2026年中考数学二轮复习：二次函数

**基本信息** 以题载法构建二次函数性质-变换-应用的完整逻辑链，通过分层题型培养抽象能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质辨析|5选择|顶点式参数解读、对称性应用|从解析式到图象特征的双向转化| |图象变换|3填空|平移规律、交点分布判定|几何变换与代数表达的统一| |实际应用|3解答|坐标系建模、最值求法|实际问题抽象为二次函数模型| |综合探究|2解答|动态几何、存在性问题|函数与方程、几何知识的综合应用|

2026年中考数学二轮复习：二次函数 一．选择题（共5小题） 1．（2026•柳州二模）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 2．（2026•覃塘区二模）若二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于点（﹣2，0），则图象与x轴的另一个交点为（　　） A．（0，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 3．（2026•覃塘区二模）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣2）2﹣1 C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x+2）2﹣1 4．（2026•雁塔区校级二模）关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 5．（2026•安徽二模）抛物线y＝x2﹣3x+2与直线y＝x﹣1交于A、B两点，抛物线上只有三个点到直线y＝x﹣1的距离为m，则m的值是（　　） A． B．1 C． D． 二．填空题（共3小题） 6．（2026•南京二模）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝　 　 元时，超市的日盈利最大． 7．（2026•建邺区二模）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.2t2．飞机着陆后滑行　 　 米才能停下来． 8．（2026•玄武区二模）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2.当m＜0时，试比较x1，x2，2，3的大小，并用“＜”连接：　 　 ． 三．解答题（共5小题） 9．（2026•安徽二模）在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 10．（2026•雁塔区校级二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台MB与地面NC平行，其中OA⊥NC于点O，AB＝6m，OA＝8m，BC是一个斜坡，坡比为1：2．现以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为6m时，球运动到最高点，且距地面．（1）求该抛物线的函数表达式； （2）若球落在OC的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 11．（2026•雁塔区校级二模）某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形OEPQ为矩形），已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，如图所示，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求上半部分抛物线的函数表达式； （2）现需在此抛物线型城门上的点A、D处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度． 12．（2026•威海模拟）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC． （1）直接写出点B、C的坐标，B　 　 ；C　 　 ． （2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积，求点P的坐标． （3）设E为线段BC上任意一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值． （4）若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标 　 　 ． 13．（2026•南京二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+n（其中m、n为常数）． （1）若，判断二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象与x轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点A（m﹣3，y1），B（m+2，y2）都在二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象上，试比较y1，y2的大小； （3）若该函数图象经过点A（3，0）和B（0，﹣4），若点P在x轴上，过P作x轴的垂线l，l交直线AB于点H，以PH为斜边作等腰直角△PHQ．当点Q落在抛物线上时，求此时Q的横坐标． 2026年中考数学二轮复习：二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2026•柳州二模）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】C 【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3中，根据解析式逐项分析判断如下； A．因为﹣2＜0，所以抛物线开口向下，不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线x＝1，不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是（1，3），符合题意； D．x＞1时，y随x增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 2．（2026•覃塘区二模）若二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于点（﹣2，0），则图象与x轴的另一个交点为（　　） A．（0，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质得到抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据抛物线与x轴的两交点关于直线x＝1对称，于是可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）． 【解答】解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1， 而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点为（4，0）， 所以抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定抛物线与x轴的两交点是抛物线上的对称点． 3．（2026•覃塘区二模）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣2）2﹣1 C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x+2）2﹣1 【考点】二次函数图象与几何变换． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y＝3（x+2）2+1． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 4．（2026•雁塔区校级二模）关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】C 【分析】根据1＞0判断开口方向，根据根的判别式判断交点个数，令x＝1求出函数值，判断是否经过（1，0），再求出顶点坐标，判断所在象限． 【解答】解：在y＝x2﹣（m+1）x+m中， ∵1＞0， ∴开口向上，故①错误； ∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0， ∴当m＝1时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令x＝1，则y＝0， 故一定过点 （1，0），故③正确； y＝x2﹣（m+1）x+m， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有③④， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征． 5．（2026•安徽二模）抛物线y＝x2﹣3x+2与直线y＝x﹣1交于A、B两点，抛物线上只有三个点到直线y＝x﹣1的距离为m，则m的值是（　　） A． B．1 C． D． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】A 【分析】如图当直线l与l′和直线AB平行，直线l与抛物线只有一个交点，且直线l与直线l′和直线AB的距离相等，此时，直线l与直线l′和抛物线的交点满足条件．求出点E的坐标，证明△AHE是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图当直线l与l′和直线AB平行，直线l与抛物线只有一个交点，且直线l与直线l′和直线AB的距离相等，此时，直线l与直线l′和抛物线的交点满足条件． 设直线l与抛物线的交点为E，作EH⊥AB于H． 由 解得或，即A（1，0），B（3，2）， ∴， ∴∠BAE＝45°， 设直线l的解析式为y＝x+b， 由，消去y得到x2﹣4x+2﹣b＝0，由题意Δ＝0，16﹣4（2﹣b）＝0， 解得b＝﹣2． ∴方程组的解为， ∴E（2，0）， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用，二元二次方程组，二元一次方程的根的判别式等知识，熟练掌握原式知识点是关键． 二．填空题（共3小题） 6．（2026•南京二模）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝　10　 元时，超市的日盈利最大． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】10． 【分析】根据每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝利润w，化为一般式后，配方可得结论． 【解答】解：设每件商品降价x元时，利润为w元． 根据题意得：w＝（30﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴w有最大值， 当x＝10时，商场日盈利最大，最大值是4000元； 答：每件商品降价10元时，超市日盈利最大，最大值是4000元， 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利的等量关系是解决本题的关键． 7．（2026•建邺区二模）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.2t2．飞机着陆后滑行　750　 米才能停下来． 【考点】二次函数的应用． 【专题】其他问题；二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】750． 【分析】将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：∵s＝60t﹣1.2t2 ＝﹣1.2（t2﹣50t） ＝﹣1.2（t﹣25）2+750 ∴当t＝25时，s取得最大值，此时s＝750， ∴飞机着陆后滑行750米才能停下来． 故答案为：750． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 8．（2026•玄武区二模）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2.当m＜0时，试比较x1，x2，2，3的大小，并用“＜”连接：　2＜x1＜x2＜3　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】2＜x1＜x2＜3． 【分析】设y＝（x﹣2）（x﹣3），根据二次函数图象和直线y＝m的交点横坐标为x1，x2，由图象即可得到答案． 【解答】解：设y＝（x﹣2）（x﹣3）， 当（x﹣2）（x﹣3）＝0时，x＝2或x＝3， 即抛物线y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴交于点（2，0），（3，0）， 如图所示，抛物线y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝m交点的横坐标为x1，x2， 由图象可知，2＜x1＜x2＜3． 故答案为：2＜x1＜x2＜3． 【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和一元二次方程的关系是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 9．（2026•安徽二模）在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）甲队员能扣到球； （3）乙队员在离边界O点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣球成功且避免对方拦网． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据题意设y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求出函数关系式； （2）把x＝2.5代入（1）的函数关系式，求出y的值与最大扣球高度3.10米进行比较即可； （3）把y＝3.4和y＝3.2代入函数关系式解方程，然后根据二次函数的图象和性质得到答案． 【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC为x轴正方向，OA为y轴正方向建立直角坐标系． 令y＝a（x﹣h）2+k，把（5.5，3.8）代入，得y＝a（x﹣5.5）2+3.8， 由题意可得：1.8＝a（0.5﹣5.5）2+3.8， 解得， ∴； （2）当x＝2.5时，， ∵3.08＜3.10， ∴甲队员能扣到球； （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米， 当y＝3.4时，， 解得x1＝7.74，x2＝3.26． 当y＝3.2时，， 解得x1＝8.24，x2＝2.76． ∵，抛物线开口向下， ∴当3.2＜y≤3.4时，2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24． ∴乙队员在离边界O点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣球成功且避免对方拦网． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 10.（2026•雁塔区校级二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台MB与地面NC平行，其中OA⊥NC于点O，AB＝6m，OA＝8m，BC是一个斜坡，坡比为1：2．现以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为6m时，球运动到最高点，且距地面．（1）求该抛物线的函数表达式； （2）若球落在OC的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】（1）； （2）此次击球有失误，理由：当y＝0时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 如图，过B点作BE⊥OC于点E， 则四边形ABEO为矩形， ∴∠BEC＝90°， ∴BE＝OA＝8，OE＝AB＝6， ∵BC的坡比为1：2， ∴EC＝2BE＝16， ∴OC＝6+16＝22， ∵， ∴此次击球有失误． 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式设出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入即可得到a的值； （2）取抛物线解析式中的y＝0，求得合适的x的值，与OC的长度比较即可判断击球是否失误． 【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点A的坐标为（0，8）， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）此次击球有失误． 理由：当y＝0时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 如图，过B点作BE⊥OC于点E， 则四边形ABEO为矩形， ∴∠BEC＝90°， ∴BE＝OA＝8，OE＝AB＝6， ∵BC的坡比为1：2， ∴EC＝2BE＝16， ∴OC＝6+16＝22， ∵， ∴此次击球有失误． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． 11．（2026•雁塔区校级二模）某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形OEPQ为矩形），已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，如图所示，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求上半部分抛物线的函数表达式； （2）现需在此抛物线型城门上的点A、D处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度． 【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣对称． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】（1）； （2）米． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）根据A、D的对称关系与水平距离确定横坐标，将其代入表达式，依据二次函数计算得出纵坐标，即灯笼距地面高度． 【解答】解：（1）已知城门宽度OQ为6米，最高处离地面6米，PQ＝4米，现以点O为原点，OQ所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴抛物线的顶点为（3，6），P（6，4）， ∴设抛物线的函数表示式为y＝a（x﹣3）2+6，将点P的坐标代入得： 4＝9a+6， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）如图，过点A、D分别作AB⊥OQ于点B，DC⊥OQ于点C， 由题意知BC＝4，A、D关于抛物线的对称轴对称， ∴， 当x＝1时，， ∴灯笼距离地面的高度为米． 【点评】本题考查二次函数的应用，准确确定抛物线相关特征点坐标、熟练运用二次函数表达式及性质是解题关键． 12．（2026•威海模拟）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC． （1）直接写出点B、C的坐标，B　（5，0）　 ；C　（0，5）　 ． （2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积，求点P的坐标． （3）设E为线段BC上任意一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值． （4）若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标 　（0，）或（0，）　 ． 【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；推理能力． 【答案】（1）（5，0），（0，5）； （2）（2，﹣3）或（3，﹣4）或（6，5）； （3）点M的运动时间的最小值为7秒，此时E（3，2）； （4）（0，）或（0，）． 【分析】（1）根据抛物线计算即可； （2）利用同底等高的三角形面积相等构造与BC平行直线，找到与抛物线的交点P； （3）如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得∠BCG＝30°，作EN⊥CG于N．作AN′⊥CG于N′交BC于E′．由点M的运动时间t＝AE，ENEC，推出点M的运动时间t＝AE+EN，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与N′重合，点E与E′重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题； （4）构造以A、B为弦的圆，由圆周角性质，当圆与y轴相切时，∠AQB取得最大值． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝5， 当y＝0时，x2﹣6x+50， 解得：x1＝1，x2＝5， 故答案为：（5，0），（0，5）； （2）设x轴上点D，使得△DBC的面积15， ∴， 解得：BD＝6， ∵C（0，5），B（5，0）， 则可求直线BC解析式为：y， 故点D坐标为（﹣1，0）或（11，0）， 当D坐标为（﹣1，0）时，过点D平行于BC的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l的解析式为：y， 求直线l与抛物线交点得：x2﹣6x+5， 解得：x1＝2，x2＝3， 则P点坐标为（2，﹣3）或（3，﹣4）， 同理当点D坐标为（11，0）时，直线l的解析式为y， 求直线l与抛物线交点得：x2﹣6x+5， 解得：x1＝﹣1（舍弃），x2＝6， 则点P坐标为（6，5）， 综上满足条件P点坐标为：（2，﹣3）或（3，﹣4）或（6，5）； （3）如图1，在x轴上取一点G，连接CG，使得∠BCG＝30°，作EN⊥CG于N．作AN′⊥CG于N′交BC于E′． ∵tan∠BCO， ∴∠BCO＝30°， ∴∠GCO＝60°， ∴OGOC＝15， ∴直线CG的解析式为x+5， ∵点M的运动时间t＝AE，ENEC， ∴点M的运动时间t＝AE+EN， 根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与N′重合，点E与E′重合时，点M的运动时间最少． 由题意A（1，0）， ∴AG＝14， ∴AN′AG＝7， ∴点M的运动时间的最小值为7秒，此时E（3，2）； （4）以AB边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆F与y轴切于点Q时，∠AQB取得最大值． 如图2：连FA、FB、FQ，作FH⊥AB于点H 则可知AH＝2， ∴QF＝OH＝3， ∴FH， ∴点Q坐标为（0，）， 根据对称性可知，当点Q在x轴X下方时，点Q的坐标为（0，）， 故答案为：（0，）或（0，）； 【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质，作辅助线构造圆是解答本题的关键． 13．（2026•南京二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+n（其中m、n为常数）． （1）若，判断二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象与x轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点A（m﹣3，y1），B（m+2，y2）都在二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象上，试比较y1，y2的大小； （3）若该函数图象经过点A（3，0）和B（0，﹣4），若点P在x轴上，过P作x轴的垂线l，l交直线AB于点H，以PH为斜边作等腰直角△PHQ．当点Q落在抛物线上时，求此时Q的横坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）二次函数的图象与x轴有2个公共点； （2）y1＞y2； （3）或﹣4． 【分析】（1）利用判别式Δ判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）设P（t，0），则H（t，t﹣4），则PH的中点为（t，t﹣2），根据等腰直角三角形的性质可得Q（t﹣2，t﹣2）或（t+2，t﹣2），将Q点代入函数解析式即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴Δ＝4m2﹣4（m2+m）＝2m2﹣4m+3＝2（m﹣1）2+1＞0， ∴二次函数的图象与x轴有2个公共点； （2）∵y＝x2﹣2mx+n的对称轴为x＝m， ∴|m﹣3﹣m|＝3，|m+2﹣m|＝2， ∴y1＞y2； （3）将点A（3，0）和B（0，﹣4）代入y＝x2﹣2mx+n， ∴n＝﹣4，m， ∴y＝x2x﹣4， 设直线AB的解析式为y＝kx﹣4， ∴3k﹣4＝0， 解得k， ∴yx﹣4， 设P（t，0），则H（t，t﹣4）， ∴PH的中点为（t，t﹣2）， 当t＜3时，PH＝4t， ∴Q（t﹣2，t﹣2）或（t+2，t﹣2）， 当Q（t﹣2，t﹣2）时，（t﹣2）2（t﹣2）﹣4t﹣2， 解得t＝3（舍）或t； 当Q（t+2，t﹣2）时，（t+2）2（t+2）﹣4t﹣2， 解得t＝﹣4或t＝3（舍）； 当t＞3时，PHt﹣4， ∴Q（t﹣2，t﹣2）或（t+2，t﹣2）， 当Q（t﹣2，t﹣2）时，（t﹣2）2（t﹣2）﹣4t﹣2， 解得t＝3（舍）或t（舍）； 当Q（t+2，t﹣2）时，（t+2）2（t+2）﹣4t﹣2， 解得t＝﹣4（舍）或t＝3（舍）； 综上所述：Q点横坐标为或﹣4． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $