第4章 第4节 等腰三角形与直角三角形-【中考对策】2026年中考总复习数学复习作业本（通用版）

第四节 等腰三有 A基础达标 1.(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC 上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F 到直线AC的距离为 () B.2 C.3 n 2.（2024·赤峰)若等腰三角形的两边长分别是 方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形 的周长为 () A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 3.(2024·巴中)“今有方池一丈 葭生其中央，出水一尺，引葭赴 A 岸，适与岸齐.问：水深几何？”这 是我国数学史上的“葭生池中”问 B 题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则 BC= A.8 B.10 C.12 D.13 4.（2024·眉山)如图，图1是北京国际数学家 大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽 的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成 若图1中大正方形的面积为24，小正方形的 面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2， 则图2中大正方形的面积为 图1 图2 A.24 B.36 C.40 D.44 5.（2025·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥ AC,则图中与∠A互余的角共有 () A.2个B.3个 C.4个 D.5个 D 第5题图 第7题图 42 角形与直角三角形 6.（泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的 数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的 1 计算公式：a=2(m2-心2)，6=mn,c=2(m2+ n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四 组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接 得出的是 A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 7.(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A=90°， AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别 在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AEDF的 面积为 A.18 B.92 C.9 D.62 8.由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时 候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使 用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢 时，∠AOB=60°，如图2，则此时A,B两点间 的距离是 cm. 图1 图2 9.(2024·甘孜州)如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B 重合，折痕DE与AB交于点D,与AC交于点 E,则CE的长为 60 A 0 M 第9题图 第10题图 10.如图，已知∠A0B=60°，点P在边OA上， OP=10,点M,N在边OB上，PM=PN,若 MN=3,则OM的长是 11.(2025·广西)如图，点A,D在BC同侧，AB= BC=CA=2,BD=CD=√2，则AD= D 第11题图 第12题图 12.（2025·成都)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=1,BC=2.以点A为圆心， 以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以 BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点 D,连接BD,则BD的长为 13.(2025·福建)如图，△ABC是等边三角形， D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是 由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点 A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小 (2)求证：△CEG是等边三角形 B能力提升 14.(2025·广安)如图，在等腰Rt△ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC=4,D是BC边上的一个 动点，连接AD,则AD的最小值为 B 第14题图 第15题图 15.(2025·陕西模拟)如图，在Rt△ABC中， ∠A=90°，点D是AC的中点，连接BD,点E 是BD的中点，连接CE,若AB=3CD,CE=4, 则AB的长为 16.（(2025·江西)图1是一种靠墙玻璃淋浴房， 其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是 墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处 是门框，测得AB=BC=CD=60cm,∠ABC= ∠BCD=135°，MN处是一扇推拉门，推动推 拉门时，两端点M,N分别在BC,CD对应的 轨道上滑动.当点N与点C重合时，推拉门 与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处 时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM=6°. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为 度，最大值 为 度 ②△CMN面积的变化情况是 A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当∠CMW=30°时，求△CMW的面积 B MC 图1 图2 43第二节三角形的基本概念及性质 1.B2.A3.C4.B5.B6.100°7.808.100° 9.证明：如图，延长AE交BC于 点H. .·CD平分∠ACB,AE⊥CD ,LACE=∠HCE, ∠AEC=∠HEC=90°. B :∠ACE=∠HCE,CE=CE,∠AEC=∠HEC=90° ∴.△ACE≌△HCE(ASA), E-E-A :EFBC,.∠AEF=∠AHC,∠AFE=∠ACH, △AEF一△AMC,A化A5)解得AC=2AP :.F是AC的中点. 又：G是BC的中点，.FG是△ABC的中位线， .FG-2AB. 10.解：(1)在△ABC中， ,∵∠B=30°，∠C=70° .∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80° AD平分∠BAC, ∠BD=LC4D=号∠BMC= 2×80°=40. 在△ABD中，∠ADC=∠BAD+∠B=40°+30°=70°， AE是BC边上的高，.∠AED=90°. 在△AED中，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-70°- 90°=20°. (2).FG⊥BC,∴.∠FGD=90°. ,·∠AED=90°，∴.∠FGD=∠AED,.∴.FG∥AE, .·.∠AFG=∠DAE 由(1)可知∠DAE=20°，∴.∠AFG=20. 11.A12.3m 13.(1)证明：P是BD的中点，M是AB的中点， 六PW=0.同理，PN=)BC 2 .AD=BC,.PM=PN,.∠PMN=∠PNM (2)证明：P是BD的中点，V是DC的中点， .PN∥BC,∴.∠PNM=∠F 同理，∠PMN=∠AEM. 由(1)可知LPMN=∠PNM,.∠AEM=∠F (3)解：△CGD是直角三角形. 证明：如图，取BD的中点P,连接PM,PN. M是AB的中点， ·PM/AD,PM=2AD 同理，PV/BC,PN=2BC, .AD=BC,.PM=PN,.∠PMN=∠PWNM. .PM∥AD,∴.∠PMN=∠ANM=60°， .·.∠PNM=∠PMN=60°. :PN∥BC,.∠CGN=∠PNM=60°. 又.·∠CNG=∠ANM=60°， .△CGW是等边三角形，.CW=GN. 又.CN=DN,∴.DN=GN,∴.∠NDG=∠NGD=30°， 5 .∴.∠CGD=∠CGW+∠NGD=60°+30°=90°， △CGD是直角三角形. 第三节全等三角形 1.C2.B3.B4.D5.C6.1.4m 7.证明：DEAB,.∠BDE=∠ABC. .·BD=AB,DE=BC,.△BDE≌△ABC(SAS), .BE=AC. 8.证明：，：∠CBE=∠CDF,∠ABC+∠CBE=I80°，∠ADC+ ∠CDF=180°，∴.∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中， I∠ABC=∠ADC, ∠ACB=∠ACD,.△ABC≌△ADC(AAS),∴.AB=AD. AC=AC, 9.证明：(1).∠BAF=∠EAD,∴.∠BAC=∠FAD AC=AD,∠ACB=∠ADB,∴.△ABC≌△AFD(AAS). (2),·△ABC≌△AFD,∴.AB=AF .BE=FE,∴.AE⊥BF,即AC⊥BD 10.D11.B 12.(1)证明：在△ACE和△BCE中， .:AC=BC,∠1=∠2，CE=CE,.△ACE≌△BCE(SAS). (2)解：AE=BE.理由如下： 如图，在CE上截取CF=DE,连接BF 在△ADE和△BCF中， AD=BC,∠3=∠4，DE=CF ·.△ADE≌△BCF(SAS), .AE=BF,∠AED=∠CFB. ·∠AED+∠BEF=180°， ∠CFB+∠EFB=180°， .∠BEF=∠EFB, ∴.BE=BF,∴.AE=BE 第四节等腰三角形与直角三角形 1.C2.C3.C4.D5.C6.C7.C8.189.3 03.511.B-1卫43 13.(1)解：△ABC是等边三角形，，∠ACB=60°. D是AB的中点， ∠DCB=∠DCA=2LACB=30, .·CE⊥BC,..∠BCE=90° ∴.∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°. (2)证明：由平移可知CDEF,∴.∠EAC=∠DCA=30°. 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， .∴，∠EAC=∠ECA,∠AEC=120°，∴.AE=CE 又.AB=CB,∴.BE垂直平分AC, ÷∠GEC=L∠AEC=60. 2 由(1)知，∠GCE=60°，∴.∠EGC=60°， .∠GEC=∠GCE=∠EGC=60°，.△CEG是等边三角形 14.2515.42 16.解：(1)①039②C [提示]①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合， 此时∠CMN有最小值O°； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM= 6°，此时∠CMN有最大值. ,:∠CNM=6°，∠BCD=135°， .∠CMW=180°-6°-135°=39°，即∠CMW的最大值 为39°. ②由题意，可得MN=60cm,BM=CN. 如图，过点N作NG⊥BC交BC延长线于点G. .'∠BCD=135°，∴.∠DCG=45 设BM=CN=xcm,则MC=BC-BM=(60-x)cm, Gw② CN-/2 2 2*cm, NG (60-x).22 1 2x、 4 x-30)2+ 2252. …② c0, .当x=30时，SAN取最大值2252； 当x<30时，S△cww随x的增大而增大； 当x>30时，SAcy随x的增大而减小，AK .:.△CMN面积的变化情况是先增大后 减小.故选C. B MC (2)如图，当∠CMN=30°时， c=号w=30om, .MG=√MWw2-NG=303cm. ,∠NCG=45°，∴.CG=NG=30cm, .MC=MG-CG=(303-30)cm, sas=号cM·NG=2(630g-30)×0=(4503- 450)(cm2). 第五节 尺规作图 1.B2.D3.B4.43 5.解：作图如图. 十B ①OP=OP②OE=OF③∠POE=∠POF 6.解：【初步尝试】如图1，射线OP即为所求。 【拓展探究】如图2，弧CD即为所求 M Cx 0士 P N 0 图1 图2 7.(1)解：如图所示，即为所求. M 5 (2)证明：如图所示. 0 .·EF垂直平分BD. .∴.BE=DE,∠BOE=∠BOF=90°，OB=OD, .∴.∠EBD=∠EDB. .AD∥BC,∴.∠EDB=∠CBD,∴.∠EBO=∠FBO 又.OB=OB,.△EBO≌△FBO(ASA), .OE=OF,.四边形BEDF是平行四边形 又：BE=DE,.四边形BEDF是菱形. 8.解：(1)如图1，点D即为所求.（答案不唯一） (2)如图2，点E即为所求.（答案不唯一） B 图1 图2 9.D10.①②⑤ 11.解：(1)如图1，直线m即为所求。 (2)如图2，直线n即为所求. 177 D 图1 图2 第六节图形的相似（含位似） 1.C2.D3.C4.D5.D6.B7.1:38.12 9(27010c1c2 64。 5 13.解：(I)∠BPD∠C∠BPD△BDP AC AP BP BD (2)成立.理由如下： .·∠C+∠CAP+∠APC=∠APC+∠CPD+∠BPD=180°， ∠CAP=∠DBP=∠CPD, .∠C=∠BPD,.△APC∽△BDP, 郡BD,即AC·BD=AP·BP ACAP 349 第七节锐角三角函数及其应用 LD2B3A425106121 8.180 9(1)6(2)2+6 2 10.解：设PH=x万千米 在Rt△PHB中，∠PHB=90°，∠ABP=8925'37.43”, PH ∴，BH= tan L ABP tan 8925'37.43"100