寻找解题突破口。 【知识链接】 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。 变式迁移 【变式7-1】（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为______． 【答案】/ 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式7-2】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，．点分别在边、上，连接．将绕边的中点旋转得到三角形，点分别和点对应．若和一直角边平行，且的一个顶点在边上，则的长为_________． 【答案】或 【分析】本题考查图形的旋转，利用图形旋转的性质，结合直线平行的性质，三角函数等即可求解．先求出的长度．①当在上时，设和交于N，和交于P．设，表示出其他边长，根据几何关系表示出，利用得到，代入即可求出k，即的长；②当，F在上时，E和G重合，D和H重合，四边形是矩形，根据得即可求解． 【详解】在中，， ∴， ∴． ①当在上时，设和交于N，和交于P，如图： ∵， ∴， ∵绕边的中点旋转了， ∴， 由旋转的性质，若设， 则，，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ∴， ∴，， ， ，即，解得， ∴； ②当，F在上时，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 若设 则， 由，得，即， 解得； 故答案为：或． 易错点 8 限定工具作图 错因剖析 概念混淆：混淆尺规作图的“基本作图方法”，如分不清“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”的步骤。 认知偏差：思维片面，对尺规作图与三角形计算的关联认识不足，审题不细致，未挖掘作图过程中蕴含的几何条件，导致作图与计算脱节。 基础薄弱：结合尺规作图结果进行三角形计算时，角度、边长计算粗心，或不会利用全等、等腰三角形性质简化计算，导致结果错误。 【例8】（2025·上海金山·二模）如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，即可； （2）设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则，解直角三角形求出，再求出，勾股定理求出，证明，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：如图，点 为所作； （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 避错秘籍 【防错指南】挖掘隐含条件，规避认知偏差 作图与计算的关联：尺规作图的结果（如角平分线、垂直平分线、全等三角形），本身就是三角形计算的重要条件，需主动挖掘： ① 作角平分线 ⇒ 角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）； ② 作垂直平分线 ⇒ 垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）； ③ 作全等三角形 ⇒ 全等三角形对应边、对应角相等。 必留作图痕迹：所有尺规作图都需保留“弧的痕迹”（画弧的圆心、弧的走向），痕迹是后续计算和证明的依据，不可省略。 【知识链接】 1. 五种基本的尺规作图 （1） 作一条线段等于已知线段 已知：线段 求作：线段，使 作法： ①作一条直线 ②在上任取一点A，以点A为圆心，以线段的长度为半径画弧，交直线于点B。 线段AB 即为所求作的线段。 图示： （2） 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB. 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P,Q； ②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D; ③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F; ④作射线EF.∠DEF即为所求作的角 图示： （3） 作已知角的平分线 已知： 求作：的平分线OP. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； ③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. 图示： （4） 作线段的垂直平分线 已知：线段。 求作：线段的垂直平分线。 作法： ①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ②过点M,N作直线.直线MN 即为线段AB的垂直平分线. 图示： （5） 经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线和上一点。 求作：直线的垂线，使它经过点。 作法： ⅰ)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线于A,B两点; ⅱ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ⅲ)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 图示： ②经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线和外一点M. 求作:直线的垂线,使它经过点M.作法: ⅰ)在直线的另一侧取点P; ⅱ)以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线于A,B 两点; ⅲ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点N; ⅳ)作直线MN. 直线MN 即为所求作的垂线. 图示： 变式迁移 【变式8-1】（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 【变式8-2】（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 1. （2026·上海奉贤·二模）已知点在内．如果点到边的距离相等，且，那么点的位置是（  ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【详解】解：如图，分别作射线，，交于点M， 分别过点A，C作于点M，于点N， 当时， 由两个三角形同底等高，可知， ∵， ∴， 则有， 为边的中线， 由于点到边 的距离相等， ∴点H在平分线上， ∴点H为的角平分线与边上中线的交点 2. （2025·上海普陀·一模）如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意； 故选：． 3. （2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大． 【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为． ∵小明住8楼，高度为， ∴，． ∵小丽住9楼，高度为， ∴，． ∵， ∴，即， 且，即． ∴且， 故选：B． 4. （2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 5. （2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 7. （2026·上海杨浦·二模）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 【答案】 【分析】先判断是等腰直角三角形，则，，容易证明，则，利用三角形外角的性质可证明，从而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. （2026·上海闵行·一模）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 9. （2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关性质的应用是解题的关键． 作的平分线，交于点，进而证得，得到，进而可得，再根据相似比求即可． 【详解】解：作的平分线，交于点， ， 又， ， ， ，且， ， ， 即，解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 10. （2026·上海奉贤·二模）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】1.9 【分析】过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用矩形的性质求出的长，再在中利用锐角三角函数求出的长，即可得到的长. 【详解】解： 过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， . 11. （2026·上海松江·二模）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 【答案】或 【分析】先由勾股定理求出的长度，根据是以为腰的等腰三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理得：， 当时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，则，过点于点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（舍负）， ∴ 综上所述，的长为或． 12. （2026·上海黄浦·二模）如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：连接，证明可得，，再证明，最后利用相似三角形的性质列比例式即可解答； （2）由（1）知，利用平行线分线段成比例以及线段的和差可得，利用等边对等角可得，易证可得，进而得到；如图：过点A作于点H．利用等腰三角形三线合一的性质、勾股定理进而得、，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∴． ∵， ， 在和中， ， ∴． ∴， ∴，即， 如图：过点A作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． 13. （2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． 14. （2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 15. （2026·上海徐汇·二模）在四边形中，，点在边上，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长交延长线于点，由，可得，再证明，即可证明结论； （2）延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，同理（1）可得，，设，，则，，，，求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）过点作于点，连接，，设与交于点，由条件先可得，，再由截、两边所得的两条弦相等，可得，再证明是等边三角形，可得，再由中，的公共弦，可得垂直平分，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 同理（1）可得，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）可得，， ∴， ∴， 设，，则，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中 ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点，连接，，设与交于点， ∵四边形为矩形且， ∴，，，则，， 在中，， 在中，， ∵截、两边所得的两条弦相等， ∴点到和的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵中和的公共弦， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形背景的几何综合 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 全等三角形的判定及性质 易错点 2 相似三角形的判定及性质 易错点 3 解直角三角形求线段长 易错点 4 锐角三角函数的实际应用 易错点 5 三角形的重心应用 易错点 6 三角形的翻折问题 易错点 7 三角形的旋转问题 易错点 8 限定工具作图 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 全等三角形的判定及性质 错因剖析 概念混淆：分不清全等5种判定定理，误把两边及其中一边对角 (SSA)、 三个角相等 (AAA)当作可以判定全等。 认知偏差：书写全等时不按对应顶点顺序，导致后续边角对应全部看错；凭图形直观看似全等就直接下结论。 基础薄弱：不会从图形中挖掘公共边、公共角、对顶角、平行线内错角等隐含条件。 【例1】（2025·上海浦东新·三模）下列命题中假命题是（   ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 避错秘籍 【防错指南】证明全等常见陷阱 陷阱1：用 SSA、AAA 证全等； 陷阱2：SAS 乱用，用成两边和非夹角； 陷阱3：忽略公共边、公共角、对顶角这些隐藏条件； 陷阱4：全等书写顶点乱序，找错对应边、对应角； 陷阱5：直角三角形不用 HL，强行用一般判定绕弯路。 【知识链接】 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其对应边相等，对应角相等。判定定理有 “SSS（边边边 ）”、“SAS（边角边 ）”、“ASA（角边角 ）”、“AAS（角角边 ）”、“HL（直角、斜边、直角边，适用于直角三角形 ）” 。 变式迁移 【变式1-1】如图，在中，，平分，，点是的中点，若，，求的长． 【变式1-2】如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【变式1-3】（2026·上海普陀·二模）如图，在四边形中，，点E在边上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求的值． 易错点2 相似三角形的判定及性质 错因剖析 概念混淆：分不清全等是相似的特殊情况；误把两边成比例但夹角不相等当作相似；混淆相似比、周长比、面积比关系。 认知偏差：看图凭直观觉得形状一样就判定相似，不严格验证条件；书写相似不按对应顶点顺序。 基础薄弱：不会从图形中识别 “A 型、X 型” 相似模型；记错面积比是相似比平方，直接用相似比代替。 【例2】（2025·上海黄浦·一模）某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 避错秘籍 【防错指南】 1、熟记相似三角形的判定方法，注意“两边成比例但不是夹角相等的两个三角形不一定相似”； 2、相似三角形面积比等于相似比的平方； 3、规范书写，注意相似三角形的对应关系； 4、忽略 “A 型、X 型” 平行线自带相似条件。 【知识链接】 1. 相似三角形判定 平行判定：平行于三角形一边的直线，截得的三角形与原三角形相似。 两角分别相等：两角对应相等，两三角形相似（最常用）。 两边成比例且夹角相等：两边对应成比例，夹角必须相等。 三边对应成比例：三边比值全部相等。 2. 相似性质 设相似比为 k： 对应角相等，对应边成比例； 周长比 = 相似比 k； 对应高、中线、角平分线比 = 相似比 k； 面积比 = 相似比的平方k2。 3. 书写规范 相似符号书写，对应顶点必须按顺序，避免边角对应出错。 变式迁移 【变式2-1】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【变式2-2】（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2-3】（2026·上海松江·一模）如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 易错点3 解直角三角形求线段长 错因剖析 概念混淆：混淆正弦、余弦、正切定义，对边、邻边、斜边认错。 认知偏差：题目无现成直角，不会作高构造 Rt△。 基础薄弱：公共直角边、母子直角三角形不会设未知数列方程。 【例3】（2025·上海杨浦·一模）如图，已知中，，求边的长． 避错秘籍 【防错指南】解题四步法 找直角：有直角直接用，无直角作高构造直角三角形； 定边角：锁定已知角、已知边，分清对边、邻边、斜边； 选函数：有斜边选正、余弦，无斜边选正切； 列式求解：能直接算就直接算，不能算就设列方程。 【知识链接】 1、特殊角三角函数值 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2、解直角三角形的常用关系 三边关系 （勾股定理） 两锐角间关系 边角关系 面积关系 解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。 变式迁移 【变式3-1】（2026·上海青浦·二模）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 【变式3-2】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的值． 易错点4 锐角三角函数的实际应用 错因剖析 概念混淆：专业名词理解错误，边角对应混乱。 认知偏差：建模能力弱，不会把实际文字场景转化为几何图形，缺少 “化斜为直” 的解题思维。 基础薄弱：不会根据已知边、所求边，合理选择 ，乱套公式。 【例4】（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 避错秘籍 【防错指南】通用解题建模步骤 ① 画图：根据题意画出示意图，标出已知长度、角度； ② 作辅助线：遇斜面、斜角，作铅垂线、水平线，构造直角三角形； ③ 定边角：锁定目标直角三角形，分清对边、邻边、斜边； ④ 选三角比： 求高 / 竖边优先 ；求斜边优先 ； ⑤ 计算作答：注意是否加底座、眼高，按要求保留结果。 【知识链接】解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 变式迁移 【变式4-1】（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【变式4-2】（2026·上海黄浦·一模）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为（如图1-1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1-2，当遇到转角为直角的地面时（），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1-3，当遇到转角为60度的地面时（），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴的两边，再将乙种地板的长边紧贴的一边推至紧靠甲种地板（如图2-1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边上的端点即可标记为，此时即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2-2），也可在乙种地板上确定切割线． (1)在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即________； (2)在场景2中（图1-3），求乙种地板切割后产生的锐角的正切值； (3)小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止； 2．将乙种地板的长边紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边推至其短边的一个顶点落在上为止，标记此时该顶点的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边紧贴墙边推至其短边的一个顶点落在上为止，此时顶点与前一步标记的点的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【变式4-3】（2026·上海金山·一模） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 易错点 5 三角形的重心应用 错因剖析 概念混淆：分不清四心定义，把重心和内心、外心混为一谈，误以为重心平分内角、垂直对边。 认知偏差：只记住重心在中线交点，记错比例，乱记成 1:1 平分。 基础薄弱：不会利用重心线段比、面积比做计算；坐标系中不会求重心坐标。 【例5】（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 避错秘籍 【防错指南】 重心：三条中线交点 内心：三条角平分线交点 外心：三条垂直平分线交点 垂心：三条高交点 【知识链接】 1. 定义 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 2. 性质 重心把每条中线分成两段，长度比为 上端：下端 = 2:1； 重心与三顶点连线，把原三角形分成面积相等的三块； 坐标系中：重心坐标，三个顶点坐标平均数。 变式迁移 【变式5-1】（2026·上海金山·二模）在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 【变式5-2】（2026·上海普陀·二模）如图，已知G是的重心，点E在边上，，D是中点，连接．如果，，那么点G到直线的距离是________． 易错点 6 三角形的翻折问题 错因剖析 概念混淆：应用翻折性质时，对应边和对应角的关系用错。例如，在计算线段长度或角度时，没有利用 “翻折前后对应边相等、对应角相等” 的性质；或者在处理对应点连线与对称轴关系时出错。 认知偏差：在利用翻折性质结合方程求解问题（如求边长 ）时，设未知数不合理，或者根据性质列方程时出现错误，导致无法正确求解。 基础薄弱：在图形中不能准确找出对称轴，导致对翻折后图形的位置和形状判断失误。比如对于不规则图形的翻折，找错对称轴位置。 【例6】（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 （1）认真分析图形特征，准确确定对称轴。 （2）熟练运用翻折性质，在解题中准确对应边和角的关系。 （3）使用方程思想时，合理设未知数，根据性质正确列方程并求解。 【知识链接】 翻折是将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。翻折的性质有：翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点的连线被对称轴垂直平分。 变式迁移 【变式6-1】如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为_______．    【变式6-2】（2026·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 易错点 7 三角形的旋转问题 错因剖析 概念混淆：不能准确找出旋转中心、旋转方向和旋转角，导致对旋转后的图形位置和形状判断错误。例如，找错旋转中心，或者将顺时针和逆时针方向混淆。 认知偏差：应用旋转性质时，对应点距离、夹角关系用错。比如在计算线段长度或角度大小时，没有利用 “对应点到旋转中心的距离相等” 或 “对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角” 这些性质。 基础薄弱：在与三角形、四边形等几何图形结合的旋转问题中，不能将旋转性质与其他图形性质有效结合，导致解题思路混乱，无法正确求解。 【例7】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 避错秘籍 【防错指南】 （1）仔细观察图形，准确确定旋转的三要素。 （2）牢记旋转性质，在计算和推理时正确运用对应关系。 （3）遇到综合问题时，分别梳理旋转性质和其他图形性质，寻找解题突破口。 【知识链接】 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。 变式迁移 【变式7-1】（2025·上海闵行·二模）如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为______． 【变式7-2】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，．点分别在边、上，连接．将绕边的中点旋转得到三角形，点分别和点对应．若和一直角边平行，且的一个顶点在边上，则的长为_________． 易错点 8 限定工具作图 错因剖析 概念混淆：混淆尺规作图的“基本作图方法”，如分不清“作一条线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作线段的垂直平分线”的步骤。 认知偏差：思维片面，对尺规作图与三角形计算的关联认识不足，审题不细致，未挖掘作图过程中蕴含的几何条件，导致作图与计算脱节。 基础薄弱：结合尺规作图结果进行三角形计算时，角度、边长计算粗心，或不会利用全等、等腰三角形性质简化计算，导致结果错误。 【例8】（2025·上海金山·二模）如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 避错秘籍 【防错指南】挖掘隐含条件，规避认知偏差 作图与计算的关联：尺规作图的结果（如角平分线、垂直平分线、全等三角形），本身就是三角形计算的重要条件，需主动挖掘： ① 作角平分线 ⇒ 角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）； ② 作垂直平分线 ⇒ 垂直平分线性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）； ③ 作全等三角形 ⇒ 全等三角形对应边、对应角相等。 必留作图痕迹：所有尺规作图都需保留“弧的痕迹”（画弧的圆心、弧的走向），痕迹是后续计算和证明的依据，不可省略。 【知识链接】 1. 五种基本的尺规作图 （1） 作一条线段等于已知线段 已知：线段 求作：线段，使 作法： ①作一条直线 ②在上任取一点A，以点A为圆心，以线段的长度为半径画弧，交直线于点B。 线段AB 即为所求作的线段。 图示： （2） 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB. 作法： ①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P,Q； ②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D; ③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F; ④作射线EF.∠DEF即为所求作的角 图示： （3） 作已知角的平分线 已知： 求作：的平分线OP. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； ③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线. 图示： （4） 作线段的垂直平分线 已知：线段。 求作：线段的垂直平分线。 作法： ①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ②过点M,N作直线.直线MN 即为线段AB的垂直平分线. 图示： （5） 经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 已知：直线和上一点。 求作：直线的垂线，使它经过点。 作法： ⅰ)以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线于A,B两点; ⅱ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N; ⅲ)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 图示： ②经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线和外一点M. 求作:直线的垂线,使它经过点M.作法: ⅰ)在直线的另一侧取点P; ⅱ)以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线于A,B 两点; ⅲ)分别以点A,B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点N; ⅳ)作直线MN. 直线MN 即为所求作的垂线. 图示： 变式迁移 【变式8-1】（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【变式8-2】（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 1. （2026·上海奉贤·二模）已知点在内．如果点到边的距离相等，且，那么点的位置是（  ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 2. （2025·上海普陀·一模）如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3. （2026·上海黄浦·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4. （2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 5. （2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6. 阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 7. （2026·上海杨浦·二模）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 8. （2026·上海闵行·一模）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 9. （2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是________． 10. （2026·上海奉贤·二模）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 11. （2026·上海松江·二模）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 12. （2026·上海黄浦·二模）如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 13. （2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 14. （2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 15. （2026·上海徐汇·二模）在四边形中，，点在边上，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $